Okupansi kuantum dan batas kesetaraan bagian
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| mean occupation/miːn ˌɒkjʊˈpeɪʃn/ | pengisian rata-rata |
| equipartition/ɪˌkwɪpɑːˈtɪʃn/ | equipartisi |
Keputusan sebelum jawaban
- Tingkat energi fermion dapat menampung beberapa partikel ketika memiliki beberapa keadaan berbeda; aturan eksklusi berlaku per keadaan lengkap.
- Tujuan Anda: Hitung okupasi rata-rata per keadaan kuantum lengkap untuk fermion dan boson.
Tetapkan pendudukan pada keadaan lengkap
- Untuk partikel tak berinteraksi dalam kesetimbangan pertukaran termal dan partikel, gunakan potensial kimia μ dan x=(ε−μ)/(kBT). Pengisian rata-rata satu keadaan lengkap adalah n_F=1/(e^x+1) untuk fermion dan n_B=1/(e^x−1) untuk boson. Pengisian fermion pada keadaan tersebut adalah nol atau satu; nilai rata-ratanya berada di antara keduanya. Pengisian boson dapat melebihi satu.
- Tingkat degenerasi g memiliki total rata-rata g kali pengisian keadaan tunggal ketika keadaannya berbagi energi yang sama. Hitung spin sebagai bagian dari keadaan lengkap. Penyebut Bose mensyaratkan ε>μ untuk ekspresi terbatas biasa, dengan limit keadaan dasar diperlakukan secara terpisah. Untuk foton kesetimbangan, μ=0 karena jumlah foton tidak terawat; jangan set μ=0 untuk setiap gas partikel material.
At (ε−μ)/(kBT)=ln3, the mean occupation of one fermionic state is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_F=1/(3+1)=1/4; bosonic mean would be 1/(3−1)=1/2.
Menghitung konfigurasi tak terbedakan
- Hitung pola pengisian daripada melabeli partikel identik. Dua fermion identik yang didistribusikan di antara empat keadaan lengkap berbeda memilikichoose(4,2)=6 pola yang diizinkan. Dua boson identik di antara keadaan tersebut memiliki choose(4+2−1,2)=10 pola karena keduanya dapat berbagi satu keadaan. Dua partikel terlabel yang terbedakan akan memiliki 4²=16 penugasan.
- Ini adalah model penghitungan yang berbeda, bukan tiga jawaban yang dapat ditukar untuk spesifikasi yang sama. Jika soal menyediakan degenerasi spin, pertama-tama tentukan apakah angka yang disebutkan menghitung keadaan lengkap atau hanya tingkat orbital. Larangan Pauli terhadap dua keadaan lengkap identik tidak melarang fermion berputar berlawanan dalam satu orbital spasial.
Two identical fermions can occupy six distinct complete states. How many occupation patterns exist?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Select the two occupied states: choose(6,2)=15. Ordered assignments double-count identical fermions.
Periksa pendekatan encer
- Ketika x besar dan positif, pengisian kecil dan kedua penyebut didominasi oleh e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), limit langka Maxwell–Boltzmann. Pada x=ln4, nilai rata-ratanya adalah 1/5 untuk fermion, 1/3 untuk boson dan 1/4 dalam pendekatan klasik; perbedaannya masih signifikan.
- Jumlah partikel total yang besar saja tidak membenarkan statistik klasik: densitas, suhu, dan keadaan yang tersedia mengontrol okupasi. Untuk fermion pada T rendah, keadaan di bawah μ menjadi hampir terisi dan yang di atas hampir kosong. Pada ε=μ keadaan fermion memiliki mean setengah; memasukkan nilai itu ke dalam rumus Bose biasa akan menghasilkan penyebut yang menyimpang dan memerlukan perlakuan limit berbeda.
Pada x=(ε−μ)/(kBT)=ln4, satu keadaan memiliki n_F=0.2 atau n_B=1/3. Oleh karena itu, tingkat degenerasi lima keadaan memiliki rata-rata 1 fermion atau 5/3 boson; total pengisian tingkat fermion dapat melebihi satu pada x lain karena ada lima keadaan berbeda. Osilator kuantum pada ε/(kBT)=ln2 memiliki energi eksitasi rata-rata ε dan C/kB=2(ln2)²=0.960906, dekat tetapi berbeda dari nilai klasik satu.
At x=ln5, one bosonic state has mean occupation ____ (give an exact decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_B=1/(5−1)=1/4=0.25.
Uji mode kuantum versus klasik
- Kesetaraan energi klasik menetapkan kBT/2 untuk setiap suku kuadratik independen dalam Hamiltonian yang setimbang. Gas ideal monoatomik memiliki tiga suku translasi, menghasilkan U=3NkBT/2 dan C_V=3NkB/2. Satu osilator harmonik klasik satu dimensi memiliki suku kinetik dan potensial, menghasilkan rata-rata kBT dan C=kB.
- Untuk osilator kuantum dengan jarak tetap ε=ℏω, energi termal di atas nol titik yang tidak bergantung suhu adalah ε/(e^x−1), dengan x=ε/(kBT), dan C/kB=x²e^x/(e^x−1)². Pada suhu tinggi nilainya mendekati nilai klasik; pada suhu rendah eksitasi membeku dan C→0. Energi nol titik ε/2 menggeser U tetapi tidak mengubah C. Kontribusi rotasi/vibrasi molekuler juga perlu memeriksa skala energinya sebelum menetapkan suku kuadratik klasik.
Eksklusi dua fermion dari satu keadaan lengkap, bukan dari seluruh tingkat energi degenerat. Tentukan x mana yang digunakan; okupasi potensial kimia dan rumus eksitasi osilator tetap adalah model yang berbeda.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Hitung rata-rata okupansi per keadaan kuantum lengkap untuk fermion dan boson
A temperature-independent oscillator zero-point energy ε/2 contributes zero to its heat capacity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Heat capacity differentiates energy with respect to temperature; a fixed additive constant has zero derivative.
Jaga pembedaan
- okupasi rata-rata — Rata-rata ensemble jumlah partikel dalam satu keadaan kuantum lengkap atau kelompok keadaan tertentu.
- kesetaraan energi — Aturan keseimbangan klasik menetapkan kBT/2 untuk setiap suku Hamiltonian kuadratik independen.
- Hitung okupasi rata-rata per keadaan kuantum lengkap untuk fermion dan boson.
- Hitung okupasi partikel identik yang diperbolehkan dan identifikasi batas encer klasik.
- Bandingkan kapasitas kalor mode kuadratik klasik dengan respons osilator kuantum.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.