Distribusi Geometrik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | Geometrik |
| geometric random variable/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | Variabel acak geometrik |
Menunggu keberhasilan pertama
- Distribusi geometrik menghitung percobaan hingga keberhasilan pertama.
- Variabel acak geometrik $X$ = jumlah percobaan untuk mendapatkan keberhasilan pertama.
- Contoh: berapa banyak pelemparan hingga Anda mendapat enam pertama?
- Berbeda dengan binomial, $n$ tidak tetap — Anda berhenti segera setelah berhasil.
Pengaturan geometrik
- Kondisi percobaan sama seperti binomial, tetapi aturan penghentian berbeda:
- Percobaan independen berulang, masing-masing dengan probabilitas sama $p$ untuk keberhasilan.
- Anda terus pergi hingga keberhasilan pertama, lalu berhenti.
- "Hingga keberhasilan pertama" adalah kata kunci untuk geometrik.
Rumus geometrik
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- Untuk berhasil pertama pada percobaan $k$: gagal $k-1$ kali pertama, lalu berhasil.
- $(1-p)^{k-1}$ = kegagalan itu; $p$ = keberhasilan pada percobaan $k$.
- Probabilitasnya menurun saat $k$ bertambah — keberhasilan awal paling mungkin.
Rata-rata geometrik
- Rata-rata (jumlah percobaan yang diharapkan) adalah:
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- Jika $p = 0.2$, perkirakan $1/0.2 = 5$ percobaan rata-rata hingga keberhasilan pertama.
- Keberhasilan langka ($small$p$) berarti Anda menunggu lebih lama — masuk akal secara intuitif.
Geometrik vs. binomial tergantung pada aturan penghentian. Binomial: $n$ tetap, hitung keberhasilan. Geometrik: jalankan hingga keberhasilan pertama, hitung percobaan. Jika masalah menetapkan jumlah percobaan, itu binomial; jika mengatakan "hingga pertama…", itu geometrik. Dan rata-rata geometrik adalah $1/p$ — bukan $np$.
Lempar dadu hingga enam pertama; $p = 1/6$.
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — enam pertama pada percobaan ke-$3$.
- Rata-rata: $\mu_X = 1/(1/6) = 6$ percobaan yang diharapkan hingga enam pertama.
- Masuk akal — enam muncul rata-rata sekali setiap enam percobaan.
Variabel acak geometrik menghitung percobaan hingga keberhasilan pertama, dengan percobaan independen pada $p$ konstan. Maka $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ dan rata-rata adalah $\mu_X = \frac{1}{p}$. Kontras utama dengan binomial: geometrik berjalan hingga keberhasilan pertama (percobaan variabel), binomial memiliki $n$ tetap.
Melempar hingga keberhasilan pertama
Terus melempar hingga target muncul — itu adalah hitungan geometrik.
Variabel geometrik memiliki p = 0.2. Temukan rata-rata jumlah percobaan, 1/p.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p = 1/0.2 = 5.
Kondisi mana yang geometrik (bukan binomial)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
'Hingga keberhasilan pertama' → geometrik; n tetap → binomial.
Melempar dadu hingga enam pertama (p = 1/6). Temukan jumlah lemparan yang diharapkan.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p = 1/(1/6) = 6.
Dalam rumus geometrik P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p, bagian (1−p)^(k−1) adalah k−1 kegagalan pertama.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Gagal k−1 kali, lalu berhasil pada percobaan ke-k.
Rata-rata variabel acak geometrik adalah 1 dibagi dengan ___ (huruf untuk peluang keberhasilan).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p.