Persamaan Eksponensial dan Logaritma
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | Persamaan eksponensial |
| logarithmic equation/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ɪˈkweɪʒn/ | persamaan logaritma |
| extraneous/ekˈstreɪnɪəs/ | akar asing |
Menemukan eksponen tersembunyi
- "$2$ dipangkatkan berapa hasilnya $5$?" adalah persamaan dengan variabel tak diketahui berada di posisi eksponen.
- Anda tidak bisa sekadar membaginya habis — variabel terjebak di dalam sebuah pangkat.
- Logaritma adalah alat yang membebaskannya, dan bentuk eksponensial membebaskan persamaan logaritma.
- Di antara dua langkah ini, Anda dapat menyelesaikan hampir semua persamaan eksponensial atau logaritma.
Menyelesaikan persamaan eksponensial
- Sebuah persamaan eksponensial memiliki variabel pada posisi eksponen, seperti $2^x = 8$.
- Jika kedua ruas dapat menggunakan basis yang sama, samakan mereka: $2^x = 2^3$ menghasilkan $x = 3$.
- Jika basisnya tidak akan cocok, ambil logaritma dari kedua ruas.
- Aturan pangkat kemudian menurunkan eksponen ke bawah sehingga Anda dapat menyelesaikannya.
Temukan kapan fungsi eksponensial mencapai nilai target
y = 2ˣ
Menyelesaikan 2ˣ = 5 berarti mencari x di mana kurva ini menyentuh tinggi 5. Logaritma memberikan nilai x tersebut secara tepat.
Selesaikan $2^x = 8$ dengan menyamakan basis.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$8 = 2^3$, sehingga $2^x = 2^3$ menghasilkan $x = 3$ — basis yang sama berarti eksponen yang sama.
Untuk menyelesaikan $2^x = 5$, di mana basis tidak akan sama, Anda harus…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mengambil $\log$ dari kedua ruas menurunkan eksponen: $x = \log_2 5 \approx 2.32$.
Menyelesaikan persamaan logaritma
- Sebuah persamaan logaritma memiliki variabel di dalam logaritma, seperti $\log_2 x = 4$.
- Tulis ulang dalam bentuk eksponensial: $\log_2 x = 4$ berarti $x = 2^4 = 16$.
- Jika muncul beberapa logaritma, gabungkan menjadi satu terlebih dahulu, lalu konversikan.
- Bentuk eksponensial adalah kunci utama untuk setiap persamaan logaritma tunggal.
Selesaikan persamaan logaritma $\log_2 x = 4$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tulis ulang dalam bentuk eksponensial: $x = 2^4 = 16$.
Memeriksa solusi ekstraneous
- Proses penyelesaian dapat menghasilkan kandidat solusi yang melanggar domain persamaan asli.
- Logaritma membutuhkan argumen positif, jadi solusi apa pun yang menghasilkan $\log(\text{negative})$ ditolak.
- Jawaban palsu semacam itu disebut solusi ekstraneous (luar).
- Selalu substitusikan kembali dan pastikan setiap argumen tetap positif.
Kandidat solusi yang membuat argumen log negatif harus ditolak sebagai ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Solusi ekstraneous memenuhi persamaan yang telah diubah susunannya tetapi melanggar domain asli — selalu periksa.
Pilih semua pernyataan benar tentang penyelesaian persamaan ini.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Beberapa kandidat bersifat ekstraneous dan harus ditolak. Tiga lainnya merupakan strategi yang baik.
Pertidaksamaan
- Fungsi eksponensial dan logaritma bersifat monoton — selalu naik atau selalu turun.
- Jadi pertidaksamaan seperti $2^x > 8$ diselesaikan dengan cara yang sama, mempertahankan arahnya: $x > 3$.
- Untuk basis yang menurun ($0 < b < 1$), tanda pertidaksamaan berbalik.
- Selesaikan sebagai persamaan terlebih dahulu, lalu tentukan sisi mana dari batas yang memenuhinya.
Jangan lupa memeriksa jawaban persamaan logaritma. Menyelesaikan $\log(x) + \log(x-3) = 1$ mungkin memberikan Anda $x = 5$ dan $x = -2$, tetapi $x = -2$ membuat $\log(-2)$ tidak terdefinisi — ia ekstraneous dan harus dibuang.
Selesaikan $2^x = 5$.
- Basis tidak akan cocok, jadi ambil $\log_2$ dari kedua ruas.
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$, dan ruas kiri disederhanakan menjadi $x$.
- Maka $x = \log_2 5 \approx 2.32$ — eksponen yang mengungkapkan logaritma.
Selesaikan persamaan eksponensial dengan menyamakan basis, atau dengan mengambil logaritma untuk menurunkan eksponen. Selesaikan persamaan logaritma dengan menulis ulang dalam bentuk eksponensial. Selalu periksa solusi ekstraneous, karena argumen logaritma harus tetap positif.