Pemodelan dengan Fungsi Eksponensial
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | Model eksponensial |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | nilai awal |
| exponential regression/ˌekspəˈnenʃl rɪˈɡreʃn/ | Regresi eksponensial |
| growth factor/ɡrəʊθ ˈfæktə/ | Faktor pertumbuhan |
| decay factor/dɪˈkeɪ ˈfæktə/ | Faktor peluruhan |
Menyesuaikan pertumbuhan dengan data nyata
- Koloni bakteri, rekening tabungan, video viral — semuanya tumbuh dengan faktor konstan.
- Dengan beberapa pengukuran, kita mencari rumus pasti $y = a\,b^x$ yang cocok dengan data tersebut.
- Kemudian kita dapat memprediksi masa depan dan menginterpretasikan laju pertumbuhannya.
- Ini adalah pemodelan eksponensial: dari data menjadi formula, lalu menjadi prakiraan.
Membangun model dari data
- Model eksponensial memiliki bentuk $y = a\,b^x$, sama seperti fungsi eksponensial mana pun.
- Nilai awal $a$ adalah jumlah pada saat $x = 0$ — baca langsung dari data.
- Basis $b$ adalah pengali per langkah — temukan dengan membagi output yang berurutan.
- Dua titik data sudah cukup untuk menentukan kedua parameter $a$ dan $b$.
Untuk membangun $y = a\,b^x$ dari data, koefisien $a$ adalah nilai ketika…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pada $x = 0$, $b^0 = 1$, sehingga $y = a$: koefisiennya adalah nilai awal.
Regresi menemukan kecocokan terbaik
- Dengan banyak titik yang penuh noise, gunakan teknologi untuk menjalankan regresi eksponensial.
- Regresi ini menemukan nilai $a$ dan $b$ whose kurva mendekati semua data sekaligus.
- Tidak ada titik yang tepat berada di atas kurva, tetapi trennya tertangkap.
- Hasilnya adalah rumus siap pakai $y = a\,b^x$.
Sesuaikan faktor pertumbuhan agar sesuai dengan data
y = a·bˣ
Ubah a (nilai awal) dan b (faktor pertumbuhan) hingga kurva melewati titik-titik data.
Faktor pertumbuhan dan faktor peluruhan
- Jika basis $b > 1$, maka ini adalah faktor pertumbuhan: $b = 1.2$ berarti $+20\%$ setiap langkah.
- Jika $0 < b < 1$, maka ini adalah faktor peluruhan: $b = 0.85$ berarti $-15\%$ setiap langkah.
- Konversi persentase menjadi faktor: pertumbuhan $\to 1 + r$, peluruhan $\to 1 - r$.
- Membaca faktor memberi tahu Anda cerita mengenai perubahan tersebut.
Jika suatu kuantitas bertambah sebesar $20\%$ setiap periode, maka faktor pertumbuhan ____ (basis $b$) adalah $1.2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kenaikan $20\%$ mengalikan dengan $1 + 0.20 = 1.2$ — pengali tersebut adalah faktor pertumbuhan.
Kuantitas yang kehilangan $15\%$ setiap periode memiliki faktor peluruhan (basis) sebesar…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kehilangan $15\%$ menyisakan $85\%$, jadi Anda mengalikan dengan $1 - 0.15 = 0.85$ setiap periode — faktor peluruhan.
Prediksi, dalam batas-batasnya
- Substitusikan input ke dalam model untuk memprediksi output.
- Pilih domain yang masuk akal: waktu negatif atau output yang terlalu besar tidak bermakna.
- Pertumbuhan eksponensial tidak dapat berlanjut selamanya — sumber daya, ruang, atau uang akan habis.
- Model yang baik disertai catatan tentang di mana ia berhenti dapat dipercaya.
Koloni mengikuti $P = 100 \cdot 2^{\,t}$ (dengan $t$ dalam jam). Berapakah $P$ pada $t = 3$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$P = 100 \cdot 2^3 = 100 \cdot 8 = 800$. Masukkan input ke dalam model untuk memprediksi.
Pilih semua pernyataan benar tentang model eksponensial.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pertumbuhan eksponensial yang diekstrapolasi terlalu jauh menjadi tidak masuk akal (tidak ada yang tumbuh selamanya). Tiga lainnya benar.
Pertumbuhan eksponensial tanpa batas adalah fantasi. Model yang mengatakan alga kolam berlipat ganda setiap hari akan segera "memprediksi" alga lebih banyak daripada atom di Bumi. Setiap fungsi eksponensial nyata akhirnya melambat — percayalah pada model hanya dalam rentang di mana asumsinya berlaku.
Sebuah sampel $100$ sel tiga kali lipat setiap jam: $P = 100 \cdot 3^{\,t}$.
- Nilai awal $a = 100$; faktor pertumbuhan $b = 3$ (tiga kali lipat).
- Setelah $2$ jam: $P = 100 \cdot 3^2 = 900$ sel.
- Domain yang masuk akal: hanya selama nutrisi masih ada — mungkin beberapa jam pertama.
Sebuah model eksponensial $y = a\,b^x$ memiliki nilai awal $a$ dan basis yang merupakan faktor pertumbuhan ($b>1$) atau faktor peluruhan ($0<b<1$). Temukan melalui dua titik atau regresi eksponensial, lalu prediksi dalam domain yang wajar — jangan pernah berasumsi pertumbuhan terus berlangsung selamanya.