Barisan Aritmatika dan Geometri
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | barisan aritmatika |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | beda |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | barisan geometri |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | rasio |
| explicit/ekˈsplɪsɪt/ | eksplisit |
| recursive/rɪˈkɜːsɪv/ | rekursif |
Dua cara menumbuhkan daftar
- Mulai dari $2$ dan terus menambahkan $2$: Anda mendapatkan $2, 4, 6, 8, \dots$
- Mulai dari $1$ dan terus menggandakan: Anda mendapatkan $1, 2, 4, 8, \dots$
- Keduanya adalah daftar terurut angka — barisan — tetapi tumbuh dengan cara yang sangat berbeda.
- Yang satu menambahkan jumlah yang sama; yang lain mengalikan dengan jumlah yang sama.
Aritmatika: tambahkan jumlah yang sama
- Barisan aritmetika menambahkan bilangan tetap untuk berpindah dari suku ke suku berikutnya.
- Bilangan tetap itu adalah beda.
- Dalam $5, 8, 11, 14, \dots$ beda adalah $+3$.
- Jika digambarkan, suku-sukunya terletak pada garis lurus — pertumbuhan stabil dan linear.
Barisan aritmatika memiliki konstanta…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Setiap suku adalah suku sebelumnya ditambah selisih umum tetap — penambahan stabil ini membuatnya aritmatika.
Geometri: kalikan dengan jumlah yang sama
- Barisan geometri mengalikan dengan bilangan tetap setiap langkah.
- Bilangan tetap itu adalah rasio.
- Dalam $3, 6, 12, 24, \dots$ rasio adalah $\times 2$.
- Jika digambarkan, suku-sukunya melengkung ke atas semakin curam.
Langkahkan barisan suku demi suku
Ubah rasio umum dan saksikan barisan geometri membengkok ke atas jauh lebih cepat daripada barisan aritmatika apa pun.
Barisan geometri memiliki konstanta…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Setiap suku adalah suku sebelumnya dikali rasio umum tetap — perkalian stabil ini membuatnya geometri.
Aturan eksplisit dan rekursif
- Aturan eksplisit melompat langsung ke suku tertentu: aritmetika $a_n = a_1 + (n-1)d$; geometri $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$.
- Aturan rekursif membangun setiap suku dari suku sebelumnya: $a_n = a_{n-1} + d$ atau $a_n = a_{n-1} \cdot r$.
- Eksplisit paling baik untuk menemukan suku ke-100 tanpa mencantumkan semua suku lainnya.
- Rekursif meniru bagaimana barisan sebenarnya dihasilkan, langkah demi langkah.
Aturan ____ mendefinisikan setiap suku menggunakan suku sebelumnya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan rekursif seperti $a_n = a_{n-1} + 3$ dibangun dari suku sebelumnya; aturan eksplisit langsung menuju $a_n$.
Barisan geometri dimulai dari $3, 6, 12, 24, \dots$. Berapakah suku ke-5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Rasio umumnya adalah $2$, sehingga suku ke-5 adalah $24 \times 2 = 48$.
Mana yang tumbuh lebih cepat
- Di awal, barisan aritmetika bisa mendahului.
- Namun barisan geometri mana pun dengan rasio $> 1$ akhirnya akan melewatinya — dan kemudian menjauh dengan cepat.
- Menambahkan adalah linear; mengalikan adalah eksponensial, dan eksponensial selalu menang dalam jangka panjang.
- Ini adalah kontras yang sama yang memisahkan fungsi linear dari fungsi eksponensial.
Pilih semua pernyataan benar tentang barisan-barisan ini.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Barisan dapat dimulai dari nilai apa pun. Tiga lainnya menggambarkan perbedaan tambah vs kali dengan benar.
Periksa apakah suatu daftar menambahkan atau mengalikan sebelum menamainya. $2, 4, 6, 8$ (tambah 2) adalah aritmetika, tetapi $2, 4, 8, 16$ (kali 2) adalah geometri — dua suku pertama terlihat identik, jadi selalu uji suku ketiga.
Temukan suku ke-6 dari $4, 12, 36, \dots$.
- Rasio: $12 \div 4 = 3$, jadi ini adalah geometri dengan $r = 3$.
- Aturan eksplisit: $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$.
- Suku keenam: $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
Barisan aritmetika menambahkan beda; barisan geometri mengalikan dengan rasio. Tulis keduanya dengan aturan eksplisit (lompat ke suku mana pun) atau aturan rekursif (bangun dari suku sebelumnya). Pertumbuhan geometri akhirnya akan melebihi aritmetika.