Mengintegralkan Menggunakan Pecahan Parsial Linear
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | pecahan parsial |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | faktor linear |
Pecah satu pecahan sulit menjadi beberapa yang mudah
- Beberapa fungsi rasional tidak dapat diintegrasikan langsung, tetapi jika dipecah menjadi logaritma sederhana.
- Pecahan parsial menulis ulang satu pecahan sebagai jumlah dari pecahan-pecahan kecil.
- Setiap bagian memiliki satu faktor linear tunggal dalam penyebutnya — mudah diintegrasikan sebagai $\ln$.
- Ini adalah kebalikan dari menjumlahkan pecahan dengan penyebut persekutuan.
Tetapkan dekomposisi
- Mulailah dengan fungsi rasional yang penyebutnya difaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang berbeda.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ untuk konstanta $A,B$ yang akan ditemukan.
- Setiap faktor linear yang berbeda $(x-r)$ mendapat suku sendiri $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (Derajat pembilang harus kurang dari penyebutnya — bagi terlebih dahulu jika tidak.)
Fungsi rasional untuk dipecah
y = a / (x − b)
Pecahan atas $(x-1)(x+2)$ memiliki dua asimtot vertikal; pecahan parsial memecahnya menjadi dua bagian $\ln$ yang sederhana.
Bentuk pecahan parsial dari $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Satu konstanta untuk setiap faktor linear berbeda.
Jika derajat pembilang tidak kurang dari derajat penyebut, Anda harus membagi terlebih dahulu.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pecahan parsial membutuhkan pecahan yang benar.
Pelajaran ini menangani penyebut yang dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor ____ yang berbeda.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Faktor linear berbeda $(x-r)$.
Selesaikan untuk konstanta-konstanta
- Kalikan kedua sisi dengan penyebut persekutuan untuk menghilangkan pecahan.
- Kemudian temukan $A,B$ dengan mencocokkan koefisien atau dengan memasukkan akar-akar (jalan pintas cepat).
- Untuk $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: pada $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; pada $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Sekarang integral adalah jumlah dari bagian-bagian sederhana.
Untuk $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, cari $A$ (masukkan $x=1$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Di $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$.
Integrasikan bagian-bagiannya
- Setiap $\dfrac{A}{x-r}$ terintegrasi menjadi $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- Jadi integral rasional yang berantakan menjadi kombinasi logaritma.
- Gabungkan atau biarkan logaritma sesuai preferensi jawaban.
Setiap bagian pecahan parsial $\dfrac{A}{x-r}$ terintegrasi menjadi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (dengan $A=1$, $B=-1$) sama dengan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integrasikan $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$.
Pecahan parsial memerlukan derajat pembilang kurang dari penyebutnya — jika tidak, lakukan pembagian panjang terlebih dahulu. Dan ini mensyaratkan penyebut benar-benar difaktorkan menjadi bagian-bagian linear; faktor berulang $(x-r)^2$ atau kuadrat tak tereduksi membutuhkan suku tambahan (di luar kasus linear berbeda dalam pelajaran ini). Setiap faktor berbeda mendapatkan tepat satu konstanta.
Evaluasi $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Dekomposisi: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. Pada $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; pada $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Pecahan parsial memecah fungsi rasional dengan faktor-faktor linear yang berbeda menjadi jumlah $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; temukan konstantanya (cocokkan koefisien atau masukkan akar), lalu integralkan setiap bagian menjadi $\ln$. Memerlukan derajat pembilang $<$ derajat penyebut — bagi terlebih dahulu jika tidak.