Evaluasi Integral Tak Terhingga
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | integral tak wajar |
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | Limit tak hingga |
| unbounded integrand/ʌnˈbaʊndɪd ˈɪntɪɡrænd/ | integran tak terbatas |
Mengintegrasikan di atas tak terhingga (atau yang tak terbatas)
- Integral definit normal memiliki batas yang terbatas dan integran yang terbatas. Integral tak wajar melanggar salah satu dari itu.
- Dua cara integral menjadi tak wajar: batas integrasi tak hingga (seperti $\int_1^\infty$), atau integran tak terbatas (asimtot vertikal di dalam interval).
- Kita tidak bisa sekadar "memasukkan $\infty$" atau mengevaluasi pada titik meledak, jadi kita menggunakan limit.
- Integral konvergen jika limit tersebut adalah bilangan finite, dan divergen jika tidak.
Integral disebut tak terhingga ketika...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Batas tak hingga atau integran tak terbatas → tak terhingga.
Anda dapat mengevaluasi integral tak terhingga dengan mensubstitusikan secara langsung $\infty$ ke dalam antiturunan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Anda harus mengambil limit sebagai gantinya.
Batas tak hingga → sebuah limit
- Ganti batas tak hingga dengan variabel, integralkan, lalu biarkan variabel menuju tak hingga:
-
$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Hitung integral biasa hingga $b$, lalu ambil limit saat $b\to\infty$.
- Jika limitnya finite, integral tak wajar konvergen ke nilai itu.
Ekor tak hingga di bawah 1/x²
y = 1/x²
Luas di bawah $1/x^2$ dari $1$ ke $\infty$ adalah terbatas ($=1$) meskipun wilayahnya tidak pernah berakhir — sebuah integral tak terhingga yang konvergen.
$\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ didefinisikan sebagai...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini adalah limit dari integral yang benar.
Integran tak terbatas → limit di titik bermasalah
- Jika $f$ meledak di ujung $c$, dekati dengan limit alih-alih mengevaluasi di sana:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (dan serupa dari sisi lain).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ tak wajar di $0$ — ambil $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$.
- Prinsip yang sama: mendekat pada singularitas dengan limit.
Evaluasi $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{b\to\infty}(1-\tfrac1b)=1$.
Konvergen atau divergen
- Konvergen: limitnya adalah bilangan finite — bilangan itulah nilainya.
- Divergen: limitnya tak hingga atau tidak ada — integral tidak memiliki nilai finite.
- Pasangan terkenal: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ divergen, tetapi $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ konvergen (ke $1$).
- Perbedaannya — integran yang terlihat sama, nasib berlawanan — adalah inti dari masalah ini.
Apa yang terjadi pada $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → divergen.
Integral tak terhingga ____ jika limit pembuatannya berupa bilangan terbatas.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Limit terbatas → konvergen.
Anda tidak dapat memperlakukan integral tak wajar seperti integral biasa — memasukkan $\infty$ atau titik meledak tidak bermakna. Selalu tulis ulang sebagai limit dan evaluasi limit tersebut. Dan waspadai singularitas interior: jika integran meledak di dalam $[a,b]$, pecah integral pada titik itu dan tangani setiap bagian secara terpisah.
Evaluasi $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
- Tulis ulang: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- Limitnya finite, sehingga integral konvergen ke $1$.
Sebuah integral tak wajar memiliki batas tak hingga atau integran tak terbatas. Tulis ulang sebagai limit dari integral wajar: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (atau limit mendekati singularitas). Ia konvergen jika limitnya finite, dan divergen jika tidak.