Mengintegralkan Menggunakan Substitusi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substitusi u |
Aturan rantai, dijalankan secara terbalik
- Aturan rantai membuat turunan fungsi komposit. Integrasi harus membaliknya.
- Substitusi u (atau substitusi u) adalah kebalikan dari aturan rantai.
- Ia mendeteksi fungsi komposit bersama dengan turunan dalamnya dan menyederhanakannya dengan penamaan ulang.
- Kuasai hal ini dan kelas besar integral yang sebelumnya mustahil menjadi rutin.
Substitusi u adalah kebalikan dari aturan diferensiasi mana?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini membalikkan aturan rantai.
Ganti nama fungsi dalam sebagai $u$
- Cari fungsi dalam $g(x)$ yang turunannya $g'(x)$ juga muncul (hingga faktor konstanta) dalam integran.
- Misalkan $u=g(x)$; maka $du=g'(x)\,dx$.
- Tulis ulang seluruh integral dalam istilah $u$ — ekspresi $x$ yang rumit berubah menjadi integral $u$ yang sederhana.
- Kemudian integralkan dalam $u$ dan substitusikan kembali $u=g(x)$ di akhir.
Komposit siap untuk substitusi u
y = ax³ + bx
Integrand seperti $2x(x^2+1)^3$ menyembunyikan fungsi dalam dan turunannya — sinyal untuk melakukan substitusi.
Untuk $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, pilihan yang tepat adalah $u=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$u=x^2+1$ memiliki $du=2x\,dx$, yang ada di sana.
Contoh pola yang bersih
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Fungsi dalam $u=x^2+1$, sehingga $du=2x\,dx$.
- $2x\,dx$ dalam integral tepat sama dengan $du$ — kecocokan sempurna.
- Integral menjadi $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- Substitusikan kembali: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ sama dengan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, lalu substitusi balik.
Tangani konstanta, atau batas-batasnya
- Jika $du$ meleset oleh faktor konstanta, cukup kalikan/bagi untuk memperbaikinya (mis. $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- Untuk integral tentu, baik substitusikan kembali ke $x$ sebelum mengevaluasi, atau ubah batas-batasnya ke nilai $u$.
- Mengubah batas lebih bersih: konversi $a,b$ menjadi $u(a),u(b)$ dan jangan pernah kembali ke $x$.
- Selalu akhiri jawaban tak tentu dalam istilah variabel asli $x$.
Nilai $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (misalkan $u=x^3+1$). Masukkan desimal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
Substitusi u yang benar mengubah $dx$ sepenuhnya menjadi $du$, tanpa menyisakan $x$ apa pun.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sisa $x$ atau $dx$ adalah kesalahan klasik.
Substitusi u berfungsi ketika integran mengandung fungsi dalam...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan dalam $g'(x)$ harus ada (dikalikan konstanta).
Substitusi u hanya berfungsi ketika turunan dalam hadir (hingga faktor konstanta). Jika $g'(x)$ tidak ada, Anda tidak bisa sekadar mengarangnya. Dan jangan lupa mengonversi $dx$ menjadi $du$ — meninggalkan $dx$ yang tersisa atau $x$ yang tertinggal adalah kesalahan klasik. Untuk integral tentu, ganti batas atau substitusikan kembali, bukan campuran keduanya.
Evaluasi $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- Misalkan $u=x^3+1$, sehingga $du=3x^2\,dx$. Batas: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- Integral menjadi $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
Substitusi u membalikkan aturan rantai: tetapkan $u=g(x)$ (fungsi dalam), ganti $g'(x)\,dx$ dengan $du$, integralkan dalam $u$, kemudian substitusikan kembali (atau ubah batas untuk integral tentu). Ini bekerja ketika turunan dalam muncul hingga faktor konstanta. Selalu konversi $dx\to du$ sepenuhnya.