Mengintegralkan Fungsi Menggunakan Pembagian Panjang dan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | melengkapi kuadrat sempurna |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | pembagian polinomial panjang |
Tulis ulang terlebih dahulu, lalu integralkan
- Beberapa fungsi rasional tidak cocok dengan primitif dasar — sampai Anda menulis ulang mereka.
- Dua alat aljabar mempersiapkan integran yang sulit: pembagian panjang dan melengkapkan kuadrat sempurna.
- Keduanya bukan kalkulus; keduanya hanya membentuk ulang pecahan menjadi bentuk yang lebih ramah.
- Kemudian aturan dasar atau integral yang diketahui menyelesaikan pekerjaan.
Pembagian panjang untuk pecahan "terlalu berat di atas"
- Jika derajat pembilang adalah $\ge$ derajat penyebutnya, pecahan tersebut tidak wajar.
- Gunakan pembagian panjang polinomial untuk memecahnya menjadi polinomial ditambah sisa yang wajar.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — sekarang setiap bagian mudah diintegralkan.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
Kurva rasional untuk ditulis ulang
y = a / (x − b)
Pecahan tak wajar seperti $\tfrac{x^2}{x+1}$ berubah menjadi garis ditambah sisa kecil — setiap bagian terintegrasi dengan mudah.
Gunakan pembagian polinomial panjang ketika derajat pembilang adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pecahan tak wajar (pembilang lebih besar) memerlukan pembagian.
Pembagian panjang menghasilkan $\dfrac{x^2}{x+1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x^2=(x+1)(x-1)+1$, sehingga hasil baginya adalah $x-1$ dengan sisa $1$.
Melengkapkan kuadrat sempurna untuk bentuk trig-invers
- Penyebut seperti $x^2+4x+5$ menyembunyikan kuadrat sempurna: lengkapi kuadrat sempurna menjadi $(x+2)^2+1$.
- Bentuk $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ ini cocok dengan antiturunan arctangent.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- Melengkapi kuadrat mengubah penyebut kuadratik yang berantakan menjadi pola $u^2+a^2$ yang rapi.
Melengkapkan kuadrat sempurna, $x^2+4x+5=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(x+2)^2=x^2+4x+4$, sehingga $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.
Bentuk $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ terintegrasi menjadi fungsi ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
Kenali sinyalnya
- Derajat pembilang $\ge$ derajat penyebut → segera gunakan pembagian panjang.
- Penyebut kuadratik tak tereduksi (tanpa akar real) → coba melengkapi kuadrat menuju arctan.
- Ini adalah langkah persiapan; integrasi sebenarnya adalah aturan dasar atau substitusi-u setelahnya.
- Mengenali bentuk penulisan ulang mana yang harus digunakan adalah setengah dari pertempuran.
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bagi terlebih dahulu, lalu integralkan $x-1+\tfrac1{x+1}$.
Cocokkan sinyal dengan penulisan ulang: pilih semua pasangan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pembagian panjang hanya untuk pecahan tak wajar; keduanya adalah penulisan ulang pra-integrasi.
Lakukan pembagian panjang hanya jika pecahannya tidak wajar (derajat pembilang $\ge$ derajat penyebut)—membagi pecahan wajar tidak akan membawa Anda ke mana-mana. Dan setelah melengkapi kuadrat, pastikan konstantanya benar: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, bukan $(x+2)^2+5$. Konstanta yang salah merusak kecocokan arctan.
Integrasikan $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- Pembagian panjang: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- Integrasikan suku per suku: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (Setiap bagian yang ditulis ulang menggunakan aturan antiturunan dasar.)
Ketika fungsi rasional yang diintegrasikan tidak sesuai dengan aturan dasar apa pun, tulis ulang terlebih dahulu: gunakan pembagian panjang polinomial pada pecahan tidak wajar (derajat pembilang $\ge$ derajat penyebut), atau lengkapi kuadrat pada penyebut kuadratik tak tereduksi untuk mencapai bentuk arctangent. Kemudian selesaikan dengan antiturunan dasar.