Menerapkan Sifat-Sifat Integral Tentu
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| linearity/lɪˈnɪərɪti/ | linearitas |
Aturan yang membuat integral lebih mudah
- Integral tentu mematuhi aljabar yang bersih — aturan ramah yang sama seperti batas dan turunan.
- Sifat-sifat ini memungkinkan Anda memecah, menggabungkan, dan menyusun ulang integral tanpa menghitung ulang area.
- Kebanyakan berasal langsung dari "integral = area bertanda."
- Pelajari beberapa di sini dan integral yang terlihat sulit sering kali disederhanakan dalam satu langkah.
$\int fg\,dx$ sama dengan $\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tidak ada aturan perkalian untuk integral.
Linearitas: pecah jumlah dan keluarkan konstanta
- Perkalian konstanta: $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$.
- Jumlah / Selisih: $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$.
- Bersama-sama ini adalah linearitas — integralkan per suku, koefisien di depan.
- Sama seperti diferensiasi, Anda menangani kombinasi satu bagian pada satu waktu.
Diberikan $\int_0^4 f\,dx=10$ dan $\int_0^4 g\,dx=3$, temukan $\int_0^4 (2f-g)\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2(10)-3=17$.
Lebar nol dan menukar batas
- Lebar nol: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — tidak ada interval, tidak ada area.
- Tukar batas: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — membalikkan arah mengubah tandanya.
- Jadi urutan batas membawa tanda.
- Kedua hal ini menjaga konsistensi pembukuan ketika batas berpindah-pindah.
Apa $\int_5^5 f(x)\,dx$ untuk setiap $f$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Interval lebar nol → $0$.
Jika $\int_1^4 f\,dx=7$, maka $\int_4^1 f\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Menukar batas membalikkan tanda: $-7$.
Pilih semua sifat integral tentu yang valid.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tiga pertama berlaku; "aturan" perkalian adalah salah.
Memecah interval
- Interval bersebelahan: $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$.
- Anda dapat memecah satu integral menjadi potongan pada titik interior apa pun $b$ dan menambahkannya.
- Ini penting untuk integran piecewise dan untuk menggunakan sub-area yang diberikan.
- Ini juga berjalan mundur: gabungkan dua integral bersebelahan menjadi satu.
Belah area pada titik interior
y = x²
Area dari $a$ ke $c$ sama dengan area dari $a$ ke $b$ ditambah $b$ ke $c$ — integral terbelah pada interval bersebelahan.
Jika $\int_0^2 f\,dx=5$ dan $\int_2^6 f\,dx=8$, temukan $\int_0^6 f\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Interval bersebelahan ditambahkan: $5+8=13$.
Tidak ada "aturan perkalian" untuk integral: $\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. Linearitas hanya memecah melintasi jumlah dan perkalian konstanta, bukan produk atau hasil bagi. Dan ingat menukar batas membalik tanda — poin yang sangat mudah terlewatkan.
Diberikan $\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$ dan $\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$, temukan $\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$.
- Linearitas: $\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$.
- $=2(10)-3=17$.
- Tidak perlu mengetahui $f$ atau $g$ sendiri — sifat-sifatnya yang melakukannya.
Sifat integral tentu: linearitas ($\int kf = k\int f$; $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$), lebar nol ($\int_a^a f=0$), menukar batas mengubah tanda ($\int_b^a f=-\int_a^b f$), dan memecah ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$). Tidak ada aturan perkalian untuk integral.