Teorema Fundamental Kalkulus dan Integral Tentu
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | primitif |
Hitung area tanpa menjumlahkan persegi panjang
- Jumlah Riemann memberikan gagasan tentang integral tentu, tetapi menjumlahkan tak hingga banyak persegi panjang tidak praktis.
- Bagian kedua Teorema Dasar Kalkulus memberikan jalan pintas.
- Temukan antiturunan $F$ (fungsi yang turunannya adalah $f$), lalu kurangkan nilainya pada batas-batas.
- Integrasi menjadi "membalik turunan, lalu masukkan dua angka."
Fungsi $F$ dengan $F'=f$ disebut ____ dari $f$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
FTC Bagian 2 mengevaluasi antiturunan pada batas-batasnya.
Teorem evaluasi
- Jika $F'=f$ (sehingga $F$ adalah antiturunan dari $f$), maka:
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- Hitung $F$, evaluasikan pada batas atas dan batas bawah, lalu kurangkan.
- Area bertanda eksak muncul — tanpa persegi panjang, tanpa batas jumlah.
Area yang tepat, dihitung
y = x²
FTC Bagian 2 mengubah area arsiran ini menjadi $F(2)-F(0)$ — antiturunan yang dievaluasi pada batas-batasnya.
FTC Bagian 2 menyatakan $\int_a^b f\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Evaluasi antiturunan pada batas atas dikurangi batas bawah.
Notasi bar evaluasi
- Cara rapi untuk menunjukkan evaluasi dua langkah: $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$.
- Tulis antiturunan dalam kurung dengan batasnya, lalu kurangkan "atas minus bawah."
- Jaga urutannya: nilai batas atas dikurangi nilai batas bawah.
- Membalikinya membalik tanda (sesuai dengan sifat menukar batas).
Evaluasi $\int_0^2 x^2\,dx$ menggunakan $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (Masukkan desimal.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{8}{3}-0=\tfrac83\approx2.667$.
Menghitung $F(a)-F(b)$ alih-alih $F(b)-F(a)$ memberikan nilai yang benar.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itu membalikkan tanda — gunakan atas dikurangi bawah.
Evaluasi $\int_1^3 2x\,dx$ menggunakan $F(x)=x^2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$F(3)-F(1)=9-1=8$.
Antiturunan apa pun bekerja
- Jika $F$ adalah salah satu antiturunan, begitu juga $F+C$ untuk konstanta apa pun — tetapi $+C$ saling menghilangkan dalam $F(b)-F(a)$.
- Jadi untuk integral tentu Anda dapat memilih antiturunan paling sederhana dan mengabaikan $+C$.
- (Konstanta hanya penting untuk integral tak tentu, pelajaran 6.8.)
- Periksa kembali dengan menurunkan $F$ Anda: Anda seharusnya mendapatkan $f$ kembali.
Untuk integral tentu, konstanta $+C$ dari antiturunan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.
Anda harus menggunakan antiturunan yang sah ($F'=f$), lalu hitung $F(b)-F(a)$ sesuai urutan tersebut. Menukar ke $F(a)-F(b)$ akan membalik tanda. Konstanta $+C$ akan saling meniadakan dalam integral tentu, jadi jangan khawatir tentangnya di sini — namun pastikan Anda memeriksa $F'=f$, atau seluruh jawaban menjadi salah.
Evaluasi $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.
- Primitif dari $x^2$ adalah $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (karena $F'=x^2$).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- Hal ini mengkonfirmasi estimasi jumlah Riemann sebelumnya dari $\approx2.67$.
FTC Bagian 2: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, di mana $F$ adalah primitif apa pun dari $f$ ($F'=f$). Temukan $F$, evaluasi pada batas atas dikurangi batas bawah. $+C$ akan saling menghilangkan, sehingga primitif apa pun dapat digunakan — ini mengubah luas menjadi aritmatika sederhana.