Menemukan Turunan Fungsi Tangen, Cotangen, Sekan, dan Kosekan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | trigonometri |
Empat fungsi trigonometri lainnya
- Kita tahu $\sin'=\cos$ dan $\cos'=-\sin$. Empat fungsi trigonometri lainnya semuanya hasil bagi dari ini.
- Jadi Aturan Hasil Bagi menurunkan turunannya — tidak ada sihir baru, hanya aljabar yang hati-hati.
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- Pelajari keempat hasilnya, tetapi ketahui bahwa mereka berasal dari Aturan Hasil Bagi.
Keempat turunan ini semuanya diperoleh menggunakan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Setiap $\tan,\cot,\sec,\csc$ adalah pembagian dari $\sin$/$\cos$.
Menurunkan $\tan x$
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- Aturan Hasil Bagi: $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
- Karena $\cos^2 x+\sin^2 x=1$: $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$.
- Jadi $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$ dan, dengan cara yang sama, $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$.
Gelombang sinus yang rasionya membentuk tan
$\tan x=\sin x/\cos x$; turunannya $\sec^2 x$ selalu positif — tan meningkat di mana pun terdefinisi.
Berapakah $\dfrac{d}{dx}[\tan x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dari Aturan Pembagian pada $\sin/\cos$: $\sec^2 x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=$ ____ $\csc^2 x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itu adalah $-\csc^2 x$.
Pasangan secan dan kosecan
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- Pola: fungsi "co-" ($\cos,\cot,\csc$) semua membawa tanda minus dalam turunannya.
- Masing-masing dari empat ini juga mengikuti dari Aturan Hasil Bagi yang diterapkan pada $\tfrac1{\cos}$ atau $\tfrac1{\sin}$.
Berapakah $\dfrac{d}{dx}[\sec x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
Turunan dari $\cot x$ dan $\csc x$ sama-sama membawa tanda minus.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$-\csc^2 x$ dan $-\csc x\cot x$ — fungsi "co-" membawa tanda minus.
Menggunakan mereka dengan aturan lainnya
- Turunan trigonometri ini digabungkan dengan aturan perkalian dan hasil bagi seperti yang lainnya.
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ (Aturan Perkalian).
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- Jaga keempat hasil kotak agar mudah diakses; mereka muncul di seluruh sisa kursus.
Pilih semua turunan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Yang terakhir salah: seharusnya $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, bukan $\sec^2 x$.
Perhatikan tanda minus pada fungsi "co-": $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ dan $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ keduanya membawa tanda minus, sesuai dengan $\cos'=-\sin$. Mencampur aduk $\sec^2 x$ (dari $\tan$) dengan $\csc^2 x$ (dari $\cot$) adalah kesalahan sering lainnya — pasangkan setiap turunan dengan sumbernya.
Turunkan $y=x^2\sec x$.
- Aturan Perkalian dengan $f=x^2$, $g=\sec x$: $f'=2x$, $g'=\sec x\tan x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- Faktorisasi: $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$.
Empat turunan trigonometri tambahan semuanya berasal dari Aturan Hasil Bagi: $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$, $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$, $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$. Fungsi "co-" membawa tanda minus. Gabungkan secara bebas dengan aturan perkalian dan hasil bagi.