Menghubungkan Limit di Tak Hingga dan Asimtot Horizontal
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | Perilaku akhir |
| limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ | Limit di tak hingga |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | Asimtot horizontal |
Zoom out: apa yang terjadi jauh di sana?
- Daripada $x\to c$, sekarang biarkan $x$ melarikan diri ke $+\infty$ atau $-\infty$.
- Ini menjelaskan perilaku akhir fungsi — bentuknya di ujung kiri dan ujung kanan yang jauh.
- Kita menuliskan $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$: saat $x$ sangat besar, $f$ menstabilkan menuju $L$.
- Ini adalah limit di tak hingga, dan mereka mengungkap tren horizontal.
Pertarungan pangkat tertinggi
- Untuk fungsi rasional, perilaku akhir adalah perlombaan antara derajat atas dan bawah.
- Bawah menang (penyebut derajat lebih tinggi): $f\to0$. Contoh $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$.
- Seri (derajat sama): $f\to$ rasio koefisien utama. Contoh $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$.
- Atas menang (pembilang derajat lebih tinggi): $f\to\pm\infty$ — tidak ada asimtot horizontal (ia tumbuh).
Kurva yang meratakan diri menjauh
y = a / (x − b) + d
Geser $x$ menuju tepi — kurva tipe kebalikan akan meratakan diri menuju asimtot horizontal saat $x\to\pm\infty$.
Berapakah $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Derajat penyebut lebih tinggi, sehingga pecahan mengecil menuju $0$.
Pilih semua fungsi rasional dengan asimtot horizontal $y=0$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Derajat penyebut lebih tinggi → $y=0$. Yang ketiga setara derajat, memberikan $y=3$ alih-alih.
Asimtot horizontal
- Jika $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ (bilangan finite), garis $y=L$ adalah asimtot horizontal.
- Grafik meratakan diri dan berjalan sejajar dengan $y=L$ jauh dari titik asal.
- Trik: bagi setiap suku dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, lalu kirimkan $x\to\infty$ (setiap $\tfrac1{x^n}\to0$).
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
Evaluasi $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Derajat sama → rasio koefisien utama $\frac31=3$.
Limit finite di tak hingga, $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$, memberikan asimtot ____ $y=L$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Grafik meratakan diri menuju $y=L$.
Kedua ujung bisa berbeda
- Fungsi mungkin mendekati satu nilai saat $x\to+\infty$ dan nilai berbeda saat $x\to-\infty$.
- $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ di kanan tetapi $\to-\tfrac{\pi}{2}$ di kiri — dua asimtot horizontal.
- Jadi selalu periksa kedua arah; jangan asumsikan simetri.
- Berbeda dengan asimtot vertikal (putus di tengah), asimtot horizontal tentang tren jauh-jauhan, dan kurva bahkan bisa melewatinya.
Grafik dapat menyeberangi asimtot horizontalnya di tengah dan tetap mendekatinya di ujung-ujungnya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Asimtot horizontal menggambarkan perilaku jauh saja; penyeberangan di tengah diperbolehkan.
Untuk $\arctan x$, dua limit $\lim_{x\to+\infty}$ dan $\lim_{x\to-\infty}$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kedua ujung bisa berbeda — di sini ada dua asimtot horizontal.
Asimtot vertikal dan asimtot horizontal adalah makhluk yang berbeda. Vertikal ($x=c$): output meledak pada input tertentu — grafik tidak pernah melewatinya. Horizontal ($y=L$): tren jauh-jauhan saat $x\to\pm\infty$ — grafik bisa melewatinya di tengah dan tetap mendekatinya di ujung-ujungnya.
Temukan $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$ dan asimtot horizontal.
- Derajat seri (keduanya $2$), jadi bagi dengan $x^2$: $\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$.
- Saat $x\to\infty$, suku-suku $\tfrac3x$ dan $\tfrac7{x^2}$ $\to0$.
- Limit $=\dfrac{2}{5}$, maka $y=\tfrac25$ adalah asimtot horizontal.
Limit di tak hingga menjelaskan perilaku akhir. Untuk rasional: penyebut menang → $0$; derajat seri → rasio koefisien utama; pembilang menang → $\pm\infty$ (tidak ada asimtot horizontal). Nilai $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ yang finite memberikan asimtot horizontal $y=L$, dan kedua ujung mungkin berbeda.