Bekerja dengan Teorema Nilai Antara (IVT)
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | Teorema Nilai Antara |
| solution/səˈluːʃn/ | Solusi |
| zero/ˈzɪərəʊ/ | Nol fungsi |
Jika Anda naik dari 1 m ke 3 m, Anda melewati 2 m
- Berjalanlah terus-menerus dari ketinggian $1$ m ke $3$ m. Pada suatu saat Anda berada tepat di $2$ m — Anda tidak bisa melewatinya.
- Fakta yang terdengar jelas ini adalah Teorema Nilai Antara (IVT).
- Ini menjamin fungsi mencapai setiap ketinggian antara nilai akhirnya.
- Satu syarat: jalurnya harus kontinu — tidak boleh teleportasi, tidak boleh loncatan.
Naik yang kontinu melintasi setiap tingkat
y = ax³ + bx + c
Kurva kontinu ini melewati setiap ketinggian di antara ujungnya — pilih target $N$ dalam jangkauan dan hal itu akan tercapai di suatu tempat.
Apa yang dijanjikan teorema tersebut
- Jika $f$ kontinu pada interval tertutup $[a,b]$, dan $N$ adalah nilai apa pun yang berada di antara $f(a)$ dan $f(b)$,
- maka terdapat setidaknya satu $c$ dalam $(a,b)$ dengan $f(c)=N$.
- Dengan kata lain: fungsi kontinu mengambil setiap output perantara di suatu tempat di antaranya.
- Ini adalah teorema keberadaan — ia menjamin adanya $c$, tetapi tidak memberitahu nilainya.
IVT memberi tahu Anda nilai eksak dari $c$ di mana $f(c)=N$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini adalah teorema keberadaan — ia menjamin adanya $c$ tetapi tidak melokalisasinya.
Periksa hipotesis terlebih dahulu
- Sebelum menggunakan IVT, konfirmasi dua persyaratan tersebut secara lisan:
- (1) $f$ kontinu pada $[a,b]$ (polinomial, atau diverifikasi lainnya — lihat 1.12).
- (2) target $N$ berada secara ketat di antara $f(a)$ dan $f(b)$.
- Lewati salah satu pemeriksaan dan kesimpulannya tidak terjamin — untuk fungsi dengan loncatan, IVT tidak mengatakan apa-apa.
Untuk menerapkan IVT pada $[a,b]$ dengan target $N$, Anda membutuhkan semua dari...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
IVT memerlukan kontinuitas dan target dalam jangkauan. Keterdiferensiasian tidak diperlukan.
IVT mengharuskan fungsi tersebut ____ pada interval tertutup.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tanpa kontinuitas, lonjakan dapat melewatkan nilai target.
$f$ yang kontinu memiliki $f(2)=5$ dan $f(6)=9$. Untuk target manakah $N$ IVT menjamin solusi $f(c)=N$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$N$ harus berada di antara $5$ dan $9$; hanya $7$ yang memenuhi syarat.
Penggunaan klasik: menjamin akar
- Untuk menunjukkan persamaan memiliki solusi dalam $[a,b]$, tulis ulang sebagai $g(x)=0$ dan target $N=0$.
- Jika $g$ kontinu dan $g(a)$ serta $g(b)$ memiliki tanda berlawanan, maka $0$ berada di antara keduanya.
- IVT kemudian menjamin nol $c$ di mana $g(c)=0$ — persamaan memiliki akar dalam $(a,b)$.
- Argumen "perubahan tanda ⇒ akar" ini adalah tampilan ujian paling umum dari teorema ini.
$g$ yang kontinu memiliki $g(1)=-2$ dan $g(3)=4$. IVT menjamin...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tanda berlawanan mengapit $0$; IVT menjamin keberadaan akar, bukan jumlah atau lokasinya.
Untuk $g(x)=x^2-2$ pada $[1,2]$, hitung $g(1)$ untuk memeriksa perubahan tanda dengan $g(2)=2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g(1)=1-2=-1<0$ dan $g(2)=2>0$: perubahan tanda, sehingga $\sqrt2$ adalah akar di $(1,2)$.
IVT memerlukan kontinuitas pada seluruh interval tertutup dan target secara ketat di antara nilai ujung. Tanpa kontinuitas hal itu gagal: fungsi yang melompat dari $1$ ke $3$ tidak pernah sama dengan $2$. Dan IVT hanya menjamin keberadaan — ia tidak melokalisasi $c$ atau mengatakan berapa banyak $c$ seperti itu yang ada.
Tunjukkan $x^3 + x - 1 = 0$ memiliki solusi dalam $[0,1]$.
- Misalkan $g(x)=x^3+x-1$; itu adalah polinomial, sehingga kontinu pada $[0,1]$. ✓
- $g(0)=-1$ (negatif) dan $g(1)=1$ (positif) — tanda berlawanan, jadi $N=0$ berada di antara keduanya.
- Berdasarkan IVT, terdapat $c\in(0,1)$ dengan $g(c)=0$. Persamaan memiliki akar dalam $(0,1)$.
Teorema Nilai Antara: jika $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan $N$ terletak di antara $f(a)$ dan $f(b)$, maka $f(c)=N$ untuk beberapa $c$ dalam $(a,b)$. Selalu verifikasi kontinuitas dan bahwa $N$ berada dalam rentang terlebih dahulu. Headline penggunaannya: perubahan tanda fungsi kontinu menjamin akar dalam interval — hasil keberadaan, bukan nilai.