Mendefinisikan Kelanjutan pada Sebuah Titik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | kontinu |
"Gambarlah tanpa mengangkat pena"
- Secara intuitif, suatu fungsi kontinu di $c$ jika grafiknya tidak terputus di sana — tidak ada lubang, tidak ada loncatan, tidak ada ledakan.
- Namun "tidak ada putus" memerlukan uji presisi yang bisa Anda cek, bukan sekadar melihat sekilas.
- Kalkulus menyetatkannya pada tiga kondisi, semuanya tentang titik $c$.
- Lulus ketiga kondisi dan kurva mengalir mulus melewati $\big(c, f(c)\big)$.
Kurva tanpa putus
y = ax² + bx + c
Polinomial ini melewati ketiga kondisi kelanjutan di setiap titik — terdefinisi, limit ada, dan keduanya cocok.
Tiga kondisi
- (1) $f(c)$ terdefinisi — titiknya benar-benar ada (tidak ada lubang).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ ada — kedua limit satu sisi setuju (tidak ada loncatan, tidak ada ledakan).
- (3) Mereka sama: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — kurva tiba tepat di tempat titik berada.
- Ketiga kondisi harus terpenuhi. Kontinuitas di $c$ adalah persis kondisi (1) + (2) + (3).
Pilih semua kondisi yang diperlukan agar $f$ berkelanjutan pada $c$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tiga条件是terdefinisi, limit-ada, dan sama. Menjadi polinomial tidak diperlukan.
Syarat kelanjutan ketiga mengatakan bahwa limit harus ____ nilai fungsi $f(c)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
Gagal salah satu → ketidaklanjutan
- Gagal (1): titiknya hilang — lubang meskipun limitnya ada.
- Gagal (2): sisi-sisinya tidak setuju atau fungsinya meledak — loncatan atau putus tak hingga.
- Gagal (3): keduanya ada tetapi titik melayang menjauh dari kurva — lubang yang dapat dihilangkan yang digambar di tempat lain.
- Setiap kegagalan sesuai dengan jenis ketidaklanjutan dari pelajaran sebelumnya.
Jika $f(c)=1$ dan $\lim_{x\to c}f(x)=4$, maka pada $c$ fungsinya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Keduanya ada tetapi tidak setuju — syarat 3 gagal, jadi $f$ tidak berkelanjutan (lubang yang dapat dihilangkan).
Memeriksa titik tertentu
- Masukkan: apakah $f(c)$ merupakan bilangan riil? (Kondisi 1.)
- Ambil limit dari kedua sisi: apakah mereka setuju pada nilai $L$? (Kondisi 2.)
- Bandingkan: apakah $L=f(c)$? (Kondisi 3.)
- Hanya "ya, ya, ya" yang mendapatkan label kontinu di $c$.
Hanya mengetahui bahwa $f(c)$ terdefinisi cukup untuk menyimpulkan bahwa $f$ berkelanjutan pada $c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Anda juga perlu limit ada dan sama dengan $f(c)$.
Untuk $f(x)=x^2+1$, apakah $f$ berkelanjutan pada $x=2$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ketiga kondisi terpenuhi, jadi $f$ berkelanjutan pada $2$ (polinomial berkelanjutan di mana saja).
Untuk kelanjutan $f$ pada $x=1$ kita membutuhkan $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. Jika $\lim_{x\to1}f(x)=7$, apa yang harus $f(1)$ bernilai?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Syarat 3 memaksa $f(1)=7$.
Ketiga kondisi diperlukan — hanya memeriksa bahwa $f(c)$ ada, atau hanya memeriksa bahwa limit ada, tidak cukup. Suatu fungsi dapat memiliki $f(c)=1$ dan $\lim_{x\to c}f(x)=4$ yang sempurna, namun tetap tidak kontinu karena $1\neq4$ (kondisi 3 gagal).
Apakah $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\[4pt]3,&x=1\end{cases}$ kontinu pada $x=1$?
- (1) $f(1)=3$ — terdefinisi. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — ada. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — tidak sama. ✗
- Kondisi (3) gagal, sehingga $f$ tidak kontinu pada $1$ (lubang yang dapat dihilangkan dengan titik digambar pada ketinggian $3$).
$f$ kontinu pada $c$ tepat ketika tiga hal terpenuhi: $f(c)$ terdefinisi, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ ada, dan keduanya sama. Gagal salah satu pun akan menyebabkan ketidakkontinuan — kondisi yang gagal memberi tahu jenisnya.