Mengonfirmasi Kelanjutan atas Interval
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| interval/ˈɪntəvl/ | interval |
| domains/dəˈmeɪnz/ | domain |
Dari satu titik hingga seluruh rentang
- Kontinuitas pada satu titik itu bagus; biasanya kita menginginkannya melintasi interval.
- Suatu fungsi kontinu pada suatu interval jika ia kontinu pada setiap titik di dalamnya.
- Itulah yang memungkinkan Anda menggambar seluruh rentang tanpa mengangkat pena.
- Dua kehalusan: bagaimana memperlakukan titik ujung, dan fungsi-fungsi mana yang secara otomatis kontinu.
Berkelanjutan di seluruh tampilan
y = ax³ + bx
Polinomial berkelanjutan pada setiap interval — tidak ada lubang, lompatan, atau ledakan di mana pun Anda melihat.
Interval terbuka vs. tertutup
- Pada interval terbuka $(a,b)$: periksa kontinuitas tiga-kondisi pada setiap titik dalam.
- Pada interval tertutup $[a,b]$: juga tangani titik ujung, di mana Anda hanya bisa mendekati dari satu sisi.
- Di ujung kiri $a$,要求 kontinuitas kanan: $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$.
- Di ujung kanan $b$, persyaratkan kontinuitas kiri: $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
Di ujung kiri $a$ dari interval tertutup $[a,b]$, kelanjutan memerlukan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Anda hanya dapat mendekati ujung kiri dari sebelah kanan, jadi kelanjutan kanan diperlukan.
Untuk $f(x)=\sqrt x$ pada $[0,9]$, pemeriksaan kelanjutan kiri di ujung kanan memerlukan $\lim_{x\to9^-}\sqrt x$. Berapakah nilai itu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt 9 = 3$, yang sama dengan $f(9)$, jadi $f$ berkelanjutan kiri di sana.
Fungsi-fungsi yang datang "pre-kontinu"
- Pada domain alaminya, keluarga ini kontinu di mana saja:
- Polinomial — kontinu untuk semua real $x$.
- Fungsi rasional, eksponensial, logaritmik, dan trigonometri — kontinu di mana mereka terdefinisi.
- Jadi fungsi rasional kontinu kecuali di mana penyebutnya nol; $\ln x$ kontinu untuk $x>0$.
Fungsi mana yang berkelanjutan untuk semua $x$ real?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Polinomial berkelanjutan di mana saja; yang lain memiliki kesenjangan domain.
Pilih semua keluarga fungsi yang berkelanjutan pada seluruh domain alami mereka.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keempatnya berkelanjutan di seluruh domain mereka — domain hanya mengecualikan titik bermasalah (misalnya rasional pada nol penyebut).
Mengapa kita peduli: membuka teorema-teorema
- Kontinuitas pada interval tertutup adalah tiket masuk menuju teorema besar di depan.
- Teorema Nilai Antara (1.16) dan Teorema Nilai Ekstrem (Unit 5) keduanya memerlukan kontinuitas pada $[a,b]$.
- Lewati pemeriksaan kontinuitas dan teorema-teorema tersebut sekadar tidak berlaku — jebakan ujian umum.
- Jadi mengonfirmasi kontinuitas melintasi interval bukan pekerjaan sia-sia; itu adalah hipotesis tempat segala sesuatu berdiri.
$f(x)=\dfrac1x$ berkelanjutan pada interval $[-1,1]$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$0\in[-1,1]$ dan $f$ meledak di sana, sehingga fungsi tersebut tidak kontinu pada interval itu.
Kelanjutan pada interval tertutup adalah hipotesis yang diperlukan dari Teorema Nilai ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
IVT (dan Teorema Nilai Ekstrem) memerlukan kelanjutan pada $[a,b]$.
"Kontinu pada domainnya" berbeda dengan "kontinu di mana saja." $f(x)=\dfrac1x$ kontinu pada domainnya (semua $x\neq0$), namun ia tidak kontinu pada $[-1,1]$ karena $0$ berada di interval tersebut dan $f$ meledak di sana. Selalu pastikan interval menghindari titik bermasalah.
Apakah $f(x)=\sqrt{x}$ kontinu pada $[0,4]$?
- Interior $(0,4)$: $\sqrt x$ kontinu (fungsi standar pada domainnya). ✓
- Titik ujung kiri $0$: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0=f(0)$ — kontinuitas kanan. ✓
- Titik ujung kanan $4$: $\displaystyle\lim_{x\to4^-}\sqrt x=2=f(4)$ — kontinuitas kiri. ✓
- Jadi $f$ kontinu pada interval tertutup $[0,4]$.
$f$ kontinu pada suatu interval ketika ia kontinu pada setiap titik di dalamnya, menggunakan kontinuitas satu sisi pada titik ujung interval tertutup. Polinomial, rasional, eksponensial, logaritmik, dan fungsi trigonometri kontinu pada domain mereka. Kontinuitas-interval ini adalah hipotesis yang bergantung IVT dan EVT.