Menentukan Limit dan Menggunakan Notasi Limit
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| limit/ˈlɪmɪt/ | limit |
| approaches/əˈprəʊtʃɪz/ | mendekati |
| one-sided limit/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | limit satu sisi |
| left-hand/left hænd/ | sisi kiri |
| right-hand/raɪt hænd/ | sisi kanan |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | limit dua sisi |
Ke mana grafik menuju?
- Abaikan titik tunggal sesaat — tanyakan ke mana kurva menuju saat Anda menggeser $x$ menuju suatu nilai.
- Ikuti $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ saat $x$ mendekati $1$. Masukkan $x=1$ dan Anda mendapat $\tfrac{0}{0}$ — tidak terdefinisi.
- Namun outputnya bergerak stabil menuju $2$: $f(0.9)=1.9$, $f(0.99)=1.99$, $f(1.01)=2.01$.
- Fungsi memiliki lubang di $x=1$, tetapi jelas mengarah ke $2$. Nilai target itu adalah limit.
Perhatikan ke mana kurva bergerak
y = ax² + bx + c
Geser koefisien dan pilih input $c$ dalam pikiran Anda — limit adalah ketinggian yang didekati kurva di dekat $c$, bukan titik itu sendiri.
Menulisnya: notasi limit
- Kita menulis $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ dan membacanya "limit dari $f$ dari $x$, saat $x$ mendekati $c$, sama dengan $L$."
- $c$ adalah input yang kita dekati; $L$ adalah output yang dituju oleh fungsi.
- Pentingnya, $x \to c$ berarti "mendekati $c$" — tidak pernah "sama dengan $c$." Kita tetap berada di luar titik itu sendiri.
- Untuk contoh kita: $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$, meskipun $f(1)$ tidak ada.
Notasi $\lim_{x \to c} f(x) = L$ berarti bahwa saat $x$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x \to c$ berarti $x$ mendekati $c$ tanpa menyentuhnya, dan $f(x)$ menuju ke arah $L$.
Evaluasi $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Faktorkan: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ untuk $x\neq3$, yang menuju ke $3+3=6$.
Mendekati dari kiri dan kanan
- Anda dapat mendekati $c$ dari dua arah, dan masing-masing memiliki limit satu sisi-nya sendiri.
- Dari bawah ($x$ sedikit kurang dari $c$): limit kiri, $\displaystyle\lim_{x \to c^-} f(x)$.
- Dari atas ($x$ sedikit lebih besar dari $c$): limit kanan, $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x)$.
- Tanda kecil $-$ dan $+$ terletak di atas $c$ untuk menunjukkan arah perjalanan.
Ekspresi manakah yang merupakan limit satu sisi kanan dari $f$ pada $c$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Superscript $+$ pada $c$ berarti $x$ mendekati dari atas — sisi kanan.
Kedua sisi harus sepakat
- Limit dua sisi $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)$ biasa ada hanya jika kedua limit satu-sisi ada dan sama.
-
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to c} f(x) = L$$
- Jika sisi kiri menuju satu nilai dan sisi kanan menuju nilai lain, limit dua sisi tidak ada (DNE).
Limit dua sisi pada $c$ hanya ada ketika limit satu sisi kiri dan kanan keduanya ada dan ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kedua limit satu sisi harus setuju pada satu nilai $L$.
Pilih semua situasi di mana $\lim_{x\to c} f(x)$ tidak ada.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Limit gagal ketika sisi-sisinya tidak setuju, nilainya tak terbatas, atau berosilasi. Ketidakcocokan dengan $f(c)$ saja tidak membunuh limit — itu hanya memutus kontinuitas.
Limit tentang perjalanan, bukan titik tujuan. $\lim_{x \to c} f(x)$ bisa ada bahkan saat $f(c)$ tidak terdefinisi, dan bisa berbeda dari $f(c)$ ketika titik digambar di luar kurva. Jangan pernah berasumsi $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ — itu adalah kasus khusus (kontinuitas), bukan aturan umum.
Jika $f(c)$ tidak terdefinisi, maka $\lim_{x \to c} f(x)$ tidak dapat ada.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Limit berkaitan dengan pendekatan, bukan titik. $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$ meskipun $f(1)$ tidak terdefinisi.
Untuk fungsi sepotong-sepotong, $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ dan $\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 5$.
- Sisi kiri menuju $3$; sisi kanan menuju $5$.
- Mereka tidak sepakat, jadi $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ tidak ada — graf melompat di $x=2$.
- Ini benar tanpa peduli nilai apa (jika ada) yang digambar di $x=2$.
$\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ menyatakan bahwa $f(x)$ menuju $L$ saat $x$ mendekati $c$ dari kedua sisi — tanpa pernah menyentuh $c$. Limit dua sisi ada jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanan keduanya ada dan sama. Limit menggambarkan ke mana fungsi menuju, yang mungkin tidak sama dengan $f(c)$.