Mengestimasi Nilai Limit dari Grafik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | limit kiri |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | limit kanan |
| hole/həʊl/ | lubang |
| jump/dʒʌmp/ | loncatan |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | tak terbatas |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | osilasi |
Baca limit langsung dari gambar
- Dengan grafik yang diberikan, Anda sering dapat melihat limit tanpa aljabar.
- Letakkan jari Anda pada kurva sedikit di sebelah kiri $x=c$ dan telusuri menuju $c$: ketinggian apa yang akan Anda capai?
- Lakukan hal yang sama dari sisi kanan. Jika kedua jari mengarah ke ketinggian yang sama, maka ketinggian itulah limitnya.
- Triknya: perhatikan ke mana kurva menuju, dan abaikan titik tunggal yang digambar di $x=c$.
Jejakkan kurva menuju suatu titik
y = ax² + bx + c
Geserlah menuju input dari kiri dan kanan — limit adalah ketinggian bersama yang didekati kurva, apa pun yang mungkin dikatakan oleh titik tunggal.
Untuk membaca $\lim_{x\to c} f(x)$ dari grafik, Anda harus melihat...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Limit adalah ketinggian bersama yang didekati dari kedua sisi — titik di $c$ tidak relevan.
Kiri dan kanan, baca secara terpisah
- Telusuri dari kiri saja → limit kiri $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$.
- Telusuri dari kanan saja → limit kanan $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$.
- Pada grafik, titik penuh ● berarti titik tersebut berada pada kurva; titik kosong ○ (lubang) berarti tidak.
- Limit mengabaikan apakah titik itu penuh atau kosong — ia hanya peduli pada pendekatan.
Graf naik secara konsisten dan, tepat di kiri $x=5$, kurva sedang melewati ketinggian $2.9, 2.99, 2.999$. Estimasi $\lim_{x\to 5^-} f(x)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Nilai sisi kiri mendekat pada $3$, sehingga limit satu sisi kiri adalah $3$.
Ketika limit tidak ada
- Tiga bentuk grafik klasik membuat limit gagal (DNE):
- Lompatan: kedua sisi menuju ketinggian yang berbeda.
- Tak terhingga meledak: kurva melesat ke $\pm\infty$ dekat asimtot vertikal.
- Osilasi: kurva bergoyang tak terbatas cepat (seperti $\sin\frac1x$) dan tidak pernah tenang.
Jika sisi kiri grafik menuju ke $2$ dan sisi kanan menuju ke $6$, limit tidak ada karena ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ketinggian satu sisi yang berbeda berarti diskontinuitas loncat, sehingga limit dua sisi DNE (Tidak Ada).
Dari grafik, pilih semua fitur yang menyebabkan $\lim_{x\to c} f(x)$ gagal ada.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ledakan, loncatan, dan osilasi semuanya mematikan limit. Lubang yang dapat dihapus tidak — kedua sisi tetap setuju.
Titik titik di $c$ adalah umpan
- Ketinggian yang kurva menuju, $\lim_{x\to c}f(x)$, adalah pertanyaan terpisah dari nilai yang digambar $f(c)$.
- Kurva dapat menuju $4$ dengan mulus sementara titik tunggal berada di $f(c)=1$ — limitnya tetap $4$.
- $f(c)$ bahkan bisa tidak terdefinisi (lubang) sementara limitnya ada.
- Jadi selalu jawab dua pertanyaan secara terpisah: ke mana kurva menuju? dan apakah ada titik, dan di mana?
Jika grafik menunjukkan lubang terbuka di $(2,4)$ dan titik penuh di $(2,1)$, maka $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kurva mendekati ketinggian $4$ dari kedua sisi, sehingga limitnya adalah $4$; titik penuh hanyalah $f(2)=1$.
Kurva halus melewati ketinggian $7$ pada $x=3$ dengan tanpa lubang atau titik lain. Berapakah $f(3)$ dan $\lim_{x\to 3} f(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tanpa lubang atau loncatan, kurva kontinu di sana, sehingga limit $= f(3) = 7$.
Jebakan umum: membaca $f(c)$ (titik yang digambar) ketika pertanyaan meminta $\lim_{x\to c}f(x)$ (pendekatan). Keduanya berbeda. Jika Anda melihat titik penuh melayang di atas kurva yang mulus, limitnya adalah ketinggian kurva — bukan titik tersebut.
Dari grafik: dekat $x=2$ kurva naik menuju lubang pada ketinggian $4$, dan sebuah titik solid digambar di $(2,\,1)$.
- Limit kiri: menuju $4$. Limit kanan: menuju $4$.
- Keduanya sepakat, jadi $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$.
- Tetapi $f(2) = 1$ (titik penuh). Nilai fungsi limit $\neq$ di sini.
Membaca limit dari grafik, telusuri kurva menuju $c$ dari kedua sisi dan tanyakan ketinggian apa yang Anda tuju; titik yang digambar di $c$ adalah umpan. Limitnya DNE ketika sisi-sisinya memberikan ketinggian yang berbeda (lompat), kurva tak terhingga, atau berosilasi tanpa henti.