Volume dengan Potongan Melintang: Persegi dan Persegi Panjang
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | penampang melintang |
Menumpuk pelat tipis menjadi sebuah paduan
- Integrasi juga digunakan untuk menemukan volume, tidak hanya luas — dengan menjumlahkan irisan tipis dari sebuah paduan.
- Iris sebuah paduan tegak lurus terhadap sebuah sumbu; setiap irisan adalah pelat tipis dengan luas penampang tertentu $A(x)$.
- Jumlahkan semuanya: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — integral dari luas penampang.
- Pelajaran ini mencakup paduan yang penampangnya berupa persegi atau persegi panjang.
Rumus volume umum
- Jika penampang pada $x$ memiliki luas $A(x)$ dan ketebalan $dx$, volumenya yang sangat kecil adalah $A(x)\,dx$.
- Jumlahkan seluruh paduan: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- Semuanya boils down to: tulis luas penampang sebagai fungsi dari $x$, lalu integralkan.
- Bagian yang sulit adalah geometri dari satu irisan, bukan kalkulusnya.
Volume benda padat dengan luas penampang $A(x)$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jumlahkan pelat $A(x)\,dx$.
Untuk menggunakan $V=\int_a^b A(x)\,dx$, irisan penampang harus...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Irisan tegak lurus terhadap sumbu yang Anda integralkan sepanjang.
Potongan melintang persegi
- Pengaturan umum: potongan melintangnya adalah persegi dengan alas yang terletak pada daerah di antara dua kurva.
- Jika panjang alasnya $s(x)$ (sering kali $f(x)-g(x)$, yaitu jarak antar kurva), luas persegi adalah $s(x)^2$.
- Maka $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- Alas setiap persegi membentang sepanjang daerah; luasnya adalah kuadrat dari alas.
Wilayah dasar di bawah √x
y = a·√x
Setiap irisan persegi berada di atas dasar; sisi-sisinya adalah tinggi $\sqrt{x}$, sehingga luasnya adalah $(\sqrt{x})^2=x$.
Untuk penampang persegi dengan alas $s(x)$, luasnya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Persegi dengan sisi $s$ memiliki luas $s^2$.
Panjang alas penampang sering kali merupakan jarak antara kurva batas, $f(x)-g(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Alas membentang di antara kurva-kurva tersebut.
Potongan melintang persegi panjang
- Untuk persegi panjang, luasnya adalah alas $\times$ dikali tinggi: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- Tingginya mungkin merupakan kelipatan tetap dari alas, atau diberikan secara terpisah dalam soal.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- Bacalah soal dengan cermat untuk menentukan aturan tingginya dengan benar.
Alas di bawah $y=\sqrt x$ pada $[0,4]$, penampang persegi: $A(x)=x$. Temukan $V=\int_0^4 x\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
Untuk penampang persegi panjang, luas = alas ____ tinggi.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A=s\cdot h$ untuk persegi panjang.
Panjang alas $s(x)$ biasanya adalah jarak antara kurva batas ($f(x)-g(x)$) atau antara kurva dan sumbu — tentukan apa yang membentang sebagai alas sebelum dikuadratkan. Untuk persegi, luasnya adalah $s(x)^2$ (jangan lupa mengkuadratkan seluruh selisihnya). Irisan harus tegak lurus terhadap sumbu yang Anda integralkan sepanjangnya.
Sebuah benda padat memiliki alas berupa daerah di bawah $y=\sqrt{x}$ dari $x=0$ hingga $4$, dengan potongan melintang persegi yang tegak lurus terhadap sumbu $x$.
- Alas setiap persegi adalah $s(x)=\sqrt{x}$ (dari kurva ke sumbu $x$).
- Luas penampang melintang: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
Volume benda padat adalah $V=\int_a^b A(x)\,dx$, yaitu integral dari luas penampang melintangnya. Untuk potongan melintang persegi dengan alas $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; untuk persegi panjang, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. Temukan alas $s(x)$ (sering kali selisih antar kurva), tuliskan $A(x)$, lalu integralkan.