Menghubungkan Posisi, Kecepatan, dan Percepatan Fungsi Menggunakan Integral
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | Posisi |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | perpindahan |
Gerak, kini dijalankan melalui integral
- Unit 4 pergi posisi → kecepatan → percepatan melalui diferensiasi. Integrasi berjalan mundur.
- Integralkan percepatan untuk mendapatkan kembali kecepatan; integralkan kecepatan untuk mendapatkan kembali posisi.
- Setiap langkah menjumlahkan laju untuk mendapatkan besaran yang berubah.
- Jadi integral membangun kembali cerita gerak dari laju-lajunya.
Untuk mendapatkan posisi dari kecepatan Anda...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Posisi $=$ awal $+\int v\,dt$.
Naik ke rantai
- Kecepatan dari percepatan: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Posisi dari kecepatan: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Masing-masing memerlukan nilai awal (konstanta integrasi dalam penyamaran).
- Integralkan lajunya, lalu tambahkan di mana Anda dimulai.
Memulihkan posisi dari kecepatan memerlukan nilai ____ untuk menentukan konstanta.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Posisi $=$ posisi awal $+\int v\,dt$.
Perpindahan vs jarak
- Perpindahan selama $[a,b]$ adalah integral bertanda dari kecepatan: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — perubahan bersih posisi.
- Jarak total adalah integral dari kelajuan $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — tidak pernah mengurangi.
- Jika benda berbalik arah, perpindahan dan jarak berbeda.
- Perpindahan bisa nol setelah gerak nyata; jarak tidak (kecuali jika tidak pernah bergerak).
Luas bertanda di bawah kecepatan
y = t − 2 (kecepatan)
Luas bertanda di bawah $v(t)$ adalah perpindahan; mengambil nilai mutlak pada setiap bagian (dipisah di $v=0$) memberikan jarak.
Untuk $v(t)=t-2$ pada $[0,3]$, temukan perpindahan $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Perpindahan bisa nol meskipun benda sebenarnya telah bergerak.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pergi dan kembali memberikan perpindahan bersih nol tetapi jarak positif.
Jarak berarti memisahkan di belokan
- Untuk mendapatkan total jarak, temukan tempat $v=0$ (titik belok) dan integralkan $|v|$ bagian per bagian.
- Pada setiap bagian $v$ mempertahankan satu tanda, sehingga $|v|$ hanyalah $\pm v$ di sana.
- Tambahkan luas mutlak dari bagian-bagian tersebut — tanpa pengurangan.
- Langkah "pembelahan pada $v=0$" ini persislah yang menjadikan jarak $\neq$ sebagai perpindahan.
Untuk $v(t)=t-2$ pada $[0,3]$, total jarak adalah $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Hitunglah.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pisahkan di $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
Total jarak tempuh selama $[a,b]$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Integralkan kecepatan $|v|$; memisahkan di titik belok diperlukan.
Perpindahan ($\int v\,dt$) memiliki tanda dan bisa nol bahkan setelah bergerak; total jarak ($\int|v|\,dt$) tidak pernah negatif. Untuk mendapatkan jarak, pisahkan interval di mana $v=0$ dan tambahkan nilai mutlak — jangan hanya mengintegralkan $v$ dan mengambil nilai mutlaknya di akhir. Dan untuk mendapatkan kembali posisi/kecepatan memerlukan nilai awal.
Sebuah partikel memiliki $v(t)=t-2$ (m/s) pada $[0,3]$. Temukan perpindahan dan total jarak.
- Perpindahan: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ pada $t=2$: negatif pada $[0,2)$, positif pada $(2,3]$.
- Jarak: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Integral membangun kembali gerakan: kecepatan $=$ awal $+\int a\,dt$, posisi $=$ awal $+\int v\,dt$. Perpindahan atas $[a,b]$ adalah $\int_a^b v\,dt$ bertanda; total jarak adalah $\int_a^b|v|\,dt$ — pisahkan di titik belok ($v=0$) dan tambahkan nilai mutlak.