Model Eksponensial dengan Persamaan Diferensial
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | Pertumbuhan eksponensial |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | Model eksponensial |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | peluruhan eksponensial |
Persamaan di balik pertumbuhan eksponensial
- Satu persamaan diferensial muncul di mana-mana: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — "laju sebanding dengan jumlah."
- Solusinya adalah model eksponensial terkenal $y=y_0 e^{kt}$.
- Populasi, peluruhan radioaktif, bunga majemuk, pendinginan — semuanya mengikuti pola ini.
- Selesaikan sekali dan Anda memiliki keluarga besar model dunia nyata.
Menurunkan $y=y_0 e^{kt}$
- Pisahkan: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. Integralkan: $\ln|y|=kt+C$.
- Eksponensiasikan: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- Terapkan jumlah awal $y(0)=y_0$: $A=y_0$.
- Solusi: $y=y_0 e^{kt}$ — nilai awal dikalikan $e^{kt}$.
Solusi dari $\dfrac{dy}{dt}=ky$ dengan $y(0)=y_0$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pisahkan dan integralkan: $y=y_0 e^{kt}$.
Pertumbuhan ketika $k>0$
- Jika $k>0$, maka $e^{kt}$ meningkat, sehingga $y$ menunjukkan pertumbuhan eksponensial.
- Jumlah terus berlipat ganda — semakin besar, semakin cepat pertumbuhannya.
- $k$ adalah laju pertumbuhan (kontinu); $k$ yang lebih besar berarti pertumbuhan lebih cepat.
- Contoh: populasi tak terkendali, bunga majemuk.
Pertumbuhan (k>0) vs peluruhan (k<0)
y = a·e^{bx}
$y=y_0 e^{kt}$ naik saat $k>0$ dan turun menuju nol saat $k<0$ — tanda $k$ menentukan perilakunya.
Dalam $y=y_0 e^{kt}$, pertumbuhan eksponensial terjadi ketika...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$k>0$ membuat $e^{kt}$ meningkat → pertumbuhan.
Untuk $P=500e^{0.3t}$, temukan $P(0)$ (jumlah awal).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$P(0)=500 e^0=500$.
Peluruhan ketika $k<0$
- Jika $k<0$, maka $e^{kt}$ menurun, sehingga $y$ menunjukkan peluruhan eksponensial.
- Jumlah mengecil menuju $0$ tetapi tidak pernah benar-benar mencapainya.
- Peluruhan radioaktif dan perbedaan pendinginan mengikuti $k<0$.
- Besaran $|k|$ menentukan seberapa cepat peluruhan terjadi (terkait dengan waktu paruh).
Peluruhan eksponensial terjadi ketika $k$ adalah ____ (tanda).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$k<0$ membuat $e^{kt}$ menyusut menuju $0$.
Model $y=y_0 e^{kt}$ berlaku pada situasi dengan laju konstan $\dfrac{dy}{dt}=c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Laju konstan menghasilkan garis; model eksponensial memerlukan laju ∝ jumlah.
Situasi mana yang dimodelkan oleh $\dfrac{dy}{dt}=ky$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tiga pertama memiliki laju sebanding dengan jumlah; keran laju konstan tidak demikian.
Model eksponensial berasal hanya dari $\frac{dy}{dt}=ky$ (laju sebanding dengan jumlah). Jangan terapkan $y=y_0 e^{kt}$ pada situasi laju konstan ($\frac{dy}{dt}=c$, yang menghasilkan garis lurus). Dan tanda dari $k$ adalah segalanya: $k>0$ tumbuh, $k<0$ meluruh — tanda yang salah membalikkan seluruh perilaku.
Koloni $500$ bakteri tumbuh sedemikian rupa sehingga $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ ($t$ dalam jam). Temukan $P(t)$ dan $P(4)$.
- Model: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$.
- Pada $t=4$: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ bakteri.
- Karena $k=0.3>0$, ini adalah pertumbuhan eksponensial.
Persamaan diferensial $\frac{dy}{dt}=ky$ memberikan model eksponensial $y=y_0 e^{kt}$, di mana $y_0$ adalah jumlah awal. $k>0$ → pertumbuhan eksponensial; $k<0$ → peluruhan eksponensial. Ini berlaku hanya ketika laju sebanding dengan jumlah saat ini.