Jumlah Riemann, Notasi Penjumlahan, dan Notasi Integral Tentu
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | notasi penjumlahan |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral tentu |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | batas integrasi |
Menulis "menjumlahkan semua persegi panjang" secara ringkas
- Jumlah Riemann dengan banyak persegi panjang memerlukan notasi yang rapi — masukkan notasi penjumlahan.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ berarti "jumlahkan $f(x_i)\,\Delta x$ dari $i=1$ hingga $n$."
- Setiap strip memiliki lebar $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ dan tinggi $f(x_i)$ di titik sampel.
- $\Sigma$ hanya mengatakan "jumlahkan luas persegi panjang ini."
Untuk $n$ strip sama pada $[a,b]$, lebar $\Delta x$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lebar interval dibagi dengan jumlah strip.
Simbol $\sum_{i=1}^{n}$ memberi tahu Anda untuk...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sigma berarti penjumlahan atas rentang indeks.
Biarkan persegi panjang menjadi tak terhingga tipisnya
- Perkiraan membaik saat $n$ bertambah dan $\Delta x$ mengecil. Ambil limit $n\to\infty$.
- Dalam limit tersebut, jumlah persegi panjang menjadi luas eksak — tidak ada pendekatan tersisa.
- Nilai limit itu adalah integral tentu.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
Integral adalah area yang tepat
y = x²
Ketika persegi panjang menipis hingga tak terhingga, jumlahnya menjadi area arsiran yang tepat — integral tentu.
Integral tentu $\int_a^b f\,dx$ adalah limit dari jumlah Riemann saat...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tak terhingga banyak persegi panjang yang sangat tipis → area yang tepat.
Membaca notasi integral
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: $\int$ adalah "S" yang diregangkan untuk jumlah; $a$ dan $b$ adalah batas integrasi.
- $f(x)$ adalah integran (apa yang Anda akumulasi); $dx$ adalah ketebalan tak terhingga.
- Bacalah "integral dari $f$ terhadap $x$, dari $a$ hingga $b$."
- Ini menandai luas bermuatan tepat antara kurva dan sumbu $x$ pada $[a,b]$.
Dalam $\int_a^b f(x)\,dx$, fungsi $f(x)$ yang diakumulasi disebut ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a,b$ adalah batas-batasnya; $f(x)$ adalah integrand.
Itu masih luas bermuatan
- Sama seperti jumlah Riemann, integral tentu bersifat bermuatan.
- Di mana $f>0$ integral menambahkan luas; di mana $f<0$ ia menguranginya.
- Jadi $\int_a^b f\,dx$ bisa positif, negatif, atau nol.
- $\Delta x$ membawa arah: bergerak dari $a$ ke $b$ dengan $a<b$ membuat lebarnya positif.
Integral tentu $\int_a^b f\,dx$ menghasilkan satu angka.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini adalah angka area bertanda, bukan fungsi.
Jika $f(x)<0$ di seluruh $[a,b]$, maka $\int_a^b f\,dx$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Area di bawah sumbu adalah area bertanda negatif.
Integral tentu adalah angka (luas bermuatan), bukan fungsi — jangan tertukar dengan integral tak tentu (keluarga antiturunan, pelajaran 6.8). Dan $\int_a^b f\,dx$ adalah luas bermuatan: kurva yang turun di bawah sumbu memberikan kontribusi negatif, sehingga integral bukan sama dengan "total luas geometris."
Nyatakan luas di bawah $f(x)=x^2$ pada $[0,2]$ sebagai integral tentu.
- Lebar setiap $n$ strip: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Jumlah Riemann: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Luas tepat: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (yang sama dengan $\tfrac83$).
Jumlah Riemann dalam notasi penjumlahan adalah $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ dengan $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Limitnya saat $n\to\infty$ adalah integral tentu $\int_a^b f(x)\,dx$ — luas bermuatan eksak, dengan $a,b$ sebagai batas integrasi dan $f(x)$ sebagai integran.