Teorema Fundamental Kalkulus dan Fungsi Akumulasi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | Teorema Dasar Kalkulus |
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | Fungsi akumulasi |
Jembatan antara luas dan kemiringan
- Diferensiasi (kemiringan) dan integrasi (luas) tampak tidak berkaitan — tetapi mereka adalah invers.
- Teorema Dasar Kalkulus (FTC) adalah koneksi menakjubkan itu.
- Bagian pertamanya tentang fungsi didefinisikan oleh integral, yang disebut fungsi akumulasi.
- Turunkan dan — secara ajaib — Anda mendapatkan integran kembali.
Fungsi akumulasi
- Tetapkan batas bawah $a$ dan biarkan batas atas bervariasi: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ adalah luas bermuatan terakumulasi di bawah $f$ dari $a$ hingga $x$.
- Saat $x$ bergerak ke kanan, $g$ mengumpulkan lebih banyak luas; variabel integrasi $t$ hanyalah tempat penampung.
- $g$ adalah fungsi sejati dari $x$ — Anda dapat menggambarnya, menurunkan, dan menganalisisnya.
Area yang terakumulasi hingga x
y = t² + 1 (integrand)
Sebatas batas atas bergeser ke kanan, $g(x)$ mengumpulkan lebih banyak area; laju pertumbuhannya secara instan persis $f(x)$.
Fungsi berbentuk $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ disebut fungsi ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fungsi ini mengakumulasi area bertanda hingga $x$.
Dalam $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, variabel $t$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$t$ adalah variabel dummy; $x$ adalah input aktual dari $g$.
FTC Bagian 1: turunan membatalkan integral
- Bagian pertama FTC mengatakan:
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- Dengan kata lain: turunan dari fungsi akumulasi adalah integran itu sendiri.
- Laju akumulasi luas pada $x$ = tinggi $f(x)$ di sana. Sangat sederhana.
Menurut Bagian 1 FTC, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan dari fungsi akumulasi adalah integrand $f(x)$.
Untuk $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, tentukan $g'(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g'(x)=x^2+1$, sehingga $g'(3)=10$.
Dengan sentuhan aturan rantai
- Jika batas atas adalah fungsi $u(x)$, aturan rantai berlaku:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- Masukkan batas atas ke dalam $f$, lalu kalikan dengan turunan dari batas atas tersebut.
- (Variabel batas bawah membalikkan tanda, karena menukar batas mem Negatifkan integral.)
Untuk $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$, jawabannya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan rantai: masukkan batas atas, dikali turunannya $2x$.
Ketika batas atas adalah $u(x)$, Anda mengalikan integrand-untuk-$u$ dengan $u'(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Faktor aturan rantai itu diperlukan.
FTC Bagian 1 memberikan $g'(x)=f(x)$ hanya jika $x$ adalah batas atas biasa. Jika batas atas adalah $u(x)$ (seperti $x^2$), Anda harus mengalikan dengan $u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. Melupakan faktor aturan rantai ini adalah kesalahan klasik.
Misalkan $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. Temukan $g'(x)$ dan $g'(3)$.
- Berdasarkan FTC Bagian 1: $g'(x)=x^2+1$ (hanya integran dengan $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (Tidak perlu menghitung integralnya sendiri — turunan membacanya langsung).
Sebuah fungsi akumulasi $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ mengumpulkan luas bermuatan hingga $x$. FTC Bagian 1: $g'(x)=f(x)$ — menurunkan fungsi akumulasi mengembalikan integran. Jika batas atas adalah $u(x)$, kalikan dengan $u'(x)$ (aturan rantai).