Menggunakan Aturan L'Hospital untuk Menentukan Limit Bentuk Tak Tentu
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | Aturan L'Hospital |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | bentuk tak tentu |
Trik turunan untuk limit bandel
- Kembali ke Unit 1, $\tfrac00$ berarti "sederhanakan dengan aljabar." Terkadang tidak ada aljabar yang membantu.
- Aturan L'Hospital menggunakan turunan untuk memecahkan limit bandel tersebut.
- Aturan ini berlaku untuk bentuk tak tentu $\tfrac00$ dan $\tfrac{\infty}{\infty}$.
- Gagasan: ganti rasio fungsi dengan rasio turunan-nya.
Periksa bentuknya terlebih dahulu
- L'Hospital hanya berlaku untuk bentuk tak tentu yang sesungguhnya: $\dfrac00$ atau $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- Substitusikan terlebih dahulu untuk memastikan Anda mendapatkan satu — jika substitusi langsung sudah menghasilkan angka, Anda selesai, dan aturan ini tidak berlaku.
- Menerapkannya pada limit yang bukan tak tentu (seperti $\tfrac{5}{2}$) akan menghasilkan jawaban yang salah.
- Jadi selalu verifikasi bentuknya sebelum menggunakan aturan ini.
Aturan L'Hospital berlaku untuk bentuk tak tentu yang mana?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hanya $\tfrac00$ dan $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ sudah terdefinisi; $\tfrac30$ adalah asimtot, bukan bentuk tak tentu.
Sebelum menerapkan aturan, pastikan limitnya adalah bentuk ____ dengan mensubstitusikan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hanya $\tfrac00$ atau $\tfrac\infty\infty$ yang memenuhi syarat.
Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah
- Aturan: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(ketika bentuknya tak tentu).
- Peringatan: ini bukan aturan hasil bagi — Anda menurunkan $f$ dan $g$ secara independen, tanpa tanda minus, tanpa $g^2$.
- Kemudian evaluasi kembali limit baru yang lebih sederhana.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — limit terkenal, dalam satu baris.
Rasio 0/0 dengan limit nyata
y = sin(x)/x (dekat 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ terlihat seperti $\tfrac00$ pada $0$ tetapi kurva melengkung mulus menuju $1$ — Aturan L'Hospital menemukan nilai tersebut dengan cepat.
Aturan L'Hospital menggunakan aturan hasil bagi $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ pada pembilang dan penyebut.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fungsi ini menurunkan $f$ dan $g$ secara terpisah: $\tfrac{f'}{g'}$, bukan aturan hasil bagi.
Nilai $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ menggunakan aturan tersebut.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
Menurut L'Hospital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos 0=1$.
Ulangi jika masih tak tentu
- Jika rasio baru $\tfrac{f'}{g'}$ itu juga $\tfrac00$ atau $\tfrac\infty\infty$, terapkan aturan lagi.
- Terus turunkan pembilang dan penyebut hingga Anda mendapatkan nilai yang tertentu.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (dua aplikasi).
- Setiap putaran harus tetap tak tentu untuk membenarkan aplikasi lagi.
Menerapkan aturan dua kali, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (desimal)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ adalah bukan aturan hasil bagi. L'Hospital menurunkan pembilang dan penyebut terpisah: $\frac{d}{dx}[f]$ atas $\frac{d}{dx}[g]$ — tidak ada $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. Dan hanya gunakan pada $\tfrac00$ atau $\tfrac{\infty}{\infty}$; menerapkannya ketika limit sudah tertentu menghasilkan hal yang tidak masuk akal.
Evaluasi $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- Substitusi: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — tak tentu, jadi L'Hospital berlaku.
- Turunkan pembilang dan penyebut: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
Aturan L'Hospital: untuk bentuk tak tentu $\tfrac00$ atau $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — turunkan pembilang dan penyebut terpisah (bukan aturan hasil bagi) dan evaluasi ulang. Konfirmasi bentuknya terlebih dahulu, dan ulang aturan tersebut selama hasilnya tetap tak tentu.