Menghitung Turunan Orde Tinggi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | Turunan kedua |
| higher-order derivatives/ˈhaɪə ˈɔːdə dɪˈrɪvətɪvz/ | Turunan tingkat tinggi |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | percepatan |
Terbitkan terbitan
- Tiada apa yang menghalang anda dari menterbitkan $f'$ sekali lagi. Keputusannya ialah terbitan kedua $f''$.
- Teruskan dan anda akan mendapat terbitan tertib tinggi: $f'''$, $f^{(4)}$, dan sebagainya.
- Setiap satu mengukur kadar perubahan daripada yang sebelumnya.
- Terbitan kedua adalah bintang utama: ia menerangkan bagaimana kecerunan itu sendiri berubah.
Sebuah kubik dan kemiringannya
y = ax³ + bx
$f'$ dari sebuah kubik adalah parabola dan $f''$ adalah garis — setiap turunan memiliki derajat lebih rendah satu.
Ulangi prosesnya sahaja
- Cari $f'$ menggunakan mana-mana peraturan yang anda perlukan, kemudian terbitkan itu untuk mendapatkan $f''$.
- $f(x)=x^4 \Rightarrow f'(x)=4x^3 \Rightarrow f''(x)=12x^2 \Rightarrow f'''(x)=24x$.
- Setiap langkah adalah terbitan biasa — tiada teknik baharu, hanya digunakan sekali lagi.
- Permudahkan $f'$ sebelum menterbitkan sekali lagi; ia menjaga aljabar tetap bersih.
Untuk $f(x)=x^4$, berapakah $f'(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=4x^3$, lalu $f''=12x^2$.
Untuk $f(x)=x^3-2x^2+5x$, $f'(x)=6x-4$. Temukan $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(2)=6(2)-4=8$.
Untuk $f(x)=x^3-2x^2+5x$, pilih semua turunan yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Diferensiasikan selangkah demi selangkah; opsi keempat adalah penyederhanaan yang salah.
Notasi untuk turunan tingkat tinggi
- Notasi tanda aksen: $f''(x)$, $f'''(x)$, kemudian $f^{(4)}(x)$ (angka setelah tiga tanda aksen).
- Notasi Leibniz: $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ untuk turunan kedua, $\dfrac{d^3y}{dx^3}$ untuk turunan ketiga.
- Baca $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ sebagai "d-squared-y d-x-squared" — artinya "turunkan $y$ dua kali."
- Kedua notasi ini memiliki makna yang sama persis.
Dalam notasi Leibniz, turunan kedua dari $y$ ditulis $\dfrac{d^2 y}{dx^{\square}}$. Pangkat $\square$ adalah ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
Apa makna dari turunan kedua itu
- $f'$ adalah laju perubahan dari $f$; $f''$ adalah laju perubahan dari $f'$.
- Jika $f$ adalah posisi, maka $f'$ adalah kecepatan dan $f''$ adalah percepatan — seberapa cepat kecepatan berubah.
- Tanda dari $f''$ memberi informasi tentang kecekungan (melengkung ke atas atau ke bawah), akan dibahas di Unit 5.
- Jadi, turunan tingkat tinggi bukan sekadar pekerjaan membosankan — $f''$ membawa makna fisik yang nyata.
Turunan kedua $f'$ sama dengan $(f')^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'$ adalah turunan dari $f'$, bukan kuadratnya.
Jika $f$ adalah posisi, turunan kedua $f'$ merepresentasikan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=$ kecepatan, $f''=$ percepatan.
$f''$ adalah turunan dari $f'$, bukan kuadrat dari $f'$: $f''\neq(f')^2$. Dan terapkan aturan rantai/perkalian/sesi lagi di setiap tahap — mendifferensiasikan $f'=\sin(x^2)$ untuk mendapatkan $f''$ masih memerlukan aturan rantai. Jangan mematikan aturan hanya karena Anda berada di putaran kedua.
Temukan $f''(x)$ untuk $f(x)=x^3-2x^2+5x$.
- Turunan pertama: $f'(x)=3x^2-4x+5$.
- Turunkan lagi: $f''(x)=6x-4$.
- (Satu lagi: $f'''(x)=6$, dan $f^{(4)}(x)=0$.)
Sebuah turunan tingkat tinggi ditemukan dengan menurunkan secara berulang: $f''$ adalah turunan dari $f'$, dan seterusnya. Tulis mereka $f''(x)$ / $\frac{d^2y}{dx^2}$, dll. Turunan kedua adalah laju perubahan dari turunan pertama (misalnya percepatan), dan tandanya akan mendeskripsikan kecekungan. Terus terapkan aturan rantai/perkalian/pembagian pada setiap tahap.