Menjelajahi Jenis-Jenis Ketidaklanjutan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| discontinuity/dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | Diskontinuitas |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | Diskontinuitas yang dapat dihilangkan |
| jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | Diskontinuitas lompatan |
| infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | Diskontinuitas tak hingga |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | Asimtot vertikal |
Di mana grafik "terputus"
- Kurva kontinu dapat digambar tanpa mengangkat pena. Ketidaklanjutan adalah putusnya aliran tersebut.
- Tidak semua putus sama — ada tiga jenis spesifik, masing-masing memiliki ciri grafik sendiri.
- Menyebutkan jenisnya memberi tahu Anda secara instan apakah putus tersebut dapat diperbaiki.
- Mari kita kenali ketiga jenisnya: dapat dihilangkan, loncatan, dan tak hingga.
Dapat Dihilangkan: satu titik yang hilang
- Ketidaklanjutan yang dapat dihilangkan hanyalah sebuah lubang pada kurva yang mulus pada umumnya.
- Limitnya ada (kedua sisi bertemu pada satu ketinggian), tetapi $f(c)$ hilang atau digambar di tempat lain.
- $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ memiliki lubang di $x=2$: limitnya adalah $4$, namun $f(2)$ tidak terdefinisi.
- Karena limitnya ada, Anda bisa "menutupi lubangnya" — oleh karena itu disebut dapat dihilangkan (pelajaran 1.13).
Pada $x=3$, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ memiliki limit $6$ tetapi $f(3)$ tidak terdefinisi. Ketidaklanjutannya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Limit ada tetapi nilainya hilang — sebuah lubang, yaitu dapat dihilangkan.
Loncatan: sisi-sisinya tidak setuju
- Ketidaklanjutan loncatan terjadi ketika limit kiri dan kanan keduanya terbatas tetapi berbeda.
- Grafiknya melompat dari satu ketinggian ke ketinggian lain — bayangkan tangga atau tingkat pajak.
- Di sini $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ tidak ada, karena limit satu sisi tidak setuju.
- Tidak ada nilai titik tunggal yang dapat menjembatani celah dengan lebar tak nol, jadi loncatan tidak dapat dihilangkan.
Kurva yang meledak
y = a / (x − b)
Resiprokal meluncur menuju $\pm\infty$ di dekat penyebutnya yang menyentuh nol — itu adalah ketidaklanjutan tak hingga dan asimtot vertikal.
Ketidaklanjutan lompatan dapat dihilangkan dengan mendefinisikan ulang fungsi pada satu titik.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Limit sepihak berbeda, sehingga tidak ada nilai tunggal yang menjembatani celah — lompatan tidak dapat dihilangkan.
Fungsi langkah bernilai $1$ untuk $x<0$ dan $4$ untuk $x\ge0$. Berapakah ukuran lompatan pada $x=0$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kanan dikurangi kiri: $4-1=3$.
Tak Hingga: menuju ke $\pm\infty$
- Ketidaklanjutan tak hingga adalah tempat fungsi tumbuh tanpa batas di dekat $c$.
- Grafiknya melesat naik atau turun sepanjang asimtot vertikal — seperti pada $f(x)=\dfrac1{x-2}$ di $x=2$.
- Limitnya tak hingga (atau tidak ada), jadi putus ini juga tidak dapat dihilangkan.
- Ciri khas: penyebut menuju nol sementara pembilang tidak.
Ketidaklanjutan tak hingga muncul pada grafik sebagai ____ vertikal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fungsi tumbuh tanpa batas sepanjang asimtot vertikal.
Jenis ketidaklanjutan mana yang merupakan satu-satunya di mana limit dua sisi ada?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dapat dihilangkan = lubang di mana kedua sisi setuju, sehingga limit ada.
Pilih semua fungsi dengan ketidaklanjutan tak hingga pada titik yang ditandai.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Yang ketiga dapat dihilangkan (limit $=2$). Yang lain meledak menuju $\pm\infty$.
Hanya jenis dapat dihilangkan yang memiliki limit dua sisi yang nyata. Untuk ketidaklanjutan loncatan dan tak hingga, limitnya tidak ada, sehingga tidak ada definisi ulang yang cerdik pada titik tunggal yang dapat membuat fungsi menjadi kontinu. Jangan mencoba "menutupi" loncatan — celahnya memiliki lebar nyata.
Klasifikasikan ketidaklanjutan masing-masing pada titik yang ditandai:
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ di $x=3$: limit $=6$, nilai tidak terdefinisi → dapat dihilangkan (lubang).
- $f(x)=\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\ge0\end{cases}$ di $x=0$: kiri $\to1$, kanan $\to2$ → loncatan.
- $\dfrac{1}{x^2}$ di $x=0$: tumbuh menuju $+\infty$ → tak hingga.
Tiga jenis ketidaklanjutan: dapat dihilangkan (lubang — limit ada tetapi $f(c)$ tidak cocok), loncatan (limit satu sisi terbatas yang tidak setuju), dan tak hingga (tanpa batas di sekitar $c$, asimtot vertikal). Hanya jenis dapat dihilangkan yang memiliki limit dua sisi, sehingga hanya itu yang dapat diperbaiki.