Menentukan Limit Menggunakan Teorema Apit
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | Teorema Apit |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | Ketaksamaan |
Apit fungsi liar di antara dua fungsi yang terkendali
- Beberapa limit menolak substitusi dan aljabar — seperti $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, yang bergetar sangat cepat.
- Keluarannya: apit fungsi berantakan di antara dua fungsi yang lebih ramah.
- Jika "dinding" atas dan bawah keduanya menuju ketinggian yang sama, fungsi yang terkapit tidak punya tempat lain untuk pergi.
- Ini adalah Teorema Apit (juga disebut Teorema Sandwich).
Menjebak fungsi di antara dua fungsi lain dengan limit yang sama menggunakan Teorema ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Juga disebut Teorema Sandwich.
Apa yang dikatakan teorema ini
- Misalkan di sekitar $c$ (kecuali mungkin pada $c$ itu sendiri) kita memiliki $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- Jika $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, maka $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ juga.
- Kedua batasan memipit $f$ ke nilai tunggal $L$.
- Anda memerlukan dua hal: ketaksamaan yang valid di sekitar $c$, dan limit yang sama untuk kedua batasan.
Untuk menerapkan Teorema Apit ke $f$ dekat $c$, Anda perlu semua dari...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Anda membutuhkan batas dua arah dengan limit yang sama, berlaku dekat $c$. $f$ tidak perlu menjadi polinomial — itulah intinya.
Getaran klasik
- $\sin\tfrac1x$ bergoyang antara $-1$ dan $1$ selamanya saat $x\to0$ — tidak ada limit sendirian.
- Tapi kalikan dengan $x^2$: karena $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, kita memperoleh $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- Kedua dinding $\pm x^2 \to 0$ saat $x\to0$.
- Terapit di antara keduanya, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
Dinding apitan $y=x^2$
y = ax²
Parabola $y=x^2$ dan cerminan $-x^2$ keduanya meruncing ke $0$ di titik asal — apa pun yang terjebak di antara keduanya dipaksa menuju $0$.
Menggunakan $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$, temukan $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kedua dinding $\pm x^2\to 0$, sehingga fungsi terjebak $\to 0$.
Memeriksa setup dengan jujur
- Ketaksamaan hanya harus berlaku di dekat $c$, bukan di mana pun — interval kecil di sekitar $c$ sudah cukup.
- Limit dari batasan harus sama; jika dinding menuju ketinggian berbeda, teorema tidak mengatakan apa-apa.
- Apit adalah jalur standar menuju $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ yang terkenal, dari batasan geometris $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- Selalu sebutkan dua fungsi pembatas Anda secara eksplisit — itu adalah inti dari argumen.
Membatasi $f$ dari atas saja, dengan $f(x)\le h(x)$, cukup untuk menerapkan Teorema Apit.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Anda membutuhkan batas pada kedua sisi dengan limit yang sama — satu batas membuktikan apa-apa.
Teorema Apit, dengan $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$, menghasilkan $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Saat $x\to0$, $\cos x\to1$ dan batas atas adalah $1$, sehingga bagian tengah dijepit ke $1$.
Jika batas bawah menuju $2$ dan batas atas menuju $5$, Teorema Apit memberi tahu Anda bahwa limit terjebak adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Batas harus memiliki limit yang sama; dinding yang tidak sama tidak memberikan kesimpulan.
Teorema Apit membutuhkan batasan untuk memipit dari kedua sisi dengan limit yang sama. Jika Anda hanya membatasi $f$ dari atas ($f\le h$), atau kedua batasan menuju nilai berbeda, Anda tidak membuktikan apa-apa. Dan ketaksamaan harus benar-benar berlaku di sekitar $c$ — periksa, jangan asumsikan.
Tunjukkan $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- Untuk semua $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- Kalikan dengan $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ dan $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- Berdasarkan Teorema Apit, limit tengah juga $0$.
Teorema Apit: jika $g\le f\le h$ di sekitar $c$ dan $\lim g=\lim h=L$, maka $\lim f=L$. Gunakan ketika fungsi berayun atau cara lain menolak metode langsung — batasi di atas dan di bawah oleh fungsi-fungsi dengan limit yang sama, verifikasi ketaksamaan di sekitar $c$, dan $f$ terjepit pada $L$.