Menentukan Limit Menggunakan Manipulasi Aljabar
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | ekuivalen |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | pemfaktoran |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | Kongjugat |
$\tfrac00$ adalah pintu terkunci — aljabar adalah kuncinya
- Substitusi langsung baru saja memberikan Anda $\dfrac00$. Jangan menyerah — tuliskan ulang fungsi tersebut terlebih dahulu.
- Triknya: temukan ekspresi ekuivalen yang sesuai dengan yang asli di mana-mana kecuali di titik bermasalah.
- Karena limit mengabaikan titik tunggal $x=c$, fungsi yang ditulis ulang memiliki limit yang sama.
- Tiga alat melakukan hampir semua pekerjaan: faktorisasi, merasionalkan, dan menggabungkan pecahan.
Manipulasi aljabar menggantikan fungsi dengan fungsi ____ yang sama di setiap tempat kecuali titik yang dihapus.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nilai yang sama di luar lubang berarti limit yang sama.
Alat 1 — faktorisasi dan mencoret
- Adanya $\tfrac00$ dalam fungsi rasional berarti $(x-c)$ membagi kedua pembilang dan penyebut.
- Gunakan faktorisasi pada masing-masing, coret faktor persekutuan $(x-c)$, lalu substitusikan.
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- Bentuk yang dicoret identik dengan yang asli untuk setiap $x\neq 3$ — tepat di mana limit berada.
Kurva halus kecuali di titik lubang
y = x + 3 (dari penyederhanaan (x−3))
Setelah memfaktorkan dan menyederhanakan, grafik menjadi kurva biasa dengan satu titik hilang — limit terbaca dari celah tersebut.
Evaluasi $\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Faktorkan: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$.
Alat 2 — rasionalkan akar
- Ketika akar kuadrat menyebabkan $\tfrac00$, kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat.
- Ini menghilangkan akar dan mengekspos faktor yang dapat dicoret.
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
Limit $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ paling baik ditangani dengan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Akar yang menyebabkan $\tfrac00$ memerlukan sekawan; di sini limitnya adalah $\tfrac16$.
Evaluasi $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Rasionalkan ke $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$.
Alat 3 — gabungkan pecahan
- Selisih pecahan seperti $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ atas $x$ menyembunyikan faktor sekali Anda menggunakan penyebut persekutuan.
- Gabungkan menjadi satu pecahan, sederhanakan, dan $(x-c)$ akan tercoret.
- Setelah salah satu langkah ini, selesaikan dengan substitusi langsung — pintu kini terbuka.
- Alat apa pun yang Anda gunakan, Anda sedang menghasilkan fungsi ekuivalen yang memungkinkan substitusi berhasil.
Pilih semua alat aljabar yang dapat menyelesaikan limit $\tfrac00$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tiga pertama adalah penulisan ulang yang sah; pembulatan bukan teknik yang valid.
Mencoret $(x-c)$ mengubah fungsi pada tepat satu titik: ekspresi yang ditulis ulang terdefinisi di $c$ sementara yang asli memiliki lubang di sana. Itu baik untuk limit (yang tidak pernah melihat $x=c$), tetapi jangan klaim kedua fungsi itu identik — mereka berbeda di titik yang dihapus.
Setelah menyederhanakan $(x-3)$, fungsi yang disederhanakan benar-benar identik dengan fungsi asli di setiap titik termasuk $x=3$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mereka sama di semua tempat kecuali $x=3$, di mana fungsi asli memiliki lubang. Limit tidak terpengaruh, tetapi fungsi berbeda di sana.
Temukan $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$.
- Substitusi memberikan $\tfrac00$ — faktorisasi keduanya.
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$ untuk $x\neq -1$.
- Substitusikan: $\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$.
Ketika substitusi memberikan $\tfrac00$, tulis ulang fungsi ke bentuk ekuivalen yang sesuai di mana-mana kecuali di $c$: faktorisasi dan coret, rasionalkan dengan konjugat, atau gabungkan pecahan. Kemudian substitusikan. Penulisan ulang memiliki limit yang sama karena limit mengabaikan titik tunggal yang dihapus.