Perkenalan Kalkulus: Apakah Perubahan Dapat Terjadi Secara Seketika?
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | laju perubahan rata-rata |
| slope/sləʊp/ | kemiringan |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | garis sekant |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | garis singgung |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | laju perubahan instan |
| limit/ˈlɪmɪt/ | limit |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | turunan |
Seberapa cepat, sekarang?
- Speedometer mobil Anda menunjukkan $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ pada satu titik waktu tertentu.
- Namun kecepatan adalah jarak ÷ waktu — dan pada titik waktu, tidak ada waktu yang berlalu dan tidak ada jarak yang ditempuh.
- Jadi bagaimana Anda bisa memiliki kecepatan pada satu momen tunggal?
- Menjawab pertanyaan ini adalah awal dari kalkulus.
Laju perubahan rata-rata
- Dalam suatu interval, perubahan mudah dihitung: yaitu total perubahan dibagi dengan waktu yang dibutuhkan.
- Ini adalah laju perubahan rata-rata dari suatu fungsi.
- Pada grafik, ini adalah kemiringan garis lurus yang menghubungkan dua titik — garis secan.
- Contoh: dari $x=1$ ke $x=3$, laju rata-ratanya adalah $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
Kemiringan garis secan antara dua titik pada kurva memberikan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sekatan menghubungkan dua titik, jadi kemiringannya adalah laju perubahan rata-rata selama interval tersebut.
Peratkan kedua titik tersebut
- Sekarang geser titik kedua semakin dekat ke titik pertama.
- Garis secan berputar dan semakin mendekati sekadar menyentuh kurva di satu titik.
- Garis yang menyentuh itu adalah garis singgung.
Saat titik kedua meluncur menuju titik pertama, garis secat mendekati...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sekatan berputar hingga hanya menyentuh kurva — ia mendekati garis singgung.
Laju perubahan instan
- Kemiringan garis singgung adalah laju perubahan instan pada titik tersebut.
- Itulah pembacaan speedometer — laju pada satu titik waktu yang pasti.
- Untuk grafik posisi-waktu, ini adalah kecepatan instan.
Laju rata-rata atau laju seketika?
Tentukan apakah setiap kuantitas diukur selama interval atau pada satu titik waktu tertentu.
Kemiringan garis singgung adalah laju perubahan ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Garis singgung menyentuh pada satu titik, jadi kemiringannya adalah laju perubahan seketika di sana.
Anda tidak bisa menemukan laju instan dengan memasukkan satu titik saja — hal itu menghasilkan $\tfrac{0}{0}$, yang tidak terdefinisi. Anda harus memperhatikan apa yang didekati oleh laju rata-rata saat interval mengecil.
Anda dapat menemukan laju perubahan seketika dengan memasukkan satu titik ke dalam rumus laju rata-rata.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hal itu menghasilkan $\tfrac{0}{0}$, yang tidak terdefinisi. Anda harus mengambil limit saat interval mengecil menjadi nol.
"Didekati" ini adalah limit
- Kita sebenarnya tidak pernah membagi dengan nol; kita bertanya nilai apa yang didekati oleh kemiringan tersebut.
- Nilai itu adalah limit — gagasan sentral dalam kalkulus.
- Limit dari laju perubahan rata-rata, saat interval mengecil menjadi nol, disebut turunan.
- Keseluruhan unit pertama kursus ini membahas mengenai pemertajam ide ini.
Pilih semua pernyataan benar tentang turunan pada suatu titik.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Turunan adalah limit dari laju perubahan rata-rata saat interval mengecil — kemiringan garis singgung, yaitu laju perubahan seketika.
Tinggi bola adalah $h(t) = 5t^2$ meter. Estimasi kecepatannya pada $t=2$ detik.
- Laju rata-rata dari $t=2$ ke $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Dari $t=2$ ke $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Nilai-nilai tersebut mendekat ke $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — limit itu adalah kecepatan instansinya.
Ketinggian bola adalah $h(t)=5t^2$ m. Perkirakan kecepatan seketikanya pada $t=2$ s (dalam m/s).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Mengecilkan interval, laju rata-rata mendekati $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — limit itulah kecepatan seketikanya.
Laju perubahan rata-rata = kemiringan garis secan dalam suatu interval. Perkecil interval menjadi nol dan secan akan mendekati garis singgung,oman kemiringannya adalah laju perubahan instan. Nilai limit ini adalah turunan.