Fungsi pembangkit peluang
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribusi diskrit |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | fungsi pembangkit peluang |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | koefisien |
| variance/ˈveərɪəns/ | variansi |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | turunan |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | independen |
Distribusi dalam satu fungsi
- Distribusi diskrit adalah daftar probabilitas — sulit untuk dimanipulasi.
- Fungsi pembangkit probabilitas (PGF) membungkus seluruh daftar ke dalam satu fungsi yang rapi, mengubah penjumlahan probabilitas yang sulit menjadi kalkulus yang mudah.
Laboratorium fungsi pembangkit peluang
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
Ubah x dan lihat bagaimana PGF menyimpan peluang dalam pangkat x.
Mendefinisikan PGF
- Untuk variabel diskrit $X$ yang mengambil nilai $0, 1, 2, \dots$:
- Koefisien dari $t^x$ tepat sama dengan $P(X = x)$ — fungsi tersebut mengkodekan distribusinya.
Fungsi pembangkit probabilitas menyimpan semua probabilitas sebagai koefisien
Fungsi pembangkit peluang dari X didefinisikan sebagai:
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
Rata-rata dan varians dari turunan
- Turunkan dan evaluasi pada $t = 1$:
Contoh terpecahkan. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. Kemudian $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, sehingga $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
X memiliki G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t². Karena E(X) = G′(1) dan G′(t) = 0.3 + 0.4t, berapa E(X)?
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
Rata-rata ditemukan dari PGF melalui E(X) = G′(______).
E(X) = G'(1).
Penjumlahan variabel independen
- Sifat yang paling berguna: PGF dari jumlah variabel independen adalah produk dari PGF mereka:
- Hal ini membuat penambahan variabel independen (misalnya total beberapa dadu) hampir tanpa usaha.
Untuk setiap PGF yang valid, berapa nilai G(1)?
G(1) = Σ P(X=x) = 1, karena peluang menjumlahkan ke 1.
PGF dari jumlah dua variabel independen adalah hasil kali PGF mereka.
G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) untuk X dan Y yang independen.
Memastikan PGF valid
$G(1)$ harus sama dengan 1. Karena $G(1) = \sum P(X = x)$, PGF yang valid selalu menghasilkan $G(1) = 1$ — pemeriksaan cepat sebelum Anda melakukan diferensiasi.
Anda telah memahaminya
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (dan $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- PGF dari jumlah variabel independen adalah produk dari PGF mereka