IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP Sheet preview · ⁨Pratinjau lembar kerja⁩

GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance · ⁨GAC010 Matematika II: Probabilitas, Statistik dan Keuangan⁩

GAC Mathematics · ⁨GAC Matematika⁩ · Topic 2 · ⁨Topik 2⁩

Train · ⁨Latih⁩
2.1

What this module is, and how it is marked · ⁨Apa modul ini, dan bagaimana ia dinilai⁩
English

A cheaper headline rate need not produce the cheaper total, and a larger survey need not produce a more representative result. Mathematics II uses explicit rules, calculations and evidence limits to examine such questions.

GAC010 covers sequences, finance, probability and statistics. Your centre's current brief determines assessment tasks, weights, tools and deadlines. A test 测验, projects 项目, an examination 考试 and coursework 平时作业 may use different instructions; these original practice sheets do not establish their official pattern or university credit.

Show the known data, why the formula applies, the symbolic equation and the substitution. State the unit and interpret the result. A statistical summary describes a defined set of observations or a stated model; it does not automatically establish a cause or a whole-population finding.

All financial amounts, rates, fees and pay rules in the examples are invented teaching conditions. Use their stated timing and rounding assumptions rather than assuming an actual tax or lending rule.

Bahasa Indonesia

Tingkat nominal yang lebih murah belum tentu menghasilkan total yang lebih murah, dan survei yang lebih besar belum tentu menghasilkan hasil yang lebih representatif. Matematika II menggunakan aturan eksplisit, perhitungan, dan batasan bukti untuk meneliti pertanyaan-pertanyaan semacam itu.

GAC010 mencakup barisan, keuangan, probabilitas dan statistika. Brief pusat Anda saat ini menentukan tugas penilaian, bobot, alat, dan tenggat waktu. Ujian, proyek, ujian akhir dan tugas kursus mungkin menggunakan instruksi yang berbeda; lembar latihan asli ini tidak menetapkan pola resmi atau kredit universitas mereka.

Tampilkan data yang diketahui, mengapa rumus berlaku, persamaan simbolik, dan substitusi. Nyatakan satuan dan interpretasikan hasilnya. Ringkasan statistik menggambarkan himpunan observasi yang didefinisikan atau model yang dinyatakan; hal itu tidak secara otomatis menetapkan sebab atau temuan seluruh populasi.

Semua jumlah keuangan, tingkat, biaya, dan aturan pembayaran dalam contoh adalah kondisi pengajaran yang dibuat-buat. Gunakan asumsi penjadwalan dan pembulatan yang dinyatakan daripada mengasumsikan aturan pajak atau pinjaman yang sebenarnya.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩
English Bahasa Indonesia
mode/məʊd/ moda
range/reɪndʒ/ jangkauannya
interquartile range (IQR)/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ Jangkauan kuartil (IQR)
box plot/bɒks plɒt/ diagram kotak
standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ simpangan baku
2.1

Sequences and series · ⁨Barisan dan deret⁩
Syllabus · ⁨Silabus⁩
English

Unit 1 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

Module purpose: On completion of this module, students should be able to apply a basic knowledge of the principles of probability and statistics to solving and analysing common financial problems.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.1: Solve problems using arithmetic and geometric sequences and series.

Bahasa Indonesia

Unit 1 dari 8 dalam GAC010 Matematika II: Probabilitas, Statistik, dan Keuangan (Level II). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam belajar mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Tujuan modul: Setelah menyelesaikan modul ini, siswa diharapkan mampu menerapkan pengetahuan dasar mengenai prinsip probabilitas dan statistik untuk memecahkan dan menganalisis masalah keuangan umum.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC010.1: Menyelesaikan masalah menggunakan barisan dan deret aritmatika serta geometri.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English

A sequence 数列 is an ordered list of numbers; a series 级数 is their sum.

An arithmetic sequence 等差数列 adds a fixed common difference 公差 $d$ each step. A geometric sequence 等比数列 multiplies by a fixed common ratio 公比 $r$.

$$u_n = a + (n-1)d \qquad\text{and}\qquad u_n = ar^{\,n-1}$$
  • The sums are $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ and $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ for $r \neq 1$.
  • A geometric series with $|r| < 1$ has a sum to infinity 无穷和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
  • Keep a term separate from a total. Some financial models compound geometrically, while others use simple interest or cash flows. Match the model to the specified rule.

Worked example. row counts differ by a constant amount

Known: row counts are 4, 7 and 10, continuing with the same difference. Thus $a=4$ and $d=3$. For the fifth row:

$$u_n=a+(n-1)d$$
$$u_5=4+(5-1)(3)=16$$

For the first five rows together, use the arithmetic sum, not the fifth term.

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$
$$S_5=\frac52[2(4)+(5-1)(3)]=50$$

Practice sheet 2.1 gives a progressively harder set with worked solutions.

Bahasa Indonesia

Barisan adalah daftar terurut dari angka-angka; deret adalah jumlah dari angka-angka tersebut.

Barisan aritmatika menambahkan selisih umum tetap $d$ setiap langkahnya. A barisan geometri mengalikan dengan rasio umum tetap $r$.

$$u_n = a + (n-1)d \qquad\text{and}\qquad u_n = ar^{\,n-1}$$
  • Jumlah-jumlahnya adalah $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ dan $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ untuk $r \neq 1$.
  • Deret geometri dengan $|r| < 1$ memiliki jumlah tak hingga $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
  • Pisahkan suku dari total. Beberapa model keuangan memajemukan secara geometris, sementara yang lain menggunakan bunga tunggal atau arus kas. Sesuaikan model dengan aturan yang ditentukan.

Contoh dikerjakan. jumlah baris berbeda dengan jumlah konstan

Tiga baris berisi 4, 7, dan 10 titik, mengilustrasikan perbedaan konstan sebesar 3.

Diketahui: jumlah baris adalah 4, 7, dan 10, berlanjut dengan perbedaan yang sama. Jadi $a=4$ dan $d=3$. Untuk baris kelima:

$$u_n=a+(n-1)d$$
$$u_5=4+(5-1)(3)=16$$

Untuk lima baris pertama bersama-sama, gunakan jumlah aritmatika, bukan suku kelima.

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$
$$S_5=\frac52[2(4)+(5-1)(3)]=50$$

Lembar latihan 2.1 memberikan serangkaian yang semakin sulit dengan solusi dikerjakan.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩
English Bahasa Indonesia
test/test/ uji
projects/ˈprɒdʒekts/ proyek
examination/eɡˌzæmɪˈneɪʃn/ Ujian
coursework/ˈkɔːsjuːɜːk/ tugas kursus
sequence/ˈsiːkwəns/ urutan
series/ˈsɪəriːz/ seri
arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ barisan aritmatika
common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ beda tetap
geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ barisan geometri
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ rasio tetap
sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ jumlah ke tak hingga
Gross pay/ɡrəʊs peɪ/ Gaji bruto
net pay/net peɪ/ gaji bersih
deductions/dɪˈdʌkʃnz/ potongan
Simple interest/ˈsɪmpl ˈɪntrest/ Bunga tunggal
Depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ Depresiasi
discount/ˈdɪskaʊnt/ diskon
present value/ˈprezənt ˈvæljuː/ nilai sekarang
annuity/əˈnjuːɪti/ annuitas
loan repayment/ləʊn rɪˈpeɪmənt/ cicilan pinjaman
2.2

Finance: earning money and purchasing goods · ⁨Keuangan: mendapatkan uang dan membeli barang⁩
Syllabus · ⁨Silabus⁩
English

Unit 2 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.2: Apply algebraic methods to solve financial problems and analyse information.

Bahasa Indonesia

Unit 2 dari 8 dalam GAC010 Matematika II: Probabilitas, Statistik, dan Keuangan (Level II). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam belajar mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC010.2: Menerapkan metode aljabar untuk menyelesaikan masalah keuangan dan menganalisis informasi.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English

This unit is the arithmetic of an ordinary life, in English.

  • Gross pay 税前工资 is what you earn; net pay 税后工资 is what arrives after deductions 扣除项 such as tax and insurance.
  • Simple interest 单利 is $I = Prt$ — interest on the original amount only.
  • Compound interest is $A = P(1+r)^n$ — interest on the interest, which is why it is geometric.
  • Depreciation 折旧 is a reduction in recorded value. A fixed-percentage model uses $V_n=V_0(1-r)^n$; other depreciation conventions can use different rules.
  • A discount 折扣 of 20% multiplies by 0.8. Two successive discounts of 20% and 10% multiply by $0.8 \times 0.9 = 0.72$, which is a 28% reduction, not 30%.

Worked example. calculate regular and overtime hours separately

Known: 8 hours at 20 units per hour and 2 overtime hours at 1.5 times that rate. Separate the two categories before adding pay.

$$G=h_rp+h_okp$$
$$G=8(20)+2(1.5)(20)=220\ \text{units}$$

If the invented fixed deduction is 15 units, take it from gross pay once.

$$N=G-D=220-15=205\ \text{units}$$

Practice sheet 2.2 gives a progressively harder set with worked solutions.

Bahasa Indonesia

Unit ini adalah aritmatika kehidupan biasa, dalam bahasa Inggris.

  • Pajak bruto adalah apa yang Anda dapatkan; pajak bersih adalah apa yang diterima setelah potongan seperti pajak dan asuransi.
  • Bunga tunggal adalah $I = Prt$ — bunga hanya pada jumlah awal.
  • Bunga majemuk adalah $A = P(1+r)^n$ — bunga atas bunga, sehingga ia menjadi geometris.
  • Penyusutan adalah penurunan nilai tercatat. Model persentase tetap menggunakan $V_n=V_0(1-r)^n$; konvensi penyusutan lainnya dapat menggunakan aturan yang berbeda.
  • Diskon sebesar 20% mengalikan dengan 0.8. Dua diskon berturut-turut sebesar 20% dan 10% mengalikan dengan $0.8 \times 0.9 = 0.72$, yang merupakan pengurangan 28%, bukan 30%.

Contoh dikerjakan. hitung jam reguler dan lembur secara terpisah

Catatan gaji yang dikerjakan memisahkan 8 jam reguler dari 2 jam lembur, dengan tarif masing-masing.

Diketahui: 8 jam kerja pada 20 unit per jam dan 2 jam lembur pada 1.5 kali tarif tersebut. Pisahkan kedua kategori sebelum menjumlahkan pembayaran.

$$G=h_rp+h_okp$$
$$G=8(20)+2(1.5)(20)=220\ \text{units}$$

Jika potongan tetap yang dibuat-buku adalah 15 unit, kurangkan dari gaji bruto sekali saja.

$$N=G-D=220-15=205\ \text{units}$$

Lembar latihan 2.2 memberikan serangkaian yang semakin sulit dengan solusi dikerjakan.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩
English Bahasa Indonesia
Bias/ˈbaɪəs/ Bias
mean/miːn/ rata-rata
2.3

Finance: investing money and loans · ⁨Keuangan: berinvestasi dan pinjaman⁩
Syllabus · ⁨Silabus⁩
English

Unit 3 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.2: Apply algebraic methods to solve financial problems and analyse information.

Bahasa Indonesia

Unit 3 dari 8 dalam GAC010 Matematika II: Probabilitas, Statistik, dan Keuangan (Level II). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam belajar mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC010.2: Menerapkan metode aljabar untuk menyelesaikan masalah keuangan dan menganalisis informasi.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English
  • Under a stated constant discount rate and timing assumption, the present value 现值 of a future amount is: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
  • An annuity 年金 has specified payments at regular intervals. A loan repayment 贷款还款 schedule may instead have changing amounts or an adjusted final payment; specify whether interest comes before or after payment.
  • The label APR 年利率 is an annual rate measure whose calculation and included charges depend on the stated convention. This sheet uses explicitly defined period rates, not an unstated APR convention.
  • ⚠ A nominal 12% teaching rate with monthly rate 1% has effective annual growth $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$. A different compounding frequency or fee schedule needs a different calculation.

Worked example. interest then payment, in that order

Known: opening balance 1000 units, period rate 2%, end-of-period payment 300 units. Interest comes before payment under this stated convention.

$$B_1=B_0(1+r)-M$$
$$B_1=1000(1.02)-300=720$$

The next period's interest uses 720, not the original principal.

$$B_2=B_1(1+r)-M=720(1.02)-300=434.40$$

Practice sheet 2.3 gives a progressively harder set with worked solutions.

Bahasa Indonesia
  • Di bawah asumsi tingkat diskonto tetap dan penjadwalan yang dinyatakan, nilai sekarang dari jumlah di masa depan adalah: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
  • Anuitas memiliki pembayaran yang ditentukan pada interval teratur. Jadwal cicilan pinjaman mungkin sebaliknya memiliki jumlah yang berubah atau pembayaran terakhir yang disesuaikan; tentukan apakah bunga datang sebelum atau sesudah pembayaran.
  • Label APR adalah ukuran tingkat tahunan yang perhitungannya dan biaya yang disertakan bergantung pada konvensi yang dinyatakan. Lembar ini menggunakan tingkat periode yang didefinisikan secara eksplisit, bukan konvensi APR yang tidak dinyatakan.
  • ⚠ Tingkat pengajaran nominal 12% dengan tingkat bulanan 1% memiliki pertumbuhan efektif tahunan $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$. Frekuensi pemajemukan atau jadwal biaya yang berbeda memerlukan perhitungan yang berbeda.

Contoh dikerjakan. bunga kemudian pembayaran, dalam urutan tersebut

Alur periode pinjaman mengambil saldo pembukaan 1000, menambahkan 2% bunga, lalu mengurangi pembayaran 300.

Diketahui: saldo pembukaan 1000 unit, tingkat periode 2%, pembayaran akhir periode 300 unit. Bunga datang sebelum pembayaran di bawah konvensi yang dinyatakan ini.

$$B_1=B_0(1+r)-M$$
$$B_1=1000(1.02)-300=720$$

Bunga periode berikutnya menggunakan 720, bukan pokok asli.

$$B_2=B_1(1+r)-M=720(1.02)-300=434.40$$

Lembar latihan 2.3 memberikan serangkaian yang semakin sulit dengan solusi dikerjakan.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩
English Bahasa Indonesia
APR/ˌeɪ piː ˈɑː/ APR
2.4

Probability: key concepts · ⁨Probabilitas: konsep kunci⁩
Syllabus · ⁨Silabus⁩
English

Unit 4 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.3: Solve problems using probability and counting techniques.

Bahasa Indonesia

Unit 4 dari 8 dalam GAC010 Matematika II: Probabilitas, Statistik, dan Keuangan (Level II). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam belajar mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC010.3: Menyelesaikan masalah menggunakan probabilitas dan teknik penghitungan.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English

Probability 概率 measures how likely an event is, on a scale from 0 to 1.

  • For equally likely outcomes, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
  • Events are mutually exclusive 互斥 when they cannot both happen: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
  • Events are independent 独立 when one does not affect the other: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
  • The complement 对立事件 rule, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, is often the fastest route to an answer containing "at least one".
  • Counting techniques 计数方法 supply the denominator: a permutation 排列 counts ordered selections, a combination 组合 counts unordered ones.

Conditional probability is $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ for $P(B)>0$. A union subtracts its overlap: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Association in a supplied table does not by itself establish a cause.

Worked example. a second draw depends on the first

Known: two red and one blue counter, two random draws without replacement. To get two reds, follow the red-red path and multiply its conditional probabilities.

$$P(RR)=P(R_1)P(R_2\mid R_1)$$
$$P(RR)=\frac23\times\frac12=\frac13$$

A first blue leaves only red counters; the blue-blue path has probability zero. The draws are not independent.

Practice sheet 2.4 gives a progressively harder set with worked solutions.

Bahasa Indonesia

Probabilitas mengukur seberapa kemungkinan suatu peristiwa terjadi, pada skala dari 0 hingga 1.

  • Untuk hasil yang sama kemungkinannya, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
  • Peristiwa saling lepas ketika keduanya tidak bisa terjadi bersamaan: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
  • Peristiwa independen ketika satu tidak mempengaruhi yang lain: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
  • Aturan komplementer, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, sering kali merupakan jalur tercepat menuju jawaban yang mengandung "setidaknya satu".
  • Teknik penghitungan menyediakan penyebut: permutasi menghitung pemilihan terurut , kombinasi menghitung yang tidak terurut.

Probabilitas bersyarat adalah $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ untuk $P(B)>0$. Satu gabungan menguranginya tumpang tindih: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Asosiasi dalam tabel yang disediakan tidak secara langsung menetapkan sebab.

Contoh dikerjakan. pengambilan kedua bergantung pada yang pertama

Pohon dua pengambilan untuk kantong dengan dua koin merah dan satu koin biru, tanpa pengembalian, melabeli probabilitas pengambilan kedua bersyarat.

Diketahui: dua koin merah dan satu koin biru, dua pengambilan acak tanpa pengembalian. Untuk mendapatkan dua merah, ikuti jalur merah-merah dan kalikan probabilitas bersyaratnya.

$$P(RR)=P(R_1)P(R_2\mid R_1)$$
$$P(RR)=\frac23\times\frac12=\frac13$$

Pertama biru meninggalkan hanya koin merah; jalur biru-biru memiliki probabilitas nol. Pengambilan-pengambilan tersebut tidak independen.

Lembar latihan 2.4 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩
English Bahasa Indonesia
Probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ Probabilitas
mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ saling lepas
independent/ˌɪndɪˈpendənt/ independen
complement/ˈkɒmplɪmənt/ komplemen
Counting techniques/ˈkaʊntɪŋ tekˈniːks/ Teknik menghitung
permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ permutasi
combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ kombinasi
population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ populasi
sample/ˈsæmpl/ sampel
representative/ˌreprɪˈzentətɪv/ representatif
Qualitative data/ˈkwɒlɪteɪtɪv ˈdeɪtə/ Data kualitatif
quantitative data/ˈkwɒntɪteɪtɪv ˈdeɪtə/ data kuantitatif
discrete/dɪˈskriːt/ diskrit
continuous/kənˈtɪnjuːəs/ kontinu
2.5

Statistics: collecting and displaying data · ⁨Statistik: pengumpulan dan paparan data⁩
Syllabus · ⁨Silabus⁩
English

Unit 5 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.4: Analyse collected data using statistical methods.

Bahasa Indonesia

Unit 5 dari 8 dalam GAC010 Matematika II: Probabilitas, Statistik, dan Keuangan (Level II). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam belajar mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC010.4: Menganalisis data yang dikumpulkan menggunakan metode statistik.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English
  • A population 总体 is everyone you want to describe; a sample 样本 is who you actually measure.
  • Generalising to a population needs a suitably representative 有代表性的 sample and an honest account of selection and nonresponse. A class survey can describe that class without establishing a school-wide percentage.
  • Qualitative data 定性数据 are categories; quantitative data 定量数据 measure amounts, either discrete 离散 (counted) or continuous 连续 (measured).
  • Bias 偏差 enters through who you ask, who answers, and how the question is worded, and arithmetic alone does not repair missing or systematically selected observations.

Worked example. equal bar heights can conceal unequal frequencies

Known: class 0 to 10 has frequency 20; class 10 to 30 has frequency 20. Widths differ, so calculate frequency density.

$$D=\frac f w$$
$$D_1=\frac{20}{10}=2$$
$$D_2=\frac{20}{20}=1$$

The second bar is half as high but twice as wide. Both areas represent 20 observations.

Practice sheet 2.5 gives a progressively harder set with worked solutions.

For unequal-width histogram classes, height is frequency divided by class width so that bar area represents frequency. Keep categories in separated bars and numeric continuous intervals in a histogram.

Bahasa Indonesia
  • Populasi adalah semua individu yang ingin anda terangkan; sampel adalah siapa yang sebenarnya diukur.
  • Mengamalkan kepada populasi memerlukan sampel yang representatif yang sesuai serta laporan jujur mengenai pemilihan dan tindak balas tidak. Suruhan kelas boleh menggambarkan kelas tersebut tanpa menetapkan peratusan seluruh sekolah.
  • Data berkualiti adalah kategori; data kuantitatif mengukur jumlah, sama ada diskret (dihitung) atau berterusan (diukur).
  • Bias masuk melalui siapa yang ditanya, siapa yang menjawab, dan bagaimana soalan disusun, dan aritmetik semata-mata tidak membaiki pemerhatian yang hilang atau dipilih secara sistematik.

Contoh kerja. tinggi bar yang sama boleh menyembunyikan frekuensi yang berbeza

Histogram mempunyai selang 0 hingga 10 dan 10 hingga 30 dengan ketumpatan 2 dan 1; kawasan mereka masing-masing mewakili frekuensi 20.

Diketahui: kelas 0 hingga 10 mempunyai frekuensi 20; kelas 10 hingga 30 mempunyai frekuensi 20. Lebar berbeza, jadi hitung ketumpatan frekuensi.

$$D=\frac f w$$
$$D_1=\frac{20}{10}=2$$
$$D_2=\frac{20}{20}=1$$

Bar kedua separuh tingginya tetapi dua kali lebarnya. Kedua-dua kawasan mewakili 20 pemerhatian.

Lembar latihan 2.5 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

Untuk kelas histogram lebar tidak sama, tinggi ialah frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas supaya kawasan bar mewakili frekuensi. Simpan kategori dalam bar terpisah dan selang numerik berterusan dalam histogram.

2.6

Statistics: measures of central location · ⁨Statistik: ukuran lokasi tengah⁩
Syllabus · ⁨Silabus⁩
English

Unit 6 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.4: Analyse collected data using statistical methods.

Bahasa Indonesia

Unit 6 dari 8 dalam GAC010 Matematika II: Probabilitas, Statistik, dan Keuangan (Level II). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam belajar mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC010.4: Menganalisis data yang dikumpulkan menggunakan metode statistik.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English
  • The mean 平均数 is the total divided by the count. It uses every value, and every outlier.
  • The median 中位数 is the middle value in order. Moving an extreme value without changing the ordered middle may leave it unchanged.
  • The mode 众数 is the most frequent value, and it can identify the most frequent category without imposing a numerical scale. A distribution may have more than one mode or no unique mode.
  • ⚠ Choose the summary for the question. A high extreme can pull the mean above the median. The mean still measures total per observation; the median locates the ordered middle. Neither says that most observations equal it.

Worked example. group size determines a combined mean

Known: group A has 10 scores with mean 60; group B has 20 with mean 75. Recover each group's total before combining.

$$\bar x=\frac{n_A\bar x_A+n_B\bar x_B}{n_A+n_B}$$
$$\bar x=\frac{10(60)+20(75)}{10+20}=70$$

The unweighted mean of 60 and 75 would be 67.5, which ignores the unequal counts.

Practice sheet 2.6 gives a progressively harder set with worked solutions.

Bahasa Indonesia
  • Min ialah jumlah dibahagikan dengan bilangan. Ia menggunakan setiap nilai, dan setiap pencilan.
  • Median ialah nilai tengah dalam susunan. Memindahkan nilai ekstrem tanpa mengubah tengah tersusun mungkin meninggalkan ia tidak berubah.
  • Mod ialah nilai paling kerap, dan ia boleh mengenal pasti kategori paling kerap tanpa memaksakan skala numerik. Taburan mungkin mempunyai lebih daripada satu mod atau tiada mod unik.
  • ⚠ Pilih ringkasan untuk soalan. Pencilan tinggi boleh menarik min ke atas median. Min masih mengukur jumlah per pemerhatian; median menentukan tengah tersusun. Tiada satu pun menyatakan bahawa kebanyakan pemerhatian bersamaan dengannya.

Contoh kerja. saiz kumpulan menentukan min gabungan

Dua kumpulan menyumbang jumlah berbeza: 10 pelajar dengan min 60, dan 20 pelajar dengan min 75.

Diketahui: kumpulan A mempunyai 10 skor dengan min 60; kumpulan B mempunyai 20 dengan min 75. Pulihkan jumlah bagi setiap kumpulan sebelum digabungkan.

$$\bar x=\frac{n_A\bar x_A+n_B\bar x_B}{n_A+n_B}$$
$$\bar x=\frac{10(60)+20(75)}{10+20}=70$$

Min tanpa pemberat bagi 60 dan 75 akan menjadi 67.5, yang mengabaikan bilangan tidak sama.

Lembar latihan 2.6 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩
English Bahasa Indonesia
median/ˈmiːdiːən/ median
2.7

Statistics: measures of variability · ⁨Statistik: ukuran variasi⁩
Syllabus · ⁨Silabus⁩
English

Unit 7 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.4: Analyse collected data using statistical methods.

Bahasa Indonesia

Unit 7 dari 8 dalam GAC010 Matematika II: Probabilitas, Statistik, dan Keuangan (Level II). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam belajar mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC010.4: Menganalisis data yang dikumpulkan menggunakan metode statistik.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English
  • The range 全距 is the largest minus the smallest — the full span, so an extreme can change it substantially.
  • The interquartile range (IQR) 四分位距 is the difference $Q_3-Q_1$ spanning the central half by the stated quartile convention. A box plot 箱线图 shows quartiles and a median, with whisker rules that must be specified.
  • The standard deviation 标准差 summarises spread using squared deviations. For a complete population, use: $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$. A sample estimate uses $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ under that stated convention. Variance has squared units; standard deviation has the original units.
  • A larger standard deviation means a wider spread. Two data sets can share a mean and describe completely different situations.

Worked example. read a five-number summary rather than every observation

Known five-number summary: minimum 2, $Q_1=4$, median 6, $Q_3=8$, maximum 12. The overall span and middle-half span are different.

$$R=x_{max}-x_{min}=12-2=10$$
$$IQR=Q_3-Q_1=8-4=4$$

The box does not identify every original value, the sample size or why the spread arose.

Practice sheet 2.7 gives a progressively harder set with worked solutions.

For sheet 2.7, quartiles are medians of ordered half-lists, excluding the overall median for an odd count. Whiskers run to the minimum and maximum. Do not mix that convention with software interpolated quartiles or outlier-fence whiskers.

Bahasa Indonesia
  • Jangkauan ialah nilai terbesar tolak nilai terkecil — jangkauan penuh, jadi pencilan boleh mengubahnya dengan ketara.
  • Jangkauan interkuartil (IQR) ialah perbezaan $Q_3-Q_1$ merentasi separuh tengah oleh konvensi kuartil yang dinyatakan. Graf kotak menunjukkan kuartil dan median, dengan peraturan janggut yang mesti ditentukan.
  • Sisihan piawai meringkas sebaran menggunakan sisihan kuasa dua. Untuk populasi lengkap, gunakan: $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$. Anggaran sampel menggunakan $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ di bawah konvensi yang dinyatakan itu. Varians mempunyai unit kuasa dua; sisihan piawai mempunyai unit asal.
  • Sisihan piawai yang lebih besar bermaksud sebaran yang lebih luas. Dua set data boleh berkongsi min dan menerangkan situasi yang sangat berbeza.

Contoh kerja. baca ringkasan lima nombor bukannya setiap pemerhatian

Graf kotak minimum-ke-maksimum menandakan minimum 2, kuartil pertama 4, median 6, kuartil ketiga 8 dan maksimum 12.

Ringkasan lima nombor diketahui: minimum 2, $Q_1=4$, median 6, $Q_3=8$, maksimum 12. Jangkauan keseluruhan dan jangkauan separuh tengah adalah berbeza.

$$R=x_{max}-x_{min}=12-2=10$$
$$IQR=Q_3-Q_1=8-4=4$$

Kotak tidak mengenal pasti setiap nilai asal, saiz sampel atau mengapa sebaran berlaku.

Lembar latihan 2.7 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

Untuk lembaran 2.7, kuartil adalah median bagi senarai separuh tersusun, mengecualikan median keseluruhan untuk bilangan ganjil. Janggut berjalan ke minimum dan maksimum. Jangan campur konvensi ini dengan kuartil software yang diinterpolasikan atau janggut pagar pencilan.

2.8

Distributions: the normal distribution · ⁨Taburan: taburan normal⁩
Syllabus · ⁨Silabus⁩
English

Unit 8 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.5: Use the normal distribution to analyse data.

Bahasa Indonesia

Unit 8 dari 8 dalam GAC010 Matematika II: Probabilitas, Statistik, dan Keuangan (Level II). Modul ini diajarkan selama sekitar 40 jam tatap muka ditambah 20 jam belajar mandiri, dan dinilai di pusat pengajaran serta dimoderasi oleh ACT — tidak ada ujian eksternal.

Hasil pembelajaran yang dicapai unit ini:

Tujuan Pembelajaran GAC010.5: Menggunakan distribusi normal untuk menganalisis data.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Sumber: Silabus Cambridge International⁩

English
  • The normal distribution 正态分布 is a continuous symmetric bell-shaped model specified by its mean and positive standard deviation. Those two summaries alone do not establish that observed data follow this model.
  • Under a normal model, the approximate empirical rule is: about 68% of values lie within one standard deviation of the mean, 95% within two, and 99.7% within three.
  • A z-score 标准分 says how many standard deviations a value sits from the mean: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, which is what makes two different scales comparable.

For a normal model, use cumulative area $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ and symmetry $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. An interval subtracts its two cumulative bounds. Expected count is sample size times probability and need not be an integer; an observed count is an integer.

Worked example. a threshold is an area beyond a standardised value

Known: an invented measurement model has $\mu=50$ and $\sigma=10$. For values above 60, standardise the threshold.

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{60-50}{10}=1$$

Use the complement of the supplied cumulative area.

$$P(X>60)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$$

This is a model probability, not a guarantee that exactly 15.87% of a finite sample exceeds 60.

Practice sheet 2.8 gives a progressively harder set with worked solutions.

Bahasa Indonesia
  • Taburan normal adalah model berbentuk loceng simetri berterusan yang ditentukan oleh min dan sisihan piawai positifnya. Dua ringkasan ini sahaja tidak menetapkan bahawa data diperhatikan mengikuti model ini.
  • Di bawah model normal,规则 empirikal anggaran ialah: kira-kira 68% nilai terletak dalam satu sisihan piawai dari min, 95% dalam dua, dan 99.7% dalam tiga.
  • Skor z mengatakan berapa banyak sisihan piawai sebuah nilai berada dari min: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, yang inilah yang menjadikan dua skala berbeza boleh dibandingkan.

Untuk model normal, gunakan kawasan kumulatif $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ dan simetri $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. Selang menolak dua had kumulatifnya. Bilangan yang diharapkan ialah saiz sampel kali kebarangkalian dan tidak perlu merupakan integer; bilangan yang diperhatikan ialah integer.

Contoh kerja. ambang ialah kawasan melebihi nilai yang dinormalkan

Lengkung normal-standar menandakan z bersamaan dengan 1 dan menaiki kawasan ekor kanan melaluinya.

Diketahui: model pengukuran ciptaan mempunyai $\mu=50$ dan $\sigma=10$. Untuk nilai di atas 60, normalkan ambangnya.

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{60-50}{10}=1$$

Gunakan komplemen bagi kawasan kumulatif yang dibekalkan.

$$P(X>60)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$$

Ini adalah kebarangkalian model, bukan jaminan bahawa tepat 15.87% daripada sampel terhingga melebihi 60.

Lembar latihan 2.8 menyediakan kumpulan yang semakin sukar dengan penyelesaian contoh.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩
English Bahasa Indonesia
normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ normal distribution
z-score/zed skɔː/ nilai z

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

More topics in GAC Mathematics · ⁨GAC Matematika⁩ · ⁨Topik lain dalam GAC Mathematics · ⁨GAC Matematika⁩⁩

Log in or create account · ⁨Masuk atau buat akun⁩

IGCSE, A-Level & AP