Gre Fisika

GRE Fisika Sarjana yang Disampaikan Komputer

Sekitar 70 soal pilihan ganda dalam 120 menit. Mekanika, elektromagnetisme, optik/gelombang, fisika termal/statistik, fisika kuantum/atom, relativitas, metode laboratorium, dan topik khusus. Tidak ada klaim kesetaraan dengan A-Level.

Cakupan resmi: https://www.ets.org/gre/test-takers/subject-tests/about/content-structure.html

CM · Mekanika klasik

• Hukum kedua Newton adalah pernyataan vektor. Pilih koordinat dan identifikasi kendala sebelum menguraikan komponen.
• Kekekalan energi berlaku ketika usaha dari gaya nonkonservatif diperhitungkan; kekekalan momentum memerlukan impuls eksternal bersih nol.
• Untuk osilasi kecil, linierkan di sekitar kesetimbangan stabil. Suku pemulih yang sebanding dengan perpindahan menghasilkan gerak harmonik.
• Persamaan Lagrange menggunakan L=T−V dan koordinat umum. Formalisme sarjana ini berbeda dari substitusi gaya tingkat sekolah menengah.

Contoh terverifikasi

Untuk massa m pada pegas k, L=(1/2)m xdot²−(1/2)kx². Euler–Lagrange menghasilkan m xddot+kx=0. Dengan demikian frekuensi sudutnya adalah sqrt(k/m). Menggandakan massa mengurangi frekuensi sebesar faktor sqrt(2), bukan dua kali lipat.

Ralat biasa

Kekekalan energi kinetik tidak berlaku dalam setiap tumbukan, bahkan ketika momentum kekal.

EM · Elektromagnetisme

• Medan listrik adalah gradien negatif dari potensial. Nilai dan perubahan spasial adalah besaran yang berbeda.
• Gunakan hukum Gauss dengan simetri. Fluks total yang diketahui saja tidak memberikan medan di setiap titik permukaan.
• Hukum Kirchhoff melacak muatan dan energi dalam sirkuit. GGL terinduksi mengikuti fluks magnetik yang berubah dengan tanda hukum Lenz.
• Persamaan Maxwell menghubungkan medan listrik dan medan magnet. Dalam vakum, gelombang memiliki E/B=c dan membawa energi.

Contoh terverifikasi

Di dalam cangkang bola dengan distribusi muatan seragam, simetri dan hukum Gauss menghasilkan E=0. Potensialnya konstan di dalamnya, bukan necessarily nol. Untuk pelepasan RC, V(t)=V₀ exp(−t/RC), dan setelah satu konstanta waktu nilainya menjadi V₀/e.

Ralat biasa

Jangan gunakan hukum Gauss untuk mengklaim medan seragam pada permukaan sembarang yang tidak simetris.

WO · Gelombang dan optik

• Jumlahkan amplitudo gelombang, lalu hitung intensitas. Intensitas sebanding dengan kuadrat amplitudo untuk medium yang sama.
• Selisih lintasan menghasilkan selisih fase 2πΔ/λ. Sumber koheren memerlukan stabilitas fase relatif.
• Untuk celah tunggal, minimum memenuhi a sin θ=mλ untuk bilangan bulat m yang bukan nol. Celah ganda memiliki kondisi interferensi yang berbeda.
• Optika geometri memerlukan konvensi tanda yang dinyatakan. Efek gelombang penting ketika aperture sebanding dengan panjang gelombang.

Contoh terverifikasi

Dua gelombang koheren yang sama masing-masing memiliki amplitudo A. Searah, amplitudo totalnya adalah 2A dan intensitasnya 4I₀. Dengan selisih fase π, amplitudo dan intensitas ideal menjadi nol. Menambahkan intensitas secara langsung melewatkan efek interferensi.

Ralat biasa

Maksimum celah tunggal pusat tidak diperoleh dengan menetapkan m=0 dalam kondisi minimum.

TS · Termodinamika dan mekanika statistik

• Nyatakan konvensi tanda hukum pertama: ΔU=Q−W ketika W adalah kerja yang dilakukan oleh sistem.
• Untuk mesin reversibel antara reservoir, efisiensi dibatasi oleh 1−Tc/Th menggunakan suhu mutlak.
• Bobot Boltzmann adalah exp(−E/kT). Probabilitas memerlukan pembagian dengan fungsi partisi.
• Bedakan asumsi Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein, dan Fermi–Dirac. Fermion tidak dapat berbagi keadaan satu-partikel yang identik.

Contoh terverifikasi

Reservoir pada 600 K dan 300 K memberikan efisiensi reversibel maksimum 1−300/600=0.5. Mesin yang mengambil 1000 J dapat menghasilkan paling banyak 500 J kerja di bawah kondisi ini. Kekekalan saja tidak akan menjatuhkan batasan tersebut.

Ralat biasa

Rasio suhu Celsius tidak dapat digunakan dalam rumus efisiensi Carnot.

QM · Mekanika kuantum dan fisika atom

• Fungsi gelombang keadaan harus memenuhi syarat batas model dan memiliki total probabilitas satu: integralkan |ψ(x)|² atas domain yang diperbolehkan. Untuk keadaan ortonormal φ_j, superposisi ψ=Σc_jφ_j memiliki norma kuadrat Σ|c_j|² karena suku silang terintegralkan menjadi nol. Dengan demikian, superposisi setara dari N keadaan ortonormal memiliki magnitudo koefisien 1/sqrt(N). Probabilitas menemukan satu energi penyusun adalah |c_j|², bukan c_j. Fase relatif dapat mempengaruhi probabilitas posisi meskipun probabilitas energi tidak berubah.
• Observabel direpresentasikan oleh operator Hermitian. Nilai eigennya real, dan keadaan ternormalisasi memberikan nilai harapan ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. Nilai harapan adalah rata-rata atas persiapan berulang, belum tentu hasil dari satu pengukuran. Jika A memenuhi identitas polinomial, terapkan pada keadaan eigen: untuk A⁴=I, nilai eigen real harus +1 atau −1. Akar keempat kompleks dikecualikan oleh Hermitisitas meskipun ia menyelesaikan polinomial.
• Untuk sumur tak hingga 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 memungkinkan mode sinus sin(nπx/L), dengan n=1,2,… . Energinya adalah E_n=n²π²ℏ²/(2mL²), sehingga keadaan dasar tidak nol dan penggandaan L membagi setiap energi dengan empat. Ekspresi h ekuivalen adalah n²h²/(8mL²); jangan pernah mensubstitusikan h untuk ℏ tanpa faktor 2π-nya. Penghalang terbatas sebaliknya memungkinkan ekor eksponensial, dan gelombang merambat di daerah yang secara klasik diperbolehkan memiliki ketergantungan spasial osilatorik daripada peluruhan eksponensial.
• Operator komutatif ketika [A,B]=AB−BA=0; observabel kompatibel dapat memiliki basis eigen bersama. Karena energi kinetik p²/(2m) adalah fungsi dari p, ia komutatif dengan p. Potensial yang bergantung pada posisi umumnya membuat H=p²/(2m)+V(x) gagal komutatif dengan p. Momentum sudut memenuhi [J_x,J_y]=iℏJ_z dan permutasi siklik, sementara J² komutatif dengan setiap komponennya. Transisi atomMenukar energi foton positif yang sama dengan perbedaan tingkat; momentum sudut dan aturan seleksi spesifik mekanisme membatasi transisi mana yang terjadi.

Contoh terverifikasi

Untuk sumur tak hingga, E2=4E1 dan E3=9E1. Transisi dari n=3 ke n=2 melepaskan 5E1. Menggandakan L menurunkan setiap energi sebesar faktor empat. n=0 akan menghasilkan fungsi gelombang nol, bukan keadaan fisik.

Ralat biasa

Keadaan stasioner dapat memiliki energi nonzero meskipun kerapatan probabilitasnya tidak bergantung waktu.

RA · Relativitas, metode laboratorium, dan topik khusus

• Relativitas khusus menggunakan γ=1/sqrt(1−v²/c²). Energi diam adalah mc² dan energi total adalah γmc².
• Untuk ketidakpastian kecil yang independen, gabungkan kontribusi secara kuadratur; ketidakpastian yang berkorelasi memerlukan suku kovariansi.
• Sebaran acak memengaruhi presisi; bias kalibrasi memengaruhi akurasi. Plot log dapat mengungkap hukum pangkat.
• Pertanyaan tentang nuklir, partikel, materi terkondensasi, dan astrofisika memerlukan kosakata dan model tingkat sarjana. Fisika sekolah saja bukan merupakan kursus persiapan yang lengkap.

Contoh terverifikasi

Untuk v=0.6c, γ=1/sqrt(0.64)=1.25. Energi total adalah 1.25mc²; energi kinetik adalah (γ−1)mc²=0.25mc². Untuk y=ab dengan ketidakpastian relatif kecil independen 3% dan 4%, ketidakpastian relatif adalah sqrt(3²+4²)%=5%.

Ralat biasa

Menambahkan ketidakpastian persentase secara linear memberikan batas kasus terburuk, bukan ketidakpastian standar statistik independen.

AT · Spektrum atom dan aturan seleksi

• Untuk ion satu-elektron seperti hidrogen, energi terikat berskala sebagai −13.6 Z²/n² eV dalam model non-relativistik paling sederhana. Emisi memerlukan transisi turun dan energi foton positif.
• Momentum sudut orbital memiliki l=0,…,n−1 dan m_l=−l,…,l. Spin elektron menambahkan s=1/2; momentum sudut total menggabungkan kontribusi orbital dan spin.
• Aturan seleksi dipol listrik mencakup Δl=±1 dan Δm=0,±1. Aturan ini berkaitan dengan mekanisme transisi tertentu; terlarang tidak berarti mustahil oleh semua mekanisme.
• Struktur halus, efek spin-orbit, dan pemecahan Zeeman menyempurnakan gambaran hidrogen paling sederhana. Dalam atom multi-elektron, peredaman dan interaksi elektron membatalkan substitusi energi hidrogen langsung.

Contoh terverifikasi

Dalam hidrogen, E1=−13.6 eV dan E2=−3.4 eV. Emisi 2p→1s melepaskan 10.2 eV dan memenuhi Δl=−1. Transisi 2s→1s memiliki Δl=0, sehingga dilarang electric-dipole meskipun terdapat perbedaan energi yang sama.

Ralat biasa

Jangan buat energi keadaan akhir dikurangi energi keadaan awal menjadi negatif untuk foton yang dipancarkan.

SN · Model padatan, nuklir, dan partikel

• Pita terisi tidak dapat mengalirkan arus biasa tanpa keadaan terdekat yang tersedia. Logam memiliki pita sebagian terisi atau tumpang tindih; semikonduktor memiliki celah pita yang kecil. Doping donor dan akseptor mengubah populasi pembawa muatan.
• Pengisian Fermi–Dirac adalah 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. Pada suhu nol, hal ini menjadi fungsi tangga di energi Fermi; pelebaran termal tidak membuat setiap keadaan terisi separuh.
• Populasi radioaktif mematuhi N=N0e^(−λt), aktivitas λN, dan waktu paruh ln2/λ. Energi ikat berasal dari defisit massa dikalikan c²; bandingkan energi ikat per nukleon saat membahas kestabilan.
• Proses nuklir dan partikel harus mengawetkan muatan, energi, momentum, dan bilangan kuantum yang berlaku. Peluruhan beta melibatkan neutrino atau antineutrino; cerita dua tubuh hanya dengan elektron tidak dapat menjelaskan spektrum energinya yang kontinu.

Contoh terverifikasi

Setelah tiga waktu paruh, N/N0=(1/2)^3=1/8, sehingga aktivitas juga menjadi satu perdelapan jika λ tetap. Defisit massa 0.010 u setara dengan sekitar 9.315 MeV menggunakan 1 u c²=931.5 MeV.

Ralat biasa

Aktivitas dan populasi yang tersisa keduanya meluruh, namun satuan mereka berbeda: aktivitas adalah transisi per detik.

AH · Mekanika Hamilton dan skala astrofisika

• Momentum kanonik adalah p=∂L/∂qdot. Transformasi Legendre H=p qdot−L menghasilkan Hamiltonian ketika kecepatan dapat dinyatakan menggunakan koordinat dan momentum.
• Persamaan Hamilton adalah qdot=∂H/∂p dan pdot=−∂H/∂q. Untuk osilator biasa H=p²/(2m)+kq²/2, persamaan ini menghasilkan persamaan Newton.
• Untuk orbit gravitasi melingkar v²=GM/r dan periode²=4π²r³/(GM). Asumsi termasuk massa pusat dominan dan aproksimasi melingkar; orbit elips menggunakan sumbu semi-besar dalam hukum Kepler. Untuk satelit melingkar bermassa m, besaran momentum sudut adalah mrv=m sqrt(GMr), sehingga satelit identik memiliki L sebanding dengan sqrt(r). Rasio jari-jari 9 memberikan rasio momentum sudut 3, sementara rasio periode adalah 27. Perbedaan ini mengikuti hubungan gaya sentripetal yang sama; jangan gunakan penskalaan periode untuk momentum sudut.
• Luminositas dan fluks yang diterima mematuhi F=L/(4πd²) untuk radiasi isotropik. Benda hitam memiliki L=4πR²σT⁴; puncak spektralnya bergeser berbanding terbalik dengan suhu. Bedakan luminositas intrinsik dari kecerahan yang diamati.

Contoh terverifikasi

Untuk osilator, qdot=p/m dan pdot=−kq, sehingga qddot=−(k/m)q. Jika bintang yang identik berada dua kali lebih jauh, fluks yang diterima menjadi seperempatnya, meskipun luminositas tidak berubah.

Ralat biasa

Hamiltonian sama dengan total energi mekanik hanya di bawah asumsi sistem yang relevan; jangan menyimpulkan hal ini secara universal semata-mata berdasarkan namanya.

CM.1 · Tabrakan, usaha, dan energi osilator

• Pilih sistem terisolasi selama tabrakan singkat. Dengan impuls eksternal yang dapat diabaikan, konservasikan momentum total secara terpisah dalam setiap arah Kartesius. Jika massa m1 dan m2 melekat, kecepatan bersama mereka adalah (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Temukan besarannya hanya setelah menjumlahkan vektor. Energi kinetik awal adalah jumlah dari masing-masing ½m|v|²; energi kinetik akhir menggunakan massa total dan kecepatan bersama. Selisihnya menjadi energi internal atau deformasi, bukan momentum yang hilang. Tabrakan sama sekali tak lenting berarti melekat, bukan berhenti di akhir.
• Teorema usaha-energi ΔK=∫F·dr menggunakan gaya bersih sepanjang perpindahan. Untuk gaya konstan sejajar atas jarak s, ΔK=Fs. Peningkatan kecepatan dua kali menggandakan energi kinetik. Kekekalan energi mekanik adalah pernyataan terpisah yang memerlukan tidak adanya usaha nonkonservatif yang tidak terhitung. Pada simpangan pegas x, U=½kx². Di bawah gaya F yang diterapkan yang sama, ekstensi kesetimbangan adalah F/k dan energi tersimpan adalah F²/(2k): pegas lebih kaku meregang lebih sedikit dan menyimpan energi lebih sedikit. Di bawah ekstensi yang sama, ia menyimpan lebih banyak. Identifikasi kondisi mana yang dijaga tetap.
• Dekat kesetimbangan stabil x0, jabarkan U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; kekakuan efektif adalah positif U″(x0). Gerakan memenuhi m xddot=−k_eff(x−x0), dengan ω=sqrt(k_eff/m) dan periode 2π/ω. Ayunan sederhana memenuhi θddot+(g/L)sinθ=0. Untuk sudut kecil sinθ≈θ, sehingga T=2πsqrt(L/g). Aproksimasi ini menjelaskan penskalaan periode-panjang; amplitudo besar memerlukan koreksi, dan massa saling menghilangkan untuk ayunan ideal.
• Untuk osilator harmonik tanpa peredaman, energi total adalah ½m v²²+½kx²²=½kA²². Pada kesetimbangan seluruh energinya adalah kinetik; pada titik balik kecepatannya nol dan seluruh energinya adalah potensial. Frekuensi sudut bukan frekuensi biasa: ω=2πf. Jika osilator yang sama memiliki kecepatan kesetimbangan vmax, maka A=vmax/ω. Bedakan momen ketika kecepatan diukur dari simpangan pelepasan, dan gunakan satuan SI ketika jawaban diminta dalam milijoule.

Contoh terverifikasi

Troli 2 kg pada (3,0) m/s menempel pada troli 1 kg pada (0,3) m/s. Momentum adalah (6,3) kg·m/s, sehingga kecepatan akhir adalah (2,1) m/s. K awal=9+4.5=13.5 J; K akhir=½·3·5=7.5 J. Peningkatan energi internal adalah 6 J. Secara terpisah, osilator 0.5 kg memiliki kecepatan kesetimbangan 0.2 m/s: energinya total adalah 0.01 J, atau 10 mJ.

Ralat biasa

Jangan tambahkan besaran kecepatan datang sebagai momentum, atau kekalkan energi kinetik dalam tabrakan lengket. Perbandingan pegas gaya tetap dan ekstensi tetap memiliki jawaban yang berlawanan.

CM.2 · Rotasi, apung, dan keseimbangan kecepatan terminal

• Torsi tentang poros tetap adalah r×F; besarannya menggunakan lengan tuas tegak lurus. Untuk batang seragam panjang L yang ditumpu di satu ujung, gravitasi bekerja di pusat L/2 dan momen inersia adalah ML²/3. Jika sudut θ diukur dari vertikal, besar torsi gravitasi adalah Mg(L/2)sinθ, sehingga besar percepatan sudut adalah 3g sinθ/(2L). Tentukan arah rotasi positif sebelum menetapkan tanda. Menggunakan inersia pusat massa ML²/12 tanpa koreaksi sumbu paralel menghasilkan percepatan yang salah.
• Benda yang bergulir tanpa selip memenuhi v=Rω. Tulis energi kinetik total sebagai ½Mv²+½Iω². Dengan I=βMR², fraksi rotasional adalah β/(1+β); untuk cakram solid β=1/2 dan fraksinya adalah 1/3. Cincin memiliki β=1 dan fraksi 1/2. Gesekan statis dapat menyediakan torsi yang diperlukan untuk bergulir tanpa mendissipasi energi pada kontak yang diam sesaat di permukaan tetap. Benda yang meluncur tidak memenuhi relasi tanpa selip secara otomatis.
• Untuk benda komposit terapung, gaya apung sama dengan berat fluida yang dipindahkan, dijumlahkan dari setiap bagian yang terendam. Misalkan balok kayu memiliki volume V dan batu padat volume Vs. Jika batu berada di atas air, hanya kayu yang terendam yang berkontribusi: ρair g fV sama dengan total berat. Jika batu terpasang di bawah dan sepenuhnya terendam, volumenya yang dipindahkan mengurangi fraksi terendam kayu yang dibutuhkan menjadi f−Vs/V. Batu tidak berhenti memiliki berat; air kini menyediakan sebagian dukungnya. Periksa apakah orientasi dan apungan yang diasumsikan secara fisik mungkin terjadi.
• Kecepatan terminal berarti percepatan nol, bukan kecepatan nol atau gaya nol. Dengan hambatan kuadratik C v² dan berat ke bawah Mg, mengabaikan apungan menghasilkan vt=sqrt(Mg/C). Dua bola identik lainnya berbagi koefisien hambatan C; menggandakan massa kemudian mengalikan kecepatan terminal dengan sqrt(2). Jika apungan penting, ganti Mg dengan (M−ρfluid V)g. Model hambatan linear sebaliknya memberikan penskalaan massa yang berbeda. Nyatakan hukum hambatan yang ditentukan dan bandingkan keseimbangan gaya, alih-alih mentransfer rumus antar model.

Contoh terverifikasi

Cakram solid bergulir tanpa selip: I=MR²/2 memberikan K rotasional=¼Mv², K translasional=½Mv² dan fraksi rotasional 1/3. Komposit kayu-batu awalnya memindahkan 0.60V melalui kayu saja. Jika batu memiliki volume 0.10V dan kemudian sepenuhnya di bawah air, volume kayu tercelup yang diperlukan adalah 0.50V. Volume terdisplacement total tetap 0.60V.

Ralat biasa

Gunakan inersia terhadap poros yang dipilih. Dalam apungan, sertakan juga volume yang dipindahkan oleh batu serta beratnya. Kecepatan terminal memerlukan hukum hambat yang ditentukan.

CM.3 · Percepatan berpasangan dan gerak relatif

• Untuk massa m1 di atas meja horizontal tanpa gesekan yang terhubung melalui katrol ideal tak bermassa ke massa gantung m2, pilih gerakan meja dan gerakan gantung ke bawah sebagai positif. Tali tegang tidak dapat meregang memberikan satu besaran percepatan. Tulis T=m1a dan m2g−T=m2a. Menambahkan menghilangkan tegangan internal, sehingga a=m2g/(m1+m2) dan T=m1m2g/(m1+m2). Dengan demikian T<m2g ketika kedua massa positif. Menetapkan tegangan sama dengan berat gantung secara diam-diam mengasumsikan percepatan nol.
• Asumsi tegangan umum memerlukan tali ideal tak bermassa dan katrol dengan gesekan dan inersia yang dapat diabaikan. Katrol dengan inersia rotasi dapat memiliki tegangan berbeda, dengan (T2−T1)R=Iα dan a=Rα jika tali tidak tergelincir. Gambar setiap benda secara terpisah: gaya internal terhadap sistem gabungan tetap menjadi gaya eksternal pada satu benda yang dipilih. Gaya pengikat dapat saling menghilangkan dari persamaan sistem namun tetap diperlukan untuk gerakan individu.
• Untuk dua kerangka inersial dengan kecepatan relatif konstan V, transformasi kecepatan Galilean adalah v_relative=v_ground−V. Beban yang dilepaskan oleh pesawat terbang horizontal awalnya memiliki kecepatan horizontal pesawat. Dengan hambatan udara yang dapat diabaikan, kecepatan tanah horizontal tetap konstan dan kecepatan vertikal menjadi −gt jika arah naik positif. Relatif terhadap pesawat tersebut, kecepatan horizontal adalah nol dan kecepatan turun adalah gt. Posisi adalah pertanyaan berbeda: perpindahan vertikal adalah −½gt². Jangan campur adukkan kecepatan tanah dengan kecepatan relatif.
• Periksa kasus batas setelah menyelesaikan. Saat m1 mendekati nol, percepatan kopel ideal mendekati g dan tegangan mendekati nol; saat m1 tumbuh sangat besar, percepatan mendekati nol dan tegangan mendekati m2g dari bawah. Turunan energi memberikan m2g s=½(m1+m2)v² untuk pelepasan dari keadaan diam dan katrol ideal, sesuai dengan v²=2as. Kesesuaian ini memeriksa persamaan; hal itu tidak memungkinkan kekekalan energi jika ada gesekan atau kerja lain yang belum diperhitungkan.

Contoh terverifikasi

Dengan m1=3 kg, m2=2 kg dan g=10 m/s², percepatan adalah 4 m/s² dan tegangan adalah 12 N, di bawah berat tergantung 20 N. Dari keadaan diam setelah penurunan 0.5 m, v²=2·4·0.5=4, sehingga v=2 m/s. Beban yang dilepaskan oleh pesawat pada kecepatan horizontal konstan 80 m/s memiliki kecepatan tanah (80,−30) m/s setelah 3 s, tetapi kecepatan relatif (0,−30) m/s.

Ralat biasa

Katrol ideal tanpa massa menyamakan tegangan, bukan tegangan dan berat. Kurangi kecepatan bingkai komponen demi komponen sebelum mengambil besaran kecepatan.

EM.1 · Superposisi elektrostatik, fluks, dan konduktor

• Untuk muatan titik Q pada posisi r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). Superposisikan vektor, bukan besaran medan. Untuk dua muatan positif yang menarik elektron, gaya dalam arah yang sama dijumlahkan; arah berlawanan dikurangkan; komponen tegak lurus digabungkan melalui Pythagoras. Tentukan titik pengamatan dan arah setiap gaya terlebih dahulu. Potensial adalah jumlah skalar V=ΣQ/(4πε0r) dengan nol di tak hingga. Potensial nol secara umum tidak berarti medan nol, karena E=−∇V.
• Hukum Gauss adalah integral permukaan tertutup ∮E·dA=Q_enclosed/ε0. Ini menentukan medan lokal hanya sederhana ketika simetri membuat medan normal seragam atau membuat kontribusi fluks lainnya nol. Muatan dekat bidang tak hingga mengirimkan setengah fluks totalnya melalui bidang tersebut dalam besaran: bidang tersebut memotong sudut ruang 2π dari 4π. Hasilnya independen terhadap jarak dan posisi lateral, tetapi tandanya bergantung pada normal bidang yang dipilih dan tanda muatan. Bidang terbuka tidak membungkus muatan; menggunakan frasa permukaan tertutup untuknya adalah salah.
• Dalam kesetimbangan elektrostatik, medan listrik di dalam material konduktor adalah nol dan konduktor memiliki potensial konstan. Tempatkan muatan Q di tengah cangkang bola konduktor dengan jari-jari dalam a, jari-jari luar b dan muatan bersih cangkang q. Permukaan Gaussian di dalam material memerlukan muatan permukaan dalam −Q, sehingga permukaan luar memiliki q+Q. Simetri bola membuat medan eksternal seperti muatan total Q+q di pusat. Potensial material, nol di tak hingga, adalah (Q+q)/(4πε0b), independen terhadap jari-jari pengamatan material.
• Di rongga cangkang bermuatan terpusat itu, medannya adalah Q/(4πε0r²) radial untuk 0<r<a. Potensial mencakup kontribusi muatan titik dan kontribusi cangkang konstan; kontinuitas berlaku melintasi setiap permukaan meskipun medan normal melompat di muatan permukaan. Pisahkan rongga, material konduktor, dan eksterior. Muatan yang tidak terpusat masih menginduksi total muatan dalam −Q, tetapi medan rongganya tidak lagi merupakan medan radial terpusat yang sederhana. Medan konduktor interior nol mengikuti kesetimbangan, bukan asumsi bahwa setiap distribusi muatan permukaan adalah seragam.

Contoh terverifikasi

Ambil Q=+2 nC, muatan bersih cangkang q=−1 nC dan b=0.30 m. Permukaan bagian dalam memiliki −2 nC; permukaan luar memiliki +1 nC. Menggunakan 1/(4πε0)=9×10⁹, potensial di seluruh bahan konduktor adalah 30 V, sementara medannya adalah nol. Secara terpisah, komponen tarik-menarik 3 N ke kanan dan 4 N ke atas bergabung menjadi besaran 5 N, bukan 7 N.

Ralat biasa

Jangan tertukar antara hasil fluks setengah bidang terbuka dengan muatan yang dibungkus. Medan nol konduktor menetapkan potensial konstan, bukan necessarily potensial nol.

EM.2 · Daya sirkuit, induksi, dan gerak partikel bermuatan

• Untuk rangkaian resistor ideal yang stabil, hambatan seri dijumlahkan dan konduktansi paralel dijumlahkan. Sederhanakan jaringan sambil mempertahankan node mana yang memiliki tegangan sama. Dengan sumber 24 V, resistor seri 2 Ω, dan cabang paralel 3 Ω serta 6 Ω, ekuivalen paralelnya adalah 2 Ω. Arus total adalah 6 A, tegangan cabang adalah 12 V, dan arus cabang adalah 4 A dan 2 A. Arus melalui setiap komponen tidak harus sama dengan arus total; verifikasi jumlahan arus dan tegangan Kirchhoff setelah penyederhanaan.
• Untuk arus sinusoidal I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2). Rangkaian RLC seri memiliki besar impedansi sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) dan daya rata-rata yang terdisipasi Irms²R=Vrms Irms cosφ. Induktor/kapasitor ideal menukar energi tersimpan dengan disipasi rata-rata nol. Jika arus rms sudah diberikan, jangan masukkan faktor lagi 1/2. Dioda penyearah ideal menghantarkan pada arah maju dan memblokir pada arah mundur: dioda seri dengan orientasi yang sesuai memotong setengah negatif dari tegangan resistor sinusoidal; hal ini bukan pembuat penyearah gelombang penuh secara mandiri.
• Fluks magnetik adalah ∫B·dA, atau BA cosθ untuk medan seragam dengan θ diukur dari normal luas. GGL Faraday adalah −N dΦ/dt. Untuk perubahan medan tegak lurus dan geometri loop tetap, besarannya rata-rata adalah NA|ΔB|/Δt. Tentukan tanda atau arah arus menggunakan penentangan terhadap perubahan fluks, bukan penentangan terhadap medannya itu sendiri. Medan magnet di tengah satu loop melingkar adalah μ0I/(2R), diperoleh dari Biot–Savart: setiap elemen berkontribusi dalam arah aksial yang sama. Kumparan kompak N-lipatan mengalikan hasil ini dengan N.
• Untuk muatan non-relativistik dengan kecepatan tegak lurus terhadap B seragam, gaya magnetik |q|vB menyediakan gaya sentripetal mv²/r. Dengan demikian r=mv/(|q|B) dan frekuensi sudut siklotron adalah |q|B/m, independen dari kecepatan dalam pendekatan ini. Tanda muatan menentukan arah rotasi. Deuteron memiliki massa sekitar dua kali proton dan muatan yang sama, sedangkan partikel alfa memiliki empat kali massanya dan dua kali muatannya; frekuensi masing-masing adalah setengah nilai proton. Dalam medan E dan B silang, gerak tanpa pembelokan memerlukan gaya listrik dan magnetik berlawanan dan v=E/B. Periksa arah vektor sebelum menggunakan besaran ini.

Contoh terverifikasi

Dalam jaringan 24 V, 2 Ω seri dengan (3 Ω paralel 6 Ω) menghasilkan total 4 Ω, arus 6 A, dan arus cabang 6 Ω adalah 2 A. Kumparan 100-lipatan dengan luas 0.020 m² mengalami kenaikan medan tegak lurus sebesar 0.030 T dalam waktu 0.10 s: besar GGL rata-rata adalah 0.60 V. Selektor kecepatan dengan E=6000 V/m dan B=0.20 T menyeleksi kecepatan 30000 m/s.

Ralat biasa

Jangan menerapkan tegangan baterai ke setiap cabang atau menggandakan lagi daya arus rms. Sudut fluks menggunakan normal luas; selektor juga membutuhkan arah gaya yang berlawanan.

EM.3 · Gelombang Maxwell, aliran energi, dan syarat batas

• Hukum Ampere–Maxwell dalam vakum adalah ∮B·dl=μ0(I_conduction+ε0 dΦE/dt). Suku arus perpindahan yang ditambahkan bergantung pada laju waktu fluks listrik melalui permukaan yang dipilih. Hal ini memastikan hasil yang konsisten untuk loop yang permukaannya meliputi baik melintasi kawat kapasitor maupun berada di antara pelat. Arus perpindahan bukan fluks magnetik atau integral atas fluks listrik sebelumnya. Untuk medan pelat seragam, kontribusi celah adalah ε0A dE/dt; tanda mengikuti permukaan terorientasi.
• Dalam dielektrik homogen, linear, tanpa rugi dengan permeabilitas μ dan permitivitas ε, persamaan Maxwell memberikan kecepatan gelombang v=1/sqrt(με) dan indeks bias n=c/v=sqrt(μrεr). Untuk material nonmagnetik μr≈1, sehingga v=c/sqrt(εr). Gunakan konstanta material dependen-frekuensi yang disebutkan ketika dispersi penting; konstanta dielektrik statis mungkin tidak mendeskripsikan setiap frekuensi optik. Gelombang vakum memiliki E/B=c; dalam medium sederhana ini hubungannya adalah E/B=v.
• Untuk gelombang bidang yang merambat sepanjang vektor satuan n, B=(n×E)/v. Kedua medan tegak lurus terhadap perambatan dan terhadap satu sama lain. Fase kz−ωt merambat menuju +z, sementara kz+ωt merambat menuju −z. Jika E sepanjang x+y dan perambatan adalah +z, B adalah sepanjang −x+y, karena z×x=y dan z×y=−x. Vektor Poynting S=E×H (E×B/μ dalam medium ini) menunjuk sepanjang transportasi energi. Di zona radiasi muatan yang dipercepat, fluks energi keluar dari sumber, tidak necessarily dalam arah gerakan muatan sesaat.
• Persamaan divergensi Maxwell ∇·B=0 memberikan kontinuitas komponen normal B melintasi antarmuka: kotak pil kecil tidak memiliki muatan magnetik di dalamnya. Lompatan H tangensial berkaitan dengan arus permukaan; hal itu tidak perlu vanish. Di bawah model superkonduktor ideal keadaan Meissner dengan B interior nol, komponen normal eksterior pada batas harus karena itu nol, meninggalkan setiap B eksterior yang tidak nol tangensial terhadap permukaan. Kesimpulan ini bersyarat pada model interior-nol yang dinyatakan; hal itu tidak mengikuti dengan mengasumsikan semua medan eksterior adalah nol. Untuk elektrostatis, D normal bisa instead jump by free surface charge.

Contoh terverifikasi

Media nonmagnetik dengan εr=9 memiliki kecepatan gelombang c/3=1.0×10⁸ m/s. Untuk gelombang +z dengan E berbanding lurus x+y, arah magnetik adalah −x+y dan E×B mengarah +z. Pada batas Meissner bidang dengan B interior nol, medan eksterior mungkin tangensial tetapi tidak dapat memiliki komponen normal yang tidak nol.

Ralat biasa

Arus perpindahan menggunakan fluks listrik yang berubah. B interior nol membatasi komponen normal eksternal, bukan setiap komponen eksternal. Bedakan perambatan gelombang dari gerakan partikel.

WO.1 · Gema Doppler akustik dan batas gelombang berdiri

• Untuk bunyi di medium diam, pisahkan gerakan sumber dari gerakan pengamat. Sumber yang mendekati dengan kecepatan u_s memampatkan jarak muka gelombang dan menghasilkan frekuensi diterima fc/(c−u_s) pada pengamat diam. Pengamat yang mendekati sumber diam dengan kecepatan u_o bertemu lebih banyak muka gelombang per detik dan mengukur f(c+u_o)/c. Kecepatan diukur relatif terhadap medium; rumus sumber akustik dan pengamat tidak simetris saat menukar peran. Gerakan menjauh membalik tanda yang sesuai. Ekspresi ini mengasumsikan gerakan subsonik sepanjang garis perambatan.
• Untuk sirene bergerak menuju dinding pemantap diam dengan kecepatan u, dinding pertama kali menerima f_wall=f c/(c−u). Pemantulan dari dinding diam mempertahankan frekuensi dalam kerangka medium. Pengemudi yang bergerak kemudian mendekati gelombang datang kembali dan menerima f_echo=f_wall(c+u)/c=f(c+u)/(c−u). Pada u/c kecil, pergeseran pecahan kira-kira 2u/c, tetapi ekspresi eksaknya memiliki pembilang dan penyebut yang berbeda. Permukaan pemantul yang bergerak memerlukan langkah Doppler sendiri; jangan gunakan hasil dinding diam secara buta.
• Di ujung pipa terbuka ideal, perpindahan udara adalah antinoda dan variasi tekanan adalah nodus. Di ujung kaku tertutup, perpindahan adalah nodus dan tekanan adalah antinoda. Untuk kedua ujung terbuka, panjang L memuat n setengah gelombang, menghasilkan f_n=nc/(2L), n=1,2,… . Untuk satu ujung tertutup, memuat bilangan ganjil seperempat gelombang, menghasilkan f_n=(2n−1)c/(4L). Pipa nyata mungkin memerlukan koreksi ujung; model GRE ideal menggunakan panjang yang dinyatakan tanpa membuat penyesuaian.
• Menutup salah satu ujung pipa yang sebelumnya terbuka di kedua sisinya memotong setengah frekuensi fundamentalnya dan meninggalkan hanya kelipatan ganjil dari fundamental baru tersebut. Frekuensi lamanya merupakan kelipatan bilangan bulat dari c/(2L), yang merupakan kelipatan genap dari c/(4L), sehingga tidak ada yang merupakan frekuensi yang diizinkan bagi spektrum satu-tutup ideal yang baru. Ini berbeda dengan sekadar menghapus harmonik genap sambil mempertahankan fundamental lama. Ketika medium tidak berubah, kecepatan gelombang tetap sama; frekuensi dan panjang gelombang berubah bersama untuk memenuhi geometri batas yang baru.

Contoh terverifikasi

Sirene 500 Hz mendekati dinding tetap pada 10 m/s di udara dengan c=340 m/s. Gema yang didengar pengemudi adalah 500·350/330=530.3 Hz. Untuk pipa ideal 0.85 m di udara yang sama, fundamental terbuka-keduanya adalah 200 Hz, sementara spektrum satu-tutup dimulai 100, 300, 500 Hz. Tidak ada garis asli 200, 400, 600 Hz yang dipertahankan.

Ralat biasa

Gema membutuhkan kedua faktor Doppler. Menutup pipa mengubah fundamental; harmonik ganjil dihitung dari fundamental baru, bukan yang lama.

WO.2 · Instrumen optik, perbedaan jalur, dan pembiasan

• Untuk teleskop astronomi ideal yang disesuaikan untuk pandangan rileks di tak terhingga, lensa objektif membentuk citra bidang fokusnya dan lensa okuler mengkolimasikan cahaya yang keluar. Jarak antar-lensa adalah f_objektif + f_okuler; besar perbesaran sudutnya adalah f_objektif / f_okuler. Teleskop dua-lensa konvergen biasa menghasilkan citra terbalik, yang direpresentasikan oleh perbesaran sudut bernilai negatif di bawah konvensi yang konsisten. Jarak citra akhir yang terbatas mengubah jarak antar-lensa; jangan gunakan penyesuaian tak terhingga tanpa memeriksa kondisi tersebut.
• Kekuatan resolusi R=λ/Δλ menggambarkan pemisahan panjang gelombang terkecil yang dapat dibedakan di dekat λ. Untuk kisi difraksi ideal dalam orde m dengan N celah yang diterangi, R=mN. Ini adalah kriteria resolusi, bukan sekadar rumus posisi sudut d sinθ=mλ. Meningkatkan jumlah celah yang diterangi menajamkan puncak utama; meningkatkan jarak antar celah terutama mengubah lokasi sudutnya. Pengukuran λ=600 nm dan Δλ=3 nm memberikan R=200, independen dari mengonversi kedua panjang ke meter karena rasionya menggunakan satuan yang cocok.
• Interferensi Michelson bergantung pada beda jalur optik antara lengan-lengannya. Jika salah satu lengan berisi sel gas dengan panjang geometris L dan indeks berubah dari n menjadi 1 saat pengaliran vakum, perjalanan ganda mengubah jalur sebesar 2L(n−1). Jika N garis interferensi lewat, besaran perubahan ini adalah Nλ, sehingga n−1=Nλ/(2L). Untuk cermin bergerak sebagai pengganti, perpindahan Δx memberikan perubahan jalur 2Δx. Jumlah garis menghitung siklus fase; satu garis adalah satu panjang gelombang jalur optik, bukan satu panjang gelombang gerakan cermin.
• Hukum Snell n1 sinθ1=n2 sinθ2 menggunakan sudut dari normal permukaan lokal. Pemantulan memiliki sudut datang dan pantul yang sama dari normal yang sama. Dalam balok persegi panjang, normal sisi tetangga saling tegak lurus: sudut insiden yang diukur dari satu normal berpelurus dengan sudut sinar yang sama dari normal lainnya. Gambarlah sinar dan normal sebelum substitusi. Untuk insiden dari indeks n ke udara, pemantulan internal total terjadi hanya ketika sinθ>1/n; kesamaan adalah kasus kritis merayap. Sinar yang dinyatakan sebagian dibiaskan harus memenuhi kondisi transmisi.

Contoh terverifikasi

Teleskop pandangan rileks memiliki jarak lensa 80 cm dan fokus okuler 16 cm. Fokus objektifnya adalah 64 cm dan besaran pembesaran adalah 4. Mengalirkan vakum dari sel gas 5 cm menyebabkan 80 garis pada panjang gelombang 500 nm: n−1=80·500×10⁻⁹/(2·0.05)=0.0004. Indeks gas awal adalah 1.0004, bukan 1.0008.

Ralat biasa

Gunakan lintasan optik, bukan hanya jarak geometris. Sudut pembiasan diukur dari normal permukaan aktual, dan penambahan focal length teleskop mengasumsikan citra akhir di tak terhingga.

WO.3 · Simetri Fourier dan superposisi gelombang

• Untuk fungsi real 2π-periodik yang cukup reguler, tuliskan f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. Koefisiennya adalah a_n=(1/π)∫dari−πkeπ f(x)cos(nx)dx dan b_n=(1/π)∫dari−πkeπ f(x)sin(nx)dx, dengan a0 menggunakan n=0. Kosinus dan sinus ortogonal pada satu periode penuh. Rata-ratanya adalah a0/2, bukan a0; pertahankan suku konstan bahkan ketika semua koefisien frekuensi tak nol dari satu keluarga hilang.
• Jika f genap terhadap titik asal yang dipilih, f(x)sin(nx) ganjil dan integral simetrisnya nol, sehingga semua b_n menghilang. Jika f ganjil, rata-ratanya dan semua a_n menghilang. Simetri bergantung pada titik asal: menggeser sinyal fisik yang sama dapat mencampur koefisien sinus dan kosinus sementara frekuensi harmoniknya tetap sama. Gelombang segitiga nonnegatif yang simetris terhadap x=0 oleh karena itu dapat memiliki harmonik kosinus dan rata-rata tak nol tanpa harmonik sinus.
• Untuk perluasan 2π-periodik dari f(x)=|x| pada [−π,π], rata-ratanya adalah π/2. Mengintegralkan x cos(nx) dengan bagian pada [0,π] menghasilkan a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), sehingga koefisien kosinus untuk n-genap adalah nol dan koefisien untuk n-ganjil adalah −4/(πn²). Semua koefisien sinus adalah nol. Peluruhan 1/n² mencerminkan fungsi yang kontinu dengan ketidakkontinuan kemiringan. Ketidakkontinuan lompatan sering memberikan peluruhan koefisien yang lebih lambat dan overshoot jumlah parsial; jangan menyimpulkan perilaku konvergensi yang sama untuk setiap bentuk gelombang.
• Jumlah Fourier menjumlahkan amplitudo beserta fasenya. Untuk amplitudo monokromatik koheren yang sama A yang bertemu dengan beda fase φ, kuadrat amplitudo resultan adalah 2A²(1+cosφ), sehingga intensitasnya adalah 2I0(1+cosφ). Nilainya 4I0 jika sefasa dan nol pada φ=π. Rata-rata inkoheren menghilangkan suku silang, menghasilkan 2I0. Harmonik dengan frekuensi berbeda dapat membentuk suatu bentuk seiring waktu; jumlah sesaatnya bukan merupakan jumlah dari intensitas masing-masing. Identifikasi apakah pertanyaan berkaitan dengan bentuk gelombang, daya rata-rata waktu, atau interferensi koheren.

Contoh terverifikasi

For f(x)=|x| periodically extended, the first cosine approximation is π/2−(4/π)cos x. It is even and has zero sine coefficients. At x=0 it gives π/2−4/π≈0.298, which approaches the exact 0 as more odd cosine terms are added. Two equal coherent waves at phase difference π/2 have intensity 2I0; their fields do not cancel completely.

Ralat biasa

Simetri genap menghilangkan koefisien sinus, bukan suku konstan atau setiap harmonik kosinus. Periksa asal simetri dan apakah medan tersebut koheren sebelum menjumlahkan intensitas.

TS.1 · Proses gas, entropi, dan siklus reversibel

• Gunakan ΔU=Q−W, di mana Q adalah panas yang masuk ke sistem dan W adalah kerja yang dilakukan oleh sistem. Kerja batas quasistatis adalah ∫P dV, positif selama ekspansi. Untuk jumlah gas ideal tetap, energi dalam hanya bergantung pada suhu. Pada volume konstan W=0, sehingga ΔU=Q; untuk proses gas ideal isothermal ΔU=0, sehingga Q=W. Adiabatik berarti Q=0, bukan suhu konstan. Sepanjang siklus, keadaan kembali dan ΔU=0, sehingga total Q sama dengan total W meskipun perpindahan panas individu pada tiap langkah berbeda.
• Untuk ekspansi isothermal reversibel gas ideal, PV bernilai konstan. Dengan kapasitas kalor konstan, jalur adiabatik reversibel mematuhi PV^γ=konstanta, dengan γ=Cp/Cv>1; melewati keadaan awal yang sama, tekanannya turun lebih cepat saat volume bertambah. Jalur isobarik digambarkan horizontal pada grafik P–V. Siklus tertutup berarah searah jarum jam memiliki ∮P dV positif; membalikkan arah mengubah tandanya. Untuk loop persegi panjang, besarannya adalah ΔPΔV, dan loop segitiga memiliki setengah dari area persegi pembatas yang sesuai. Gunakan Pa dan m³ untuk joule, bukan nilai liter yang belum dikonversi.
• Untuk perpindahan panas reversibel, dS=δQ_rev/T; entropi adalah fungsi keadaan sementara panas bergantung pada lintasan. Proses sistem-plus-lingkungan reversibel memiliki perubahan entropi total nol, tetapi entropi sistem saja bisa meningkat atau menurun. Proses spontan ireversibel menghasilkan entropi total nonnegatif. Ekspansi isothermal reversibel meningkatkan entropi gas sebesar nR ln(V2/V1); reservoir kehilangan jumlah yang sama. Reversibilitas tidak memerlukan suhu sistem konstan, kerja nol, atau perubahan energi dalam nol.
• Mesin reversibel antara TH dan TC memiliki efisiensi W/QH=1−TC/TH. Refrigerator reversibel memiliki COP=QC/W=TC/(TH−TC), dan pompa kalor memiliki QH/W=TH/(TH−TC). Gunakan suhu absolut dalam Kelvin. Pada diagram T–S reversibel, besaran panas sepanjang isoterma adalah T kali perubahan entropi; luas persegi panjang Carnot adalah besaran usaha. Pendinginan memindahkan panas dari dingin ke panas dengan mengonsumsi usaha, membalikkan siklus mesin. COP dapat melebihi satu tanpa melanggar hukum kekekalan karena panas yang dipindahkan tidak hanya berasal dari usaha.

Contoh terverifikasi

Persegi panjang P–V berputar searah jarum jam membentang dari 1×10⁵ hingga 3×10⁵ Pa dan 0.001 hingga 0.004 m³. Usaha dan panas bersih masuk adalah 600 J. Membalikkan siklus ini menghasilkan −600 J. Refrigerator Carnot beroperasi pada TC=280 K dan TH=300 K dengan perpindahan entropi 2 J/K: QC=560 J, QH=600 J, usaha input=40 J dan COP=14.

Ralat biasa

Produksi entropi total nol tidak berarti perubahan entropi sistem nol. Kulkas menggunakan TC/(TH−TC), bukan rumus efisiensi mesin.

TS.2 · Distribusi kecepatan dan ensemble statistik

• Untuk densitas probabilitas kecepatan kontinu f(v), f(v)dv mengaproksimasi probabilitas dalam interval sempit dan ∫dari0hingga∞ f(v)dv=1. Densitas memiliki satuan invers-kecepatan dan bukan probabilitas itu sendiri. Jika P(v)dv menghitung partikel dalam interval tersebut, luasnya adalah jumlah partikel N dan f=P/N. Trapesium yang naik selama lebar v0, tetap datar selama lebar 2v0, lalu turun selama lebar v0 memiliki area 3av0 untuk tinggi a. Normalisasi dengan area sebelum menghitung rata-rata atau menginterpretasikan tinggi yang digambarkan.
• Dalam gas isotropik setimbang tanpa aliran massal, setiap distribusi komponen kecepatan bersifat simetris, sehingga ⟨v_vector⟩=0. Kecepatan v=|v_vector| bernilai nonnegatif dan memiliki rata-rata positif. Untuk gas ideal klasik, densitas kecepatan Maxwell sebanding dengan v²exp[−mv²/(2kBT)]. Modusnya adalah sqrt(2kBT/m), rata-ratanya adalah sqrt(8kBT/(πm)) dan kecepatannya rms adalah sqrt(3kBT/m). Ketiganya adalah besaran yang berbeda. Faktor v² membuat densitas kecepatan nol pada v=0, meskipun densitas vektor kecepatan terbesar pada vektor nol.
• Untuk distribusi kontinu, probabilitas tepat satu kecepatan tertentu adalah nol; probabilitas nonzero merujuk pada interval. Pernyataan ini tidak menyiratkan bahwa tidak ada partikel dengan kecepatan yang sangat kecil, atau bahwa detektor resolusi terbatas tidak dapat merekam bin nol. Suhu mengubah skala distribusi Maxwell: kecepatan karakteristik sebanding dengan sqrt(T/m). Menggandakan suhu tidak menggandakan kecepatan, dan partikel yang lebih berat bergerak lebih lambat secara rata-rata pada suhu yang sama.
• Dalam ensemble kanonik pada suhu T, keadaan dengan energi E_i memiliki bobot exp(−E_i/(kBT)). Bagi dengan fungsi partisi Z=Σexp(−E_i/(kBT)) untuk mendapatkan probabilitas. Jika tingkat energi memiliki degenerasi g_i, probabilitas tingkatnya adalah g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Energi yang sama per keadaan tidak menyiratkan probabilitas yang sama per tingkat ketika degenerasinya berbeda. Untuk tingkat dasar dengan degenerasi 1 dan tingkat tereksitasi dengan degenerasi 2 pada Δ=kBT ln2, bobot total tereksitasi adalah 2e^(−ln2)=1: kedua tingkat masing-masing memiliki probabilitas 1/2. Asumsi Maxwell–Boltzmann klasik berbeda dari okupansi kuantum Bose–Einstein dan Fermi–Dirac.

Contoh terverifikasi

Trapesium densitas hitung memiliki N=90 partikel, v0=2 m/s dan lebar dataran 2v0. Luasnya adalah 3av0, sehingga a=15 partikel per satuan kecepatan. Untuk ensemble dua tingkat dengan degenerasi 1 dan 2 serta celah kBT ln2, Z=2 dan probabilitas tingkat tereksitasi adalah 1/2. Setiap keadaan tereksitasi individu memiliki probabilitas 1/4.

Ralat biasa

Tinggi densitas bukan probabilitas. Kecepatan rata-rata, rata-rata kecepatan, dan modus berbeda; sertakan degenerasi sebelum menormalisasi probabilitas tingkat.

LM.1 · Statistik penghitungan, ketidakpastian dan model dimensi

• Untuk N partikel insiden independen yang dideteksi dengan probabilitas p, hitungan X adalah binomial: rata-rata Np dan varians Np(1−p). Simpangan baku adalah sqrt[Np(1−p)], bukan variansnya sendiri. Dengan N besar dan p kecil, aproksimasi Poisson memiliki rata-rata λ=Np dan varians λ, sehingga deviasi sqrt(λ). Untuk N=200 dan p=0.05, rata-rata eksak adalah 10 dan deviasi sqrt(9.5)≈3.08, sementara Poisson memberikan sqrt(10)≈3.16. Neither model menjanjikan hitungan tetap. Deteksi berkorelasi atau waktu mati dapat membatalkan independensi.
• Untuk fungsi terukur yang halus y(x1,…), linearisasikan perubahan menggunakan turunan parsialnya. Ketidakpastian standar independen kecil digabungkan secara kuadratur: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Masukan berkorelasi memerlukan suku silang kovarians. Untuk y=x^a, ketidakpastian standar fraksional adalah sekitar |a|σ_x/|x|. Dengan demikian energi kinetik K=½mv² dengan ketidakpastian massa yang dapat diabaikan memiliki ketidakpastian fraksional dua kali dari kecepatan. Dengan ketidakpastian massa yang independen, gabungkan (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². Perkiraan ini memerlukan kesalahan kecil dan model linear lokal yang sesuai.
• Penyebaran acak mengukur presisi; bias kalibrasi umum memengaruhi akurasi dan tidak hilang dengan rata-rata pengulangan. Untuk pembacaan berulang yang independen, ketidakpastian standar rata-rata turun sebagai 1/sqrt(n), tetapi kesalahan sistematis bersama tidak. Ketidakpastian penyebaran fisik dan ketidakpastian estimasi rata-ratanya adalah besaran yang berbeda. Nyatakan apakah persentase yang dikutip merupakan ketidakpastian standar, interval kepercayaan, atau batas kasus terburuk. Menjumlahkan kontribusi absolut adalah batas konservatif, bukan aturan kuadratur kesalahan standar independen.
• Analisis dimensi menyamakan pangkat massa, panjang, dan waktu, bukan ukuran numerik. Untuk bentuk panjang Planck G^a ℏ^b c^d, dimensinya adalah [G]=L³/(MT²), [ℏ]=ML²/T dan [c]=L/T. Memerlukan panjang menghasilkan −a+b=0, 3a+2b+d=1 dan −2a−b−d=0. Oleh karena itu a=b=1/2 dan d=−3/2, sehingga panjang adalah sqrt(Gℏ/c³). Analisis dimensi tidak dapat menentukan koefisien tak berdimensi sembarang atau membuktikan bahwa konstanta yang dipilih cukup secara fisika. Tolak rumus dengan satuan yang salah sebelum memasukkan angka.

Contoh terverifikasi

Untuk N=200 dan p=0.05, jumlah detektor yang diharapkan adalah 10 dengan simpangan baku sqrt(9.5). Jika kecepatan memiliki 4% ketidakpastian standar kecil dan ketidakpastian massa dapat diabaikan, ketidakpastian energi kinetik kira-kira 8%. Eksponen dimensi (1/2,1/2,−3/2) memberikan pangkat massa nol, satu pangkat panjang dan nol pangkat waktu untuk sqrt(Gℏ/c³).

Ralat biasa

Jangan bingung antara jumlah rata-rata dengan jumlah terjamin, varians dengan simpangan baku, atau kesalahan standar acak dengan bias kalibrasi. Konsistensi dimensi diperlukan tetapi tidak cukup.

RA.1 · Umur relativistik, energi dan pergeseran Doppler

• Untuk kecepatan relatif v, definisikan β=v/c dan γ=1/sqrt(1−β²). Waktu wajar diukur sepanjang garis dunia partikel oleh jam yang diam dengannya. Jika umur rata-rata wajarnya τ0, umur rata-rata laboratoriumnya adalah γτ0 dan jarak tempuh rata-rata adalah vγτ0 pada kecepatan konstan. Peluruhan bersifat statistik: umur rata-rata bukan waktu peluruhan terjamin untuk setiap partikel. Pada β=0.8, γ=5/3. Hitung peristiwa ruang-waktu secara konsisten dalam satu kerangka; waktu wajar dan waktu koordinat adalah besaran yang berbeda.
• Energi total adalah E=γmc², momentum p=γmv dan invarian E²−p²c²=m²c⁴. Ketika E dan pc dinyatakan dalam satuan energi yang sama, temukan mc²=sqrt(E²−(pc)²), bukan E−pc. Akar positif diperlukan untuk massa diam positif. Untuk E=13 GeV dan pc=12 GeV, energi diam adalah 5 GeV dan massa adalah 5 GeV/c². Partikel tanpa massa memiliki E=pc tetapi tidak harus memiliki energi atau momentum nol. Hubungan ini berkaitan dengan empat-momentum partikel terisolasi, bukan mv klasik pada kecepatan relativistik.
• Kerja mengakselerasi partikel dari keadaan diam sama dengan energi kinetik K=E−mc²=(γ−1)mc². Pada β=0.6, γ=1.25 dan K=0.25mc², sementara ½mv² klasik memberikan 0.18mc². Energi kinetik klasik adalah ekspansi kecepatan rendah dan menjadi tidak akurat dekat c. Kerja akselerasi terbatas meningkatkan γ alih-alih memungkinkan partikel bermassa mencapai atau melebihi c. Jaga agar energi total, energi diam, dan energi kinetik tetap terpisah saat menafsirkan satuan jawaban.
• Untuk resesi relatif murni longitudinal dalam relativitas khusus, rasio panjang gelombang r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). Pengaturan ulang menghasilkan β=(r²−1)/(r²+1). Rasio r=2 menghasilkan β=3/5, bukan c kali r−1 dari pendekatan kecepatan rendah. Pergeseran biru menggunakan r<1 dan parameter resesi negatif di bawah konvensi ini. Rumus mengasumsikan pergeseran sepenuhnya kinematik; ekspansi kosmologis atau pergeseran merah gravitasi memerlukan model berbeda. Nyatakan model yang ditetapkan soal sebelum menafsirkan rasio spektral.

Contoh terverifikasi

Sebuah partikel memiliki umur rata-rata wajar 3 μs dan bergerak pada 0.8c. Umur lab-nya adalah 5 μs dan jarak tempuh rata-rata adalah 0.8·3×10⁸·5×10⁻⁶=1200 m. Rasio panjang gelombang longitudinal 2 mengimplikasikan kecepatan recesi 0.6c. Sebuah partikel dengan energi total 13 GeV dan pc=12 GeV memiliki energi diam 5 GeV.

Ralat biasa

Jangan gunakan waktu hidupproper sebagai waktu laboratorium, kurangi pc dari E untuk mencari massa diam, atau terapkan pendekatan Doppler klasik pada rasio panjang gelombang besar.

AT.1 · Fotoelektron, massa tereduksi dan eksitasi atomik

• Energi kinetik maksimum fotoelektrik adalah Kmax=hν−ϕ untuk frekuensi foton di atas ambang ν0=ϕ/h. Besaran tegangan penghenti memenuhi eVs=Kmax, sehingga Vs linear terhadap ν di atas ambang. Meningkatkan intensitas pada frekuensi tetap meningkatkan jumlah foton yang tersedia dan biasanya arus fotoelektron, bukan energi maksimum elektron foto. Di bawah ambang, model satu-foton sederhana tidak memancarkan elektron foto terlepas dari intensitasnya. Fungsi kerja adalah sifat permukaan, tidak sebanding dengan frekuensi pencahayaan.
• Sinar-X karakteristik dihasilkan ketika elektron mengisi kekosongan kulit dalam, memancarkan foton yang sama dengan selisih energi kulit. Garis tajamnya bergantung pada atom target. Bremsstrahlung timbul dari perlambatan elektron berenergi tinggi dalam medan listrik inti dan menghasilkan latar belakang kontinu, dengan ujung energi yang ditentukan oleh energi elektron insiden. Latar belakang kontinu dan garis diskrit dapat muncul bersamaan; keberadaan salah satu tidak menyingkirkan yang lain. Mekanisme ini berbeda dari fluoresensi terlihat, hamburan fonon, dan penangkapan partikel.
• Untuk atom dua-bodi mirip hidrogen, ganti massa elektron dengan massa tereduksi μ=m_eM/(m_e+M). Dalam model Coulomb sederhana, energi tingkat berskala sebagai −μZ²/n², sehingga frekuensi spektral berskala sebagai μZ² dan panjang gelombang inversnya. Untuk positronium M=m_e, μ=m_e/2 dan konstanta Rydberg-nya setengah dari nilai massa inti tak hingga. Untuk inti berat μ mendekati m_e. Pada atom banyak-elektron, gunakan pengisian orbital dan aturan Hund alih-alih model hidrogen: orbital degenerat ditempati tunggal dengan spin sejajar sebelum berpasangan. Konfigurasi 2p² karbon memiliki dua elektron tak berpasangan dan total spin S=1; konfigurasi 2p⁴ oksigen memiliki dua elektron tak berpasangan dan juga S=1. Pasangan terisi berkontribusi nol spin bersih.
• Dalam eksperimen Franck–Hertz, elektron yang dipercepat kehilangan energi melalui eksitasi inelastis sekali mencapai ambang atom. Jarak berulang antara lembah arus atau puncak dalam tegangan akselerasi dapat mengidentifikasi energi eksitasi yang sama yang hilang satu, dua, atau lebih kali. Jarak ΔV sesuai dengan energi eΔV; puncak pada 4,8,12 V tidak perlu mewakili tiga energi tingkat tereksitasi yang terpisah. Potensial kontak dan medan penahan dapat menggeser posisi puncak absolut, jadi gunakan jarak dan kondisi peralatan yang disebutkan. Jika atom tereksitasi kembali dengan satu foton energi tersebut, panjang gelangnya adalah hc/(eΔV).

Contoh terverifikasi

Menggunakan h=4.136×10⁻¹⁵ eV·s, cahaya pada 8×10¹⁴ Hz memiliki energi foton 3.3088 eV. Dengan fungsi kerja 2.0 eV, Kmax=1.3088 eV dan besaran penghenti 1.3088 V. Celah eksitasi 4 V menghasilkan 4 eV dan, menggunakan hc≈1240 eV·nm, foton pemulangan sepanjang 310 nm. Panjang gelombang spektral positronium adalah dua kali nilai hidrogen massa tak hingga pada transisi yang sesuai.

Ralat biasa

Intensitas arus dan tegangan penghenti menjawab pertanyaan yang berbeda. Sertakan massa tereduksi dan degenerasi orbital, dan gunakan jarak Franck–Hertz alih-alih menganggap setiap puncak sebagai tingkat energi baru.

QM.1 · Hamburan, degenerasi dan operator Pauli

• Untuk potensial konstan V dan energi E>V, solusi spasialnya adalah faktor traveling exp(±ikx), dengan k=sqrt[2m(E−V)]/ℏ. Pada langkahfinite dengan massa partikel yang sama, fungsi gelombang dan turunan pertamanya kontinu. Dalam masalah hamburan insiden dari kiri tanpa berkas datang dari kanan, solusi jauh-kanan hanya mengandung faktor traveling-kanan Ae^(ikx). Jika sumurfinite kembali ke potensial eksternal asli, bilangan gelombang eksternal transmisi sama dengan insiden, meskipun bilangan gelombang di dalamnya berbeda. Solusi yang meluruh secara eksponensial menggambarkan daerah E<V, bukan setiap sumurpotensial.
• Untuk langkah dari V1 ke V2 dengan kedua daerah secara klasik diperbolehkan, tulis amplitudo insiden-ditambah-refleksi di daerah 1 dan amplitudo transmisi di daerah 2. Kelanjutan memberikan r=(k1−k2)/(k1+k2) dan t=2k1/(k1+k2). Probabilitas refleksi adalah R=|r|²; transmisi adalah T=(k2/k1)|t|² karena arus probabilitas bergantung pada bilangan gelombang. Jadi R+T=1 untuk langkahtanpa kehilangan. Jangan tambahkan amplitudo transmisi mentah kuadrat ke R tanpa faktor arusnya. Dengan k2=3k1, R=1/4 dan T=3/4 meskipun berupa langkahturun.
• Osilator isotropik tiga dimensi terpisah menjadi mode x,y,z dengan bilangan bulat nonnegatif n_x,n_y,n_z. Energinya adalah (N+3/2)ℏω, di mana N=n_x+n_y+n_z. Untuk satu partikel dapat dibedakan spin-nol, degenerasi spasial adalah jumlah triplet semacam itu: (N+1)(N+2)/2. Ini menghitung penugasan berbeda, bukan sekadar partisi tak terurut berbeda. Untuk N=2, keenam keadaan adalah permutasi dari (2,0,0) dan (1,1,0). Untuk N=3, degenerasinya adalah 10. Pembatasan spin tambahan atau partikel identik akan mengubah masalah penghitungan.
• Matriks Pauli adalah σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Setiapnya dikuadratkan menjadi identitas. Perkalian langsung menghasilkan σ_xσ_y=iσ_z dan σ_yσ_x=−iσ_z, sehingga matriks Pauli yang berbeda berantikomutasi. Produk siklis x→y→z memiliki i positif; membalikkan urutan mengubah tanda. Identitas umum adalah σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Urutan matriks penting: σ_xσ_z=−iσ_y, bukan iσ_y atau sekadar σ_y. Matriks tak berdimensi ini menjadi operator spin S_i=ℏσ_i/2, menambahkan satuan fisik dan faktor.

Contoh terverifikasi

Pada langkahtanpa kehilangan dengan k2=3k1, r=−1/2 dan t=1/2. R=1/4, T=3·1/4=3/4 dan jumlah keduanya adalah satu. Osilator isotropik spin-nol pada E=(9/2)ℏω memiliki N=3 dan degenerasi 10. Mengalikan σ_x dengan σ_y menghasilkan diag(i,−i)=iσ_z.

Ralat biasa

Probabilitas transmisi memerlukan rasio arus bilangan gelombang. Degenerasi osilator menghitung triplet mode terurut. Jangan membalikkan urutan matriks Pauli tanpa mengubah tandanya.

SN.1 · Pengikat inti, keluarga partikel dan pembawa Hall

• Energi ikat B adalah energi yang diperlukan untuk memisahkan inti menjadi nukleon bebas penyusunnya, sama dengan defisit massa yang sesuai kali c². Energi ikat per nukleon B/A adalah perbandingan yang relevan di berbagai nomor massa; inti yang lebih berat dapat memiliki total B lebih besar tetapi B/A lebih rendah. Maksimum luas B/A berada di dekat wilayah besi/nikel. Fusi inti ringan dan fisisi inti sangat berat dapat melepaskan energi ketika produk memiliki total ikatan lebih besar. Untuk suatu reaksi, Q=(massa diam awal−massa diam akhir)c²; Q positif berarti energi dilepaskan. Selalu bandingkan isotop spesifik aktual dan produk akhir, bukan sekadar nama elemennya.
• Lepton seperti elektron, muon, dan neutrino tidak tersusun dari kuark penyusun dalam Model Standar. Muon negatif memiliki muatan −e dan spin 1/2, seperti elektron, tetapi memiliki massa berbeda dan termasuk keluarga rasa berbeda; ia bukan meson meski namanya historis. Hadron mengandung kuark: meson biasa memiliki satu kuark dan satu antikvark, dan baryon biasa memiliki tiga kuark. Antibaryon yang bersesuaian memiliki tiga antikvark. Model klasifikasi elementer ini tidak menyiratkan setiap partikel komposit adalah baryon atau meson sederhana.
• Periksa muatan, energi, momentum, nomor baryon, dan nomor lepton relevan dalam proses yang diusulkan. Kuark uud proton berjumlah muatan +e; neutron udd berjumlah nol. Peluruhan beta-minus n→p+e−+antineutrino mengawetkan muatan listrik dan mencakup antineutrino untuk menyeimbangkan nomor lepton dan kinematika. Massa partikel semata-mata tidak mengklasifikasikannya sebagai kuark, lepton, atau hadron. Ambang reaksi mungkin memerlukan energi kinetik melebihi selisih massa diam endotermik ketika kendala lain berlaku.
• Pada konduktor satu pembawa sederhana, gaya Lorentz magnet transversal membentuk medan listrik Hall hingga gaya pembawa transversal seimbang. Dengan tensor/konvensi tanda yang ditetapkan, koefisien Hall adalah R_H=1/(nq); q negatif menghasilkan koefisien negatif seperti elektron, q positif menghasilkan koefisien positif seperti hole. Besaran resistivitas saja tidak mengungkap tanda ini. Tetapkan arah arus, medan magnet, dan tegangan secara konsisten sebelum membaca polaritas mentah. Semikonduktor dengan kontribusi elektron dan hole memerlukan model dua pembawa berbobot mobilitas; koefisien sederhana tidak harus sama dengan kebalikan densitas total pembawa.

Contoh terverifikasi

Jika inti A memiliki B=24 MeV dan A=4, maka B/A-nya adalah 6 MeV; jika inti B memiliki B=80 MeV dan A=10, maka B/A-nya adalah 8 MeV meskipun keduanya memiliki pengikatan positif. Muatan kuark uud berjumlah +e, udd menjadi 0. Pada sampel satu pembawa muatan dengan densitas n dan muatan −e, R_H=−1/(ne); tanda tegangan Hall mentah hanya bermakna jika arah kawat/medan tetap.

Ralat biasa

Bandingkan pengikatan per nukleon, bukan hanya pengikatan total. Muon adalah lepton, dan tanda Hall memerlukan konvensi pengukuran dan model pembawa yang dideklarasikan.

CM.4 · Kendala, persamaan variasional dan koordinat siklik

• Kendala menghilangkan koordinat bebas sebelum Anda membentuk energi kinetik. Untuk pendulum dengan panjang tetap, pilih θ dari vertikal ke bawah: x=l sinθ dan y=−l cosθ. Mendiferensiasi kedua koordinat menghasilkan v²=l²θdot², bukan l² sin²θ θdot². Jadi T=ml²θdot²/2 dan V=mgl(1−cosθ), dengan potensial nol di bagian bawah. Panjang tetap adalah kendala holonomik: ini adalah hubungan antar koordinat dan mungkin waktu. Kendala kecepatan gulir memerlukan analisis tersendiri; jangan otomatis memperlakukan setiap kendala sebagai substitusi koordinat.
• Untuk kendala ideal dan sistem konservatif biasa, persamaan aksi stasioner adalah d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 dengan L=T−V. Variasi hilang pada dua ujung waktu. Bandul memberikan ∂L/∂θdot=ml²θdot dan ∂L/∂θ=−mgl sinθ, sehingga ml²θddot+mgl sinθ=0. Turunan momentum bekerja pada setiap faktor yang bergantung waktu: untuk jari-jari yang berubah, d(mr²θdot)/dt mengandung 2mr rdot θdot. Metode variasional tidak berarti energi mekanik kekal dalam sistem yang bergantung waktu.
• Untuk gerak pusat planar, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). Sudut θ bersifat siklik karena L tidak memiliki ketergantungan θ eksplisit, meskipun L bergantung pada θdot. Momentum kanannya pθ=mr²θdot adalah konstan. Persamaan radial adalah m rddot=mrθdot²−dV/dr. Suku pertama adalah bagian dari percepatan koordinat, bukan gaya nyata tambahan yang mengarah keluar dalam kerangka inersia. Kekekalan pθ menyebabkan kecepatan sudut meningkat saat r menurun; kecepatan sudut konstan adalah situasi eksternal yang berbeda.
• Di dekat kesetimbangan stabil q0, jabarkan V hingga orde kedua dan gunakan inersia lokal konstan M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Kemudian frekuensi perpindahan kecil adalah sqrt(V″/M). Untuk bandul sinθ≈θ dalam radian, sehingga ω=sqrt(g/l); pendekatan ini memerlukan amplitudo kecil. V″ negatif memberikan ketidakstabilan, bukan osilasi dengan frekuensi terukur imajiner. Periksa persamaan nonlinear penuh terlebih dahulu, lalu nyatakan pendekatan dan bandingkan satuan: V″/M harus memiliki satuan kebalikan kuadrat waktu.

Contoh terverifikasi

Dengan l=2 m dan g=10 m/s², θddot=−5 sinθ. Pada θ=0.10 rad percepatan eksak adalah −0.4992 rad/s², mendekati −0.500 dari linearisasi. Periode sudut kecil adalah 2π/sqrt(5)=2.810 s. Untuk orbit gaya pusat, mengecilkan r dari 3 m ke 1.5 m saat pθ kekal mengalikan θdot dengan 4, bukan 2.

Ralat biasa

Koordinat siklis tidak ada dalam L itu sendiri; kecepatannya tidak perlu hilang. Jangan buang turunan waktu dari faktor r² yang berubah.

CM.5 · Kerangka acuan yang dipercepat dan berputar

• Dalam kerangka translasi dengan percepatan titik asal A, persamaan Newton menjadi m a′=F_real−mA. Lift yang bergerak ke atas memiliki N−mg=ma dalam kerangka tanah, atau N−mg−ma=0 untuk penumpang diamnya dalam kerangka lift. Ini adalah prediksi yang sama. Suku tambahan adalah gaya semu yang disebabkan oleh koordinat yang dipercepat; ini bukan kontak baru dengan benda lain. Translasi seragam dengan A=0 mengubah kecepatan tetapi tidak memerlukan gaya semu.
• Untuk basis berputar, diferensiasi vektor menambahkan Ω×vektor tersebut. Menerapkannya dua kali menghasilkan a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Di sini r dan v′ diukur relatif terhadap titik asal yang bergerak dalam sumbu berputarnya; semua vektor dalam perhitungan harus dinyatakan dalam basis yang sama pada saat yang sama. Pindahkan tiga suku rotasi terakhir ke sisi gaya untuk mendapatkan Coriolis −2mΩ×v′, sentrifugal −mΩ×(Ω×r), dan Euler −mΩdot×r. Rotasi konstan menghilangkan suku Euler, bukan suku Coriolis.
• Ambil Ω sepanjang +z, platform berlawanan arah jarum jam jika dilihat dari atas, dan partikel di r sepanjang +x. Gaya sentrifugal sepanjang +x dengan besaran mΩ²r. Jika partikel bergerak keluar dengan v′ sepanjang +x, maka Ω×v′ adalah +y, sehingga gaya Coriolis menunjuk ke −y. Membalik kecepatan relatif membalikkan Coriolis; mempertahankan v′=0 membuatnya hilang. Coriolis tegak lurus terhadap v′ dan tidak melakukan kerja instan pada gerakan relatif tersebut. Gaya sentrifugal mengarah keluar dari sumbu rotasi, tidak selalu mengarah keluar dari titik asal yang dipilih dalam posisi tiga dimensi sembarang.
• Benda yang diam di atas platform memiliki a′=v′=0. Dengan rotasi konstan dan titik asal tetap, gaya aslinya haruslah mΩ×(Ω×r), mengarah ke dalam, meniadakan suku semu yang mengarah keluar dalam persamaan berputar. Jika rotasi berubah, gaya asli tangensial juga harus menyeimbangkan suku Euler. Selalu periksa Ω→0 dan A→0: gerakan Newtonian inersia biasa harus kembali. Jangan mencampur persyaratan sentripetal inward yang asli dengan reaksi outward asli tambahan pada benda yang sama; pasangan interaksi berada dalam diagram benda bebas terpisah.

Contoh terverifikasi

Untuk m=2 kg, Ω=2 rad/s sepanjang +z, r=1 m sepanjang +x dan v′=3 m/s keluar, gaya sentrifugal adalah +8 N dalam arah x dan gaya Coriolis adalah −24 N dalam arah y. Gaya Euler nol pada Ω konstan. Jika gaya riil nol, a′=(4,−12) m/s² pada saat itu. Penumpang terpisah 10 kg dalam lift yang dipercepat ke atas pada 2 m/s² mengalami N=120 N dengan g=10.

Ralat biasa

Kecepatan relatif v′ masuk dalam suku Coriolis. Menggunakan kecepatan inersia penuh menghitung rotasi dua kali.

CM.6 · Kelangsungan fluida, energi tekanan dan aliran viskos

• Untuk aliran tunak, massa yang melewati penampang berturut-turut per satuan waktu adalah sama: ρAv adalah konstan. Cairan tak termampatkan memiliki ρ hampir konstan, sehingga Q=Av adalah laju aliran volume. Mengurangi setengah radius pipa mengurangi luas menjadi seperempat dan mengalikan kecepatan rata-rata empat kali lipat untuk Q yang sama. Tekanan tidak menentukan Q tanpa model sistem lainnya. Dalam cairan diam, dp/dz=−ρg dengan z ke atas; oleh karena itu tekanan meningkat sebesar ρgh pada jarak h di bawah permukaan. Gunakan tekanan absolut atau gauge secara konsisten di kedua sisi.
• Untuk gerakan tunak, tak termampatkan, inviscid sepanjang garis aliran tanpa pompa atau kehilangan disipatif, Bernoulli memberikan p+ρv²/2+ρgz=konstan. Ketiga suku ini adalah energi per volume dan memiliki satuan tekanan. Pada ketinggian yang sama, kecepatan lebih besar membutuhkan tekanan statis yang lebih kecil di bawah asumsi ini. Outlet yang lebih tinggi juga menggunakan energi tekanan/kinetik untuk memperoleh energi gravitasi. Bernoulli sepanjang satu garis aliran belum tentu menyiratkan konstan yang sama pada garis aliran berbeda dalam aliran berotasi. Titik stagnasi memiliki v=0 dan mengubah energi kecepatan lokal menjadi kenaikan tekanan dalam model ideal.
• Viskositas mentransfer momentum antar lapisan fluida yang bersebelahan. Untuk aliran laminar penuh yang stabil dan terembang (fully developed) dari cairan Newtonian tak kompresibel dalam tabung silinder, Q=πR⁴Δp/(8ηL). Di sini Δp adalah penurunan tekanan sepanjang tabung, η viskositas dinamis, dan L panjang tabung. Menggandakan jari-jari pada Δp, η, dan L yang tetap mengalikan Q dengan enam belas. Menggandakan Q pada geometri yang tetap memerlukan dua kali lipat penurunan tekanan. Kehilangan tekanan viskosa ini tidak dapat ditambahkan ke persamaan Bernoulli tanpa kehilangan seolah-olah tidak ada perubahan; sertakan kehilangan tekanan/kepala yang disipatif atau gunakan model viskosa.
• Bilangan Reynolds Re=ρvD/η membandingkan efek inersia dan viskosa menggunakan kecepatan karakteristik v dan panjang D. Untuk pipa gunakan kecepatan rata-rata dan diameter dalam, bukan jari-jari. Re tak berdimensi: densitas dikali kecepatan dikali panjang memiliki satuan yang sama dengan viskositas dinamis. Re kecil mendukung dominasi viskosa; transisi ke turbulensi bergantung pada geometri dan gangguan, sehingga ambang batas tunggal bukanlah hukum universal. Skala Poiseuille tidak aman setelah mengasumsikan aliran turbulen. Periksa kontinuitas volume, tanda perubahan tekanan, dan rezim sebelum memilih rumus.

Contoh terverifikasi

Air dengan ρ=1000 kg/m³ mengalir secara horizontal dari area 4 cm² pada kecepatan 1 m/s menuju area 1 cm². Kekekalan kontinuitas memberikan v₂=4 m/s dan Q=0.0004 m³/s. Bernoulli ideal memprediksi p₁−p₂=1000(16−1)/2=7500 Pa. Pada tabung laminar terpisah dengan penurunan tekanan tetap, peningkatan jari-jari dari 1 mm ke 2 mm mengalikan Q menjadi 16 kali; ini bukan eksperimen Q tetap yang sama.

Ralat biasa

Kontinuitas menjaga Q tetap konstan di sepanjang satu pipa stasioner; Poiseuille membandingkan Q antara sistem berbeda pada penurunan tekanan tertentu. Nyatakan apa yang dijaga tetap sebelum membandingkan pangkat jari-jari.

EM.4 · Polarisasi, magnetisasi, dan medan material

• Polarisasi listrik P adalah momen dipol listrik per satuan volume, diukur dalam C/m². Tentukan D=ε₀E+P agar ∇·D=ρ_free; total muatan, termasuk muatan terikat, masih muncul dalam ∇·E=ρ_total/ε₀. Muatan volume terikat adalah ρ_b=−∇·P dan muatan permukaan terikat adalah σ_b=P·n, di mana n mengarah keluar dari material. P yang seragam oleh karena itu tidak menghasilkan muatan terikat di dalam bulk tetapi dapat menghasilkan muatan permukaan dengan tanda berlawanan. Dielektrik bukan logam ideal: polarisasi tidak harus membuat medan listrik internalnya nol.
• Untuk dielektrik isotropik linear, P=ε₀χ_e E dan D=εE dengan ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. Hubungan skalar sederhana ini mengasumsikan respons linear dan mengabaikan anisotropi, dispersi kuat, dan efek nonlinier. Pada kapasitor pelat paralel besar yang terisi penuh dengan efek tepi yang dapat diabaikan, D normal terhadap pelat sama dengan densitas muatan permukaan bebas. Jika σ_free tetap, meningkatkan ε mengurangi E=σ_free/ε. Muatan terikat menentang medan terapan; besarnya tidak otomatis sama dengan muatan pelat bebas.
• Untuk luas pelat A dan jarak d, C=εA/d. Memutuskan baterai menetapkan muatan bebas Q: V=Q/C turun dan energi tersimpan U=Q²/(2C) turun ketika dielektrik meningkatkan C. Meninggalkan sumber tegangan ideal tetap terhubung menetapkan V: Q=CV dan energi tersimpan U=CV²/2 keduanya naik. Sumber menyediakan energi dan memindahkan dielektrik dapat melibatkan kerja mekanis; bandingkan kuantitas energi listrik yang dinyatakan daripada mengasumsikan kapasitor saja adalah sistem terisolasi. Pada antarmuka material n·(D₂−D₁)=σ_free, sedangkan E tangensial statis berkelanjutan. E normal umumnya berubah ketika permitivitas berubah.
• Magnetisasi M adalah momen dipol magnetik per satuan volume, diukur dalam A/m. Dalam SI, B=μ₀(H+M); untuk respons isotropik linear M=χ_m H dan B=μ₀(1+χ_m)H. B dan H memiliki satuan dan peran yang berbeda. Solenoid panjang seragam memiliki H≈nI ketika efek ujung dan demagnetisasi dapat diabaikan; respons material kemudian mengubah B. Arus permukaan bebas menetapkan n×(H₂−H₁)=K_free, dan B normal tetap berkelanjutan. Histeresis feromagnetik dan saturasi tidak dapat direpresentasikan oleh satu konstanta χ_m untuk setiap medan.

Contoh terverifikasi

Ambil kapasitor terisi penuh dengan ε_r=4 dan kerapatan pelat bebas tetap σ. Hukum Gauss untuk D memberikan D=σ, kemudian E=σ/(4ε₀) dan P=ε₀(4−1)E=3σ/4. C naik empat kali lipat, sehingga tegangan Q tetap dan energi tersimpan menjadi seperempat. Dengan baterai terhubung, V dan E=V/d tetap konstan sementara Q dan U menjadi empat kali lebih besar. Terpisah, H=400 A/m dan χ_m=0.5 menghasilkan M=200 A/m dan B=μ₀(600 A/m)≈0.754 mT.

Ralat biasa

Gunakan muatan bebas dalam persamaan D dan muatan total dalam persamaan E. Jangan bingung antara Q tetap dengan V tetap, atau identifikasi B secara numerik dengan H.

EM.5 · Transien RC dan RL, impedansi, dan resonansi

• Untuk resistor R seri dengan kapasitor C dan sumber DC V_s, hukum tegangan Kirchhoff adalah R dq/dt+q/C=V_s. Tentukan V_C=q/C dan τ=RC. Setelah sakelar beralih ke sumber konstan, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). Kapasitor yang awalnya tidak bermuatan oleh karena itu memiliki V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) dan arus pengisian I=(V_s/R)exp(−t/τ). Dengan sumber dilepas dan resistor terhubung melintanginya, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Tegangan kapasitor berkelanjutan melintasi sakelar jika tidak ada arus impulsif; arus resistor mungkin berubah seketika.
• Dalam rangkaian RL seri, hukum Kirchhoff memberikan L dI/dt+RI=V_s dan τ=L/R. Arus setelah pendorong konstan adalah I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Arus induktor berkelanjutan untuk tegangan terbatas; tegangannya dapat berubah mendadak saat pemutusan sakelar mengubah dI/dt. Pada waktu yang lama, induktor ideal dalam rangkaian DC bertindak sebagai koneksi nol tegangan, sementara kapasitor ideal memiliki arus DC nol. Energi tersimpan adalah LI²/2 dan CV_C²/2. Selama peluruhan ke resistor, energi yang tersimpan secara awal menjadi panas resistor alih-alih menghilang saat sumber diputus.
• Gunakan konvensi fasor yang dinyatakan exp(iωt). Resistor memiliki impedansi R, induktor iωL, dan kapasitor 1/(iωC)=−i/(ωC). Oleh karena itu, rangkaian RLC seri memiliki Z=R+iX dengan X=ωL−1/(ωC). Bagi fasor tegangan sumber dengan Z untuk mendapatkan arus. Besarannya adalah V_rms/sqrt(R²+X²) ketika kuantitas rms digunakan. Fase impedansi φ memenuhi tanφ=X/R; arus tertinggal dari tegangan untuk X>0 dan mendahuluinya untuk X<0. Menambahkan besaran skalar R, ωL, dan 1/(ωC) menghilangkan informasi fase vektor.
• Resonansi seri terjadi pada ω₀=1/sqrt(LC) ketika X=0. Arus maksimal untuk tegangan tetap dalam model seri ideal ini, dan beda fase tegangan/arus adalah nol. Daya riata-rata adalah V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; L dan C ideal menukar energi tetapi tidak mendisipasi daya rata-rata. Ini berbeda dengan frekuensi alami transien: rangkaian seri teredam dapat berosilasi pada sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) saat underdamped. Resistansi besar menghilangkan osilasi bebas semacam itu tetapi tidak mengubah kondisi X=0 dari impedansi seri yang digerakkan ideal. Tentukan apakah sebuah pertanyaan meminta respons langkah, peluruhan bebas, atau keadaan tunak sinusoidal.

Contoh terverifikasi

Untuk R=2000 Ω, C=0.001 F, V_s=12 V dan V_C(0)=0, τ=RC=2 s. Pada t=τ, V_C=12(1−e^(−1))=7.585 V dan I=(12/2000)e^(−1)=2.207 mA. Sirkuit RL terpisah dengan L=0.4 H, R=2 Ω dan V_s=10 V memiliki τ=0.2 s dan I(τ)=5(1−e^(−1))=3.161 A. Untuk seri R=10 Ω, L=0.1 H, C=0.001 F dan V_rms=20 V, ω₀=100 rad/s; resonansi menghasilkan I_rms=2 A dan daya rata-rata 40 W.

Ralat biasa

RC memiliki τ=RC, sedangkan RL memiliki τ=L/R. Jangan bingung antara amplitudo arus dengan arus rms, atau resonansi impedansi yang didorong dengan frekuensi osilasi bebas teredam.

WO.4 · Polarisasi, rantai analisator, dan fase

• Untuk perambatan sepanjang z, medan listrik transversal dapat memiliki komponen x dan y. Polarisasi linear berarti medan berosilasi sepanjang satu garis tetap; analyzer ideal meneruskan proyeksi sepanjang aksinya. Amplitudo medan menjadi E cosθ, sehingga intensitas menjadi I cos²θ. Di sini θ adalah sudut antara polarisasi datang dan analyzer tersebut, dan I adalah intensitas segera sebelum analyzer. Sinar tidak terpolarisasi adalah campuran statistik dari orientasi transversal; polarizer ideal pertama meneruskan setengah intensitas rata-ratanya. Sinar keluaran kemudian terpolarisasi linear sepanjang sumbu filter. Jangan terapkan faktor setengah baru pada setiap filter berikutnya, atau gunakan satu sudut terhadap sumber asli untuk seluruh rangkaian.
• Setelah setiap analyzer, perbarui intensitas dan arah polarisasi. Untuk sinar yang awalnya tidak terpolarisasi dengan sumbu ideal α₁, α₂, α₃, intensitas akhir adalah (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Dua filter silang mentransmisikan nol dalam model ini; sumbu miring di tengah mengubah arah sebelum proyeksi akhir. Peningkatan relatif terhadap pasangan silang ini tidak menciptakan energi: setiap langkah masih memiliki transmisi antara nol dan satu. Filter nyata memiliki absorpsi, pemadaman tidak sempurna, dan ketergantungan panjang gelombang. Gunakan hukum ideal hanya ketika kerugian-kerugian tersebut dikecualikan atau ditentukan secara terpisah.
• Tulis E_x=A cosωt dan E_y=B cos(ωt+δ) pada titik tetap. Fase sama atau berlawanan menghasilkan garis, termasuk garis dengan sudut miring; amplitudo sama tak nol dan beda fase seperempat siklus menghasilkan lingkaran. Amplitudo tak sama pada beda fase seperempat siklus menghasilkan elips. Pelat gelombang seperempat menambahkan beda fase relatif π/2 antara sumbu utamanya di bawah kondisi desainnya. Input linear pada 45° menyediakan komponen yang sama, sehingga medan keluaran dapat berbentuk lingkaran. Input linear sepanjang sumbu utama hanya memiliki satu komponen dan tetap linear. Untuk input lingkaran, setiap analis linear ideal melewatkan setengah intensitas; kecerunan tangan memerlukan arah pandang dan konvensi fase yang dideklarasikan.
• Untuk insidensi dari medium nonmagnetik transparan n₁ ke n₂, sudut Brewster yang diukur dari normal memenuhi tanθ_B=n₂/n₁. Pada sudut itu, komponen p yang dipantulkan, yang medan listriknya terletak dalam bidang insidensi, hilang dalam model dielektrik ideal. Cahaya terpolarisasi s, tegak lurus terhadap bidang tersebut, kemudian dipantulkan dari input tak terpolarisasi. Hukum Snell memberikan sudut bias yang melengkapi θ_B. Ini berbeda dari syarat sudut kritis sinθ_c=n₂/n₁, yang membutuhkan n₁>n₂ dan berkaitan dengan pantulan internal total. Pantulan Brewster tidak menyiratkan seluruh intensitas insiden dipantulkan atau sinar transmisi terpolarisasi sepenuhnya.

Contoh terverifikasi

I₀ tak terpolarisasi =80 W/m² melewati sumbu 0°, 45°, 90°. Intensitasnya adalah 40, 20 dan 10 W/m²; tanpa filter tengah pasangan silang akan menghasilkan nol. E_x=3 cosωt dan E_y=3 sinωt yang sama membentuk lingkaran dengan E_x²+E_y²=9. Dari n₁=1 ke n₂=1.5, θ_B=atan(1.5)=56.31° dan pembiasan adalah 33.69°; sinar pantul terpolarisasi s.

Ralat biasa

Intensitas Malus menggunakan cos² dari sudut terhadap polarisasi segera sebelumnya; pelat fase mengubah fase relatif, sedangkan polarisator menghilangkan komponen medan.

WO.5 · Amplop difraksi dan order interferensi yang hilang

• Untuk celah yang diterangi seragam dengan lebar a, kontribusi medan jauh di across pembukaannya tiba dengan gradien fase k sinθ. Jumlahkan amplitudo kompleksnya sebelum dikuadratkan: integral dinormalisasi atas x dari −a/2 hingga a/2 adalah sinβ/β, di mana β=πa sinθ/λ. Rasio intensitas adalah (sinβ/β)². Pada θ=0 ambil limit sinβ/β→1, alih-alih menyebut pusat tak terdefinisi atau gelap. Nol terjadi pada a sinθ=mλ dengan bilangan bulat m tak nol. Puncak tengah terletak antara dua nol pertama dan dua kali lebih lebar daripada satu interval nol-ke-nol tetangga dalam sinθ. Maksimum puncak samping tidak tepat berada di tengah antara nol-nol mereka.
• Pada sudut kecil pada layar jauh L menjauh, y≈Lθ dan sinθ≈θ menghasilkan nol pertama y≈±Lλ/a. Dengan demikian lebar pusat adalah 2Lλ/a. Gunakan meter secara konsisten: celah milimeter dan panjang gelombang nanometer berbeda enam pangkat sepuluh. Untuk sudut yang lebih lebar, gunakan θ=asin(mλ/a) dan y=L tanθ; ekspresi y sudut kecil menjadi tidak akurat. Kondisi medan jauh memerlukan sinar hampir sejajar dari bagian-bagian berbeda dari aperture, misalnya L jauh lebih besar dari a²/λ, atau susunan bidang fokus ekuivalen. Pola Fresnel dekat-medan tidak dapat assigned hukum intensitas ini secara buta.
• Untuk dua celah identik koheren yang diterangi seragam dengan lebar a dan pemisahan pusat d, pola dinormalisasi adalah (sinβ/β)² cos²α, dengan α=πd sinθ/λ dan intensitas pusat sebagai normalisasi. Faktor cos² menghasilkan order interferensi d sinθ=nλ; faktor celah tunggal memberikan nol amplop yang lebih luas. Jarak antar interference kecil-sudut bertetangga adalah λL/d. Meningkatkan d mempersempit jarak fringe; meningkatkan a mempersempit amplop. Ini adalah perubahan terpisah. Rumus interference celah sempit setinggi sama saja tidak memprediksi penurunan kecerahan atau order yang hilang dari aperture terbatas. Sumber inkoheren tidak mempertahankan suku silang bergantung-fase yang sama.
• Order yang hilang terjadi ketika nλ/d=mλ/a secara bersamaan, menghasilkan n=m d/a. Jika d/a adalah bilangan bulat r, order ±r, ±2r dan seterusnya dibatalkan oleh nol aperture. Jangan hitung order pada batas amplop sebagai fringe terang yang terlihat. Dalam amplop tengah, pusat order interference nominal memenuhi |n|<d/a; ketika r adalah bilangan bulat terdapat 2r−1 pusat seperti itu. Untuk lebar celah terbatas, maksimum lokal eksak bergeser sedikit oleh amplop yang berubah, sehingga lokasi order interference adalah pendekatan ke pusat puncak yang diamati. Identifikasi besaran apa yang diminta sebelum menganggap setiap maksimum cos² sebagai maksimum eksak dari hasil kali.

Contoh terverifikasi

Untuk λ=500 nm, a=0.10 mm, d=0.50 mm dan L=2 m, nol-nol envelope pertama kira-kira ±10 mm, lebar sentral 20 mm dan jarak interferensi 2 mm. Karena d/a=5, urutan nominal ±5 hilang. Urutan −4 hingga +4 memberikan sembilan pusat interferensi dalam envelope sentral. Pada sinθ=λ/(2a), β=π/2, sehingga intensitas celah tunggal adalah 4/π²=0.4053 dari nilainya sentral.

Ralat biasa

Tambahkan amplitudo medan sebelum dikuadratkan, bedakan a dari d, dan exclude urutan batas gelap. Maksimum interferensi saja tidak menjamin maksimum dari pola penuh.

WO.6 · Citra lensa dan cermin bertanda

• Gunakan konvensi real-positif untuk unit ini: objek riil memancarkan sinar insiden menyimpang ke dalam elemen, sehingga s>0; berkas insiden yang sudah menyipit dapat merepresentasikan objek semu, s<0. A real image has s′>0, sedangkan gambar semu memiliki s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification M=−s′/s. A converging lens has f>0 dan lensa cekung f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; nilai s′ negatif menempatkan gambar semunya pada sisi input. Nyatakan konvensi sebelum substitusi, karena konvensi koordinat bertanda lain menghasilkan persamaan dengan tampilan berbeda.
• Untuk lensa tipis konvergen, sinar yang sejajar dengan sumbu keluar melalui titik fokus jauh, dan sinar melalui pusat optik ideal berlanjut tanpa penyimpangan. Perpotongan keduanya mengidentifikasi bayangan nyata; perpanjangan ke belakang dapat menentukan bayangan semu. Pendekatan paraksial menggunakan sinar dekat sumbu dan mengabaikan ketebalan serta aberasi. Dengan s>f>0, s′ bernilai positif dan M negatif: bayangan nyata dan terbalik. Dengan 0<s<f, s′ negatif dan M positif: bayangan semu, tegak, dan diperbesar. Pada s=f, sinar yang keluar sejajar sehingga tidak ada bidang bayangan yang terbatas. Lensa divergen dengan objek nyata menghasilkan bayangan semu, tegak, dan diperkecil.
• Untuk cermin bola dalam konvensi real-positif yang sama, cekung f>0 dan cembung f<0, dengan f=R/2 dalam limit paraksial. Bayangan pantul nyata berada di depan cermin pada sisi cahaya datang; bayangan semu berada di belakangnya. Oleh karena itu, jarak bayangan positif memiliki sisi fisik yang berbeda untuk cermin dibandingkan dengan lensa transmisi. Sinar paralel dipantulkan melalui fokus cekung; sinar yang dituju menuju pusat kelengkungan akan melintasi kembali jalurnya. Sinar pantul cembung menyimpang seolah-olah berasal dari fokus di belakang cermin. Gunakan persamaan yang sama dan M=−s′/s dengan nilai ber tanda, alih-alih secara diam-diam menggabungkan geometri cermin dengan diagram koordinat lensa.
• Untuk urutan lensa terpisah, hitung dulu koordinat bayangan aktual dari lensa pertama. Relatif terhadap lensa berikutnya, tentukan apakah sinar masuk menyimpang dari titik sebelum lensa tersebut atau masih konvergen menuju titik setelahnya; ini masing-masing adalah objek nyata dan semu. Hanya kemudian tentukan jarak objek ber tanda dan selesaikan lagi. Total pembesaran transversal adalah hasil kali pembesaran ber tanda individu untuk elemen paraksial yang sejajar. Jarak antar elemen bukan otomatis jarak objek kedua. Karakteristik nyata/semu bergantung pada konvergensi, bukan pada apakah bayangan akhir diperbesar. Hasil ideal ini tidak memodelkan resolusi optik gelombang atau aberasi spherical/kromatik.

Contoh terverifikasi

Lensa konvergen di x=0 memiliki f=10 cm dan objek nyata di x=−30 cm. 1/s′=1/10−1/30=1/15, sehingga s′=15 cm dan M=−1/2. Lensa kedua dengan f=10 cm di x=40 cm menerima sinar yang menyebarkan dari x=15: s₂=25 cm, s₂′=50/3 cm dan posisi akhir x=170/3 cm≈56.67 cm. M₂=−2/3, sehingga total M=+1/3. Secara terpisah, cermin cekung dengan f=−12 cm dan s=24 cm menghasilkan s′=−8 cm dan M=+1/3, yaitu bayangan maya tegak di belakang cermin.

Ralat biasa

Pertahankan tanda sampai geometrinya ditafsirkan; bayangan cermin positif terletak di sisi insiden, sementara bayangan lensa transmisi positif terletak di sisi keluar.

TS.3 · Transport termal, kalorimetri, dan ekspansi

• Untuk konduksi satu dimensi yang stabil melalui pelat seragam, hukum Fourier memberikan fluks panas q_x=−κ dT/dx. Dengan konduktivitas konstan κ, luas A, panjang L, dan perbedaan suhu dari panas ke dingin ΔT, laju panas adalah Qdot=κAΔT/L. Definisikan resistansi termal R_th=L/(κA), diukur dalam K/W; penurunan suhu adalah Qdot R_th. Lapisan seri tanpa sumber internal membawa Qdot yang sama dan resistansinya dijumlahkan. Jalur paralel pada suhu ujung yang sama memiliki laju panas yang dijumlahkan, sehingga invers resistansinya dijumlahkan. Fluks panas adalah laju per luas, W/m², dan tidak harus sama antara lapisan dengan luas berbeda. Resistansi kontak antarmuka dan kebocoran panas harus disertakan jika ditentukan.
• Kapasitas panas C=dQ/dT bergantung pada jalur termodinamika dan berbeda dengan panas spesifik c per massa. Untuk interval material tanpa transisi fase, Q=∫mc(T)dT, atau mcΔT ketika c konstan. Dalam kalorimeter terisolasi, jumlahkan perubahan energi semua benda, termasuk wadah jika relevan, dan samakan hasilnya dengan nol. Pada transisi fase pada suhu kesetimbangannya, energi yang ditambahkan dapat mengubah fraksi fase daripada suhu: Q=mℓ gunakan panas laten ℓ dalam J/kg. Berikan dulu panas sensibel untuk mencapai transisi, lalu alokasikan panas laten. Jangan biarkan rata-rata suhu berbobot sederhana memprediksi suhu yang mustahil saat pelelehan atau pembekuan merupakan bagian dari proses.
• Untuk batang yang berekspansi bebas dan perubahan suhu kecil, ΔL≈αL₀ΔT dengan koefisien ekspansi linear α. Untuk padatan isotropik dengan regangan kecil, setiap dimensi memperoleh faktor 1+αΔT, sehingga ΔA/A≈2αΔT dan ΔV/V≈3αΔT. Lubang berekspansi bersama bahan sekitarnya seolah-olah wilayah yang hilang juga telah berekspansi. Hubungan ini mengasumsikan koefisien hampir konstan dan tanpa kendala mekanis; kristal anisotropik memerlukan koefisien arah. Jika batang elastis dicegah dari perubahan panjang, regangan mekanisnya meniadakan regangan termal. Dengan tegangan tarik positif, σ≈−YαΔT selama pemanasan, di mana Y adalah modulus Young. Estimasi regangan kecil ini memerlukan respons elastis tanpa leleh atau buckling.
• Konduksi mentransfer energi melalui gradien suhu, konveksi mengangkutnya dengan materi yang bergerak, dan radiasi termal dapat menembus vakum. Untuk permukaan pada T yang menghadap lingkungan besar pada T_env, model abu-abu sederhana memberikan laju radiasi bersih εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Gunakan kelvin absolut dalam pangkat empat ini, alih-alih nilai Celcius. Tubuh terkumpul (lumped body) yang suhu dalamnya tetap hampir seragam dapat memenuhi C dT/dt=−hA(T−T_env)(mengikuti pendinginan Newton dengan h konstan). Maka kelebihan suhu meluruh dengan τ=C/(hA), alih-alih seluruh suhu Celcius atau kelvin meluruh menuju nol. Aproksimasi ini memerlukan gradien internal yang cukup kecil; tubuh yang dibatasi konduksi memerlukan model suhu spasial.

Contoh terverifikasi

Two slabs of area 0.5 m² have L₁=0.02 m, κ₁=0.5 W/(m·K), L₂=0.03 m and κ₂=0.25 W/(m·K). R₁=0.08 and R₂=0.24 K/W; for boundaries 60°C and 20°C, Qdot=40/0.32=125 W. Drops are 10 K and 30 K, so the interface is 50°C and flux 250 W/m². Separately equal specific heats with masses 2 kg at 80°C and 1 kg at 20°C give isolated final 60°C without phase change. A free 2 m rod with α=10^−5 K^−1 heated 50 K lengthens 1 mm; if constrained and Y=100 GPa, σ=−50 MPa within the elastic model.

Ralat biasa

Jaga W terpisah dari W/m², sertakan kalorimeter atau energi laten jika diperlukan, dan jangan gunakan panjang ekspansi bebas bersamaan dengan asumsi tegangan terbatas.

TS.4 · Turunan partisi, fluktuasi energi, dan kapasitas panas

• Untuk sistem yang bertukar energi dengan waduk pada T sementara N dan V tetap, misalkan β=1/(kBT). Jumlahkan Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) atas tingkat energi beserta degenerasinya. Probabilitas tingkat adalah g_i exp(−βE_i)/Z; energi rata-rata U adalah jumlah energi berbobot probabilitas. Menurunkan spektrum yang tidak bergantung suhu menghasilkan U=−∂lnZ/∂β. Pertahankan celah energi dan degenerasi tetap selama diferensiasi. Menulis Δ=kBT ln3 untuk mendeskripsikan satu evaluasi suhu tidak boleh dibaca sebagai membuat Δ berubah seiring T. Untuk N subsystem dua-level yang independen, terbedakan, dan identik, Z_total=z^N dan U_total=N u. Partikel tak terbedakan dan interaksi memerlukan penghitungan keadaan tersendiri alih-alih asumsi perkalian ini.
• Energi bebas Helmholtz adalah F=−kBT lnZ. Entropi kanonik mengikuti dari S=kB(lnZ+βU), ekuivalen dengan −kBΣ p_j ln p_j atas mikrostate individu. Kapasitas kalor volume konstan adalah C_V=(∂U/∂T)_V,N. Besaran-besaran ini memiliki satuan yang berbeda dan mendeskripsikan turunan yang berbeda. Menambahkan pergeseran energi konstan ε ke setiap keadaan mengalikan Z dengan exp(−βε), meningkatkan U dan F sebesar ε, dan meninggalkan probabilitas, entropi, dan kapasitas kalor tidak berubah ketika ε independen terhadap T. Oleh karena itu, energi rata-rata negatif yang dipilih bukan merupakan bukti kapasitas kalor negatif. Gunakan referensi energi yang sama dalam probabilitas dan ekspresi termodinamika.
• Turunan kedua β dari lnZ memberikan varians Var(E)=⟨E²⟩−U². Untuk model kanonik spektrum tetap yang sama, C_V=Var(E)/(kBT²), sehingga C_V/kB=β²Var(E). Varians nonnegatif mengimplikasikan C_V nonnegatif dalam kondisi ini. Penyebutnya mencakup kB, bukan kB², ketika kapasitas panas mempertahankan satuan J/K standarnya. Rumus fluktuasi ini berkaitan dengan distribusi energi kanonik; hal itu tidak berarti setiap partikel memiliki energi rata-rata yang tepat. Untuk sub-sistem independen, varians dan mean keduanya dapat dijumlahkan. Fluktuasi energi relatif biasanya menyusut sebanding dengan 1/√N ketika mean dan varians per-sub-sistem tetap terbatas dan nonzero.
• Untuk satu keadaan dasar pada E=0 dan satu keadaan tereksitasi pada E=Δ>0 tetap, misalkan x=Δ/(kBT). Maka z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc, dan C/kB=x²e^x/(1+e^x)². Pada suhu rendah, eksitasi dan kapasitas panas menghilang secara eksponensial. Pada suhu tinggi, p_exc mendekati setengah dan energi jenuh, sehingga kapasitas panas cenderung nol lagi. Entropi meningkat dari nol untuk keadaan dasar unik menuju kB ln2 saat kedua keadaan menjadi setara kemungkinannya. Puncak kapasitas panas pada suhu tertentu ini spesifik untuk model tingkat terbatas; ini bukan nilai osilator klasik konstan. Degenerasi keadaan dasar atau tingkat tambahan akan mengubah entropi limit dan respons suhu.

Contoh terverifikasi

Untuk tingkat 0 dan Δ tetap pada suhu di mana x=ln3, z=1+1/3=4/3 dan p_exc=1/4. Dengan demikian u=Δ/4, ⟨E²⟩=Δ²/4 dan Var(E)=3Δ²/16. C/kB=3(ln3)²/16=0.226303. F=−kBT ln(4/3); S/kB=ln(4/3)+(ln3)/4=0.562335. Mengangkat referensi sebesar ε mengubah u menjadi ε+Δ/4 tetapi mempertahankan varians dan kapasitas panas.

Ralat biasa

Pegang Δ tetap saat melakukan diferensiasi, masukkan degenerasi ke dalam Z, dan gunakan varians energi daripada kuadrat energi rata-rata dalam rumus kapasitas panas.

TS.5 · Okupansi kuantum dan batas kesetaraan pembagian

• Untuk partikel tak berinteraksi dalam kesetimbangan pertukaran termal dan partikel, gunakan potensial kimia μ dan x=(ε−μ)/(kBT). Okupansi rata-rata satu keadaan lengkap adalah n_F=1/(e^x+1) untuk fermion dan n_B=1/(e^x−1) untuk boson. Okupansi fermion pada keadaan tersebut adalah nol atau satu; nilainya berada di antaranya. Okupansi boson dapat melebihi satu. Tingkat degenerasi g memiliki total rata-rata g kali okupansi keadaan tunggal ketika keadaannya berbagi energi yang sama. Hitung spin sebagai bagian dari keadaan lengkap. Penyebut Bose memerlukan ε>μ untuk ekspresi finite biasa, dengan limit keadaan dasar diperlakukan secara terpisah. Untuk foton kesetimbangan, μ=0 karena jumlah foton tidak terawat; jangan set μ=0 untuk setiap gas partikel material.
• Hitung pola pendudukan daripada melabeli partikel identik. Dua fermion identik yang terdistribusi di antara empat keadaan penuh berbeda memiliki choose(4,2)=6 pola yang diizinkan. Dua boson identik di antara keadaan tersebut memiliki choose(4+2−1,2)=10 pola karena keduanya dapat berbagi satu keadaan. Dua partikel yang dapat dibedakan dengan label akan memiliki 4²=16 penugasan. Ini adalah model penghitungan yang berbeda, bukan tiga jawaban yang saling dapat ditukar untuk spesifikasi yang sama. Jika soal menyediakan degenerasi spin, tentukan terlebih dahulu apakah angka yang disebutkan menghitung keadaan penuh atau hanya tingkat orbital. Larangan Pauli terhadap dua keadaan penuh identik tidak melarang fermion dengan spin berlawanan dalam satu orbital spasial.
• Ketika x besar dan positif, okupansi kecil dan kedua penyebut didominasi oleh e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), yaitu batas langka Maxwell–Boltzmann. Pada x=ln4, mean adalah 1/5 untuk fermion, 1/3 untuk boson, dan 1/4 dalam pendekatan klasik; perbedaannya masih signifikan. Jumlah partikel total yang besar saja tidak membenarkan statistik klasik: densitas, suhu, dan keadaan yang tersedia mengontrol okupansi. Untuk fermion pada suhu rendah, keadaan di bawah μ hampir terisi penuh dan yang di atas hampir kosong. Pada ε=μ, keadaan fermion memiliki mean setengah; memasukkan nilai tersebut ke rumus Bose biasa justru akan menghasilkan penyebut yang divergen dan memerlukan perlakuan limit berbeda.
• Kesetaraan pembagian klasik menetapkan kBT/2 energi rata-rata untuk setiap suku kuadratik independen dalam Hamiltonian yang setimbang. Gas ideal monoatomik memiliki tiga suku translasi, memberikan U=3NkBT/2 dan C_V=3NkB/2. Satu osilator harmonik klasik satu dimensi memiliki suku kinetik dan potensial, memberikan mean kBT dan C=kB. Untuk osilator kuantum dengan jarak tetap ε=ℏω, energi termal di atas titik nol yang tidak bergantung suhu adalah ε/(e^x−1), dengan x=ε/(kBT) sekarang, dan C/kB=x²e^x/(e^x−1)². Pada suhu tinggi, hal ini mendekati nilai klasik; pada suhu rendah, eksitasi membeku dan C→0. Energi titik nol ε/2 menggeser U tetapi tidak C. Kontribusi rotasi/-getaran molekuler juga perlu memeriksa skala energinya sebelum menetapkan suku kuadratik klasik.

Contoh terverifikasi

Pada x=(ε−μ)/(kBT)=ln4, satu keadaan memiliki n_F=0.2 atau n_B=1/3. Oleh karena itu, tingkat degenerasi lima keadaan memiliki rata-rata 1 fermion atau 5/3 boson; total pengisian tingkat fermion dapat melebihi satu pada x lain karena ada lima keadaan berbeda. Osilator kuantum pada ε/(kBT)=ln2 memiliki energi eksitasi rata-rata ε dan C/kB=2(ln2)²=0.960906, dekat tetapi berbeda dari nilai klasik satu.

Ralat biasa

Eksklusi dua fermion dari satu keadaan lengkap, bukan dari seluruh tingkat energi degenerat. Tentukan x mana yang digunakan; okupasi potensial kimia dan rumus eksitasi osilator tetap adalah model yang berbeda.

QM.2 · Gangguan lemah dan subruang terdegenerasi

• Misalkan H=H₀+λW, di mana λ adalah parameter tak berdimensi kecil dan keadaan eigen H₀ diketahui dan dinormalisasi. Untuk tingkat non-degenerate n, koreksi energi orde pertama adalah λ⟨n|W|n⟩. Dalam ruang posisi ini adalah λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx untuk potensial multiplikatif, dengan integrasi atas domain yang diizinkan. Nilai potensial pada satu titik bukanlah nilai ekspektasi; kerapatan probabilitas keadaan menimbang seluruh domain. Untuk sumur tak hingga 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Refleksi tentang pusatnya membuat ⟨x⟩=L/2, sehingga potensi tambahan lemah γx memiliki geseran γL/2 untuk setiap tingkat sumur non-degenerate pada orde pertama. γ memiliki satuan energi per panjang.
• Untuk gangguan ganjil terhadap pusat, seperti γ(x−L/2), kerapatan probabilitas keadaan eigen sumur tak terganggu adalah genap, sehingga ekspektasi diagonalnya hilang. Gangguan kuadratik berpusat η(x−L/2)² sebaliknya memberikan pergeseran ηL²[1/12−1/(2π²n²)], yang positif untuk η>0 dan bergantung pada n. Paritas membuat integralorde pertama nol hanya untuk keadaan dan simetri operator tertentu. Elemen matriks off-diagonal masih dapat mengubah fungsi gelombang. Jangan ubah pembatalan simetri menjadi klaim bahwa setiap koreksi energi hilang atau bahwa keadaan asli tetap akurat.
• Untuk keadaan non-degenerate, campuran utama dari keadaan tanpa gangguan m lainnya sebanding dengan λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). Oleh karena itu, kondisi kecil yang berguna membandingkan elemen matriks kopling dengan pemisahan tingkat yang relevan, bukan hanya dengan nol energi absolut sembarang. Pada orde kedua, koreksi energi mengandung Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Untuk keadaan non-degenerate terendah, semua penyebut ini negatif, sehingga koreksi orde kedua tidak positif dalam model ini. Dekat degenerasi, penyebut kecil mengalahkan ekspansi non-degenerate; gunakan subruang coupled alih-alih membagi dengan nol.
• Jika level H₀ tepat degenerasi, pilih basis ortonormal di dalam subruang tersebut dan bentuk matriks Hermitian dari gangguan di sana. Nilai eigennya adalah pergeseran energi orde pertama, dan vektor eigennya menentukan kombinasi yang mendiagonalkan pemecahan utama. Untuk subruang dua-keadaan dengan gangguan ε[[2,1],[1,2]], kombinasi simetris dan antisimetris ternormalisasi memiliki pergeseran 3ε dan ε. Membaca hanya dua entri diagonal akan secara salah memprediksi dua pergeseran sebesar 2ε. Kelipatan skalar umum dari identitas menggeser kedua keadaan secara sama dan tidak memecah degenerasinya; kopling off-subspace dapat penting pada orde lebih tinggi.

Contoh terverifikasi

In a 2 nm infinite well, a weak γx perturbation with γ=0.05 eV/nm gives ΔE_n^(1)=γL/2=0.05 eV. Separately, η=0.03 eV/nm² multiplying (x−L/2)² gives the ground shift 0.03·4[1/12−1/(2π²)]=0.00392073 eV. These are first-order results conditional on weak coupling relative to gaps. A degenerate pair with ε[[2,1],[1,2]] and ε=0.004 eV splits into shifts 0.004 and 0.012 eV; the symmetric state gets the larger shift.

Ralat biasa

Gunakan bobot keadaan ternormalisasi, jaga satuan gangguan, dan diagonalisasi blok degenerasi. Pembatalan orde pertama dan invariansi eksak adalah klaim yang berbeda.

QM.3 · Simetri pertukaran, pasangan spin dan eksklusi Pauli

• Untuk partikel identik, menukar setiap koordinat dan label spin mengubah fungsi gelombang total fermion dengan tanda minus dan membiarkan boson tidak berubah. Slot matematis 1 dan 2 melabeli argumen, bukan partikel yang dapat dibedakan secara permanen. Untuk dua orbital ortonormal a dan b yang berbeda, kombinasi spasial adalah Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Ortogonalitas membuat kombinasi ini ternormalisasi dan memberikan nilai eigen pertukaran ±1. Jika kedua orbital identik, kombinasi antisimetris secara identik nol dan rumus simetris yang ditampilkan tidak ternormalisasi dengan benar; keadaan spatial pendudukan ganda hanyalah a(1)a(2). Periksa kembali normalisasi setiap kali orbital atau tumpang tindiknya berubah.
• Dua partikel spin-1/2 memiliki satu singlet spin (↑↓−↓↑)/√2 dengan spin total S=0; ini antisimetris di bawah pertukaran. Tiga triplet ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 dan ↓↓ memiliki S=1 dan simetris. Elektron memerlukan keadaan total antisimetris, jadi keadaan spasial simetris berpasangan dengan singlet, sementara keadaan spasial antisimetris berpasangan dengan triplet. Dua elektron dalam orbital spasial yang sama dapat membentuk singlet, tetapi tidak dapat membentuk triplet di sana dalam keadaan dua-elektron sederhana ini. Eksklusi Pauli mencegah pendudukan keadaan satu-partikel lengkap yang sama, termasuk spin. Elektron berlawanan-spin dalam satu orbital adalah dua keadaan lengkap yang berbeda; menggambarkan eksklusi sebagai satu elektron per orbital menghilangkan perbedaan ini.
• Untuk dua orbital spasial a,b dan dua keadaan spin masing-masing, ada empat keadaan satu-partikel lengkap. Dua elektron identik memiliki choose(4,2)=6 pola pendudukan: dua singlet pendudukan ganda, satu singlet orbital berbeda, dan tiga triplet orbital berbeda. Untuk tiga orbital spasial, ada enam keadaan lengkap dan choose(6,2)=15 pola. Menghitung penugasan tertata melebih-lebihkan partikel identik. Boson tanpa spin dalam dua orbital sebaliknya memiliki tiga pendudukan: keduanya di a, satu di masing-masing, keduanya di b. Perhitungan ini mengasumsikan tidak ada batasan energi tambahan dan keadaan satu-partikel yang dapat diakses yang disebutkan; membatasi energi total atau proyeksi spin mengubah subset yang diperbolehkan.
• Keadaan spasial antisimetris memenuhi Ψ_−(x,x)=0, sehingga kerapatan posisi gabungannya hilang pada garis kecocokan. Keadaan spasial simetris tidak perlu hilang di sana. Perbedaan muncul dari interferensi antara amplitudo yang ditukar, bahkan untuk partikel tak berinteraksi; ini bukan gaya tolak klasik yang dipaksakan terpisah. Untuk sumur sepanjang L, pilih a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). Pada x₁=L/4 dan x₂=3L/4, amplitudo spasial antisimetris adalah −2/L dan kerapatannya adalah 4/L²; amplitudo simetrisnya adalah nol. Ini adalah kerapatan probabilitas gabungan per dua panjang, bukan probabilitas tak berdimensi pada titik-titik eksak. Kompatibilitas spin fisik tetap memutuskan keadaan elektronik total mana yang menggunakan kombinasi spasial mana.

Contoh terverifikasi

Dengan dua orbital ortonormal a,b, keadaan dua elektron Ψ_+χ_singlet bersifat antisimetris secara keseluruhan karena (+1)(−1)=−1. Ψ_−χ_triplet juga diizinkan. Jika kedua elektron menggunakan a, hasil kali spasial a(1)a(2) bersifat simetris, sehingga hanya faktor spin singlet yang diizinkan. Dalam sumur pada posisi L/4 dan 3L/4, Ψ_−=−2/L memberikan densitas 4/L² sementara Ψ_+=0; masing-masing ternormalisasi atas domain koordinat dua lengkap, bukan ditafsirkan sebagai probabilitas pada pasangan tepat satu.

Ralat biasa

Tukar semua argumen spasial dan spin. Jangan keliru antara ruang antisimetris dengan keadaan total antisimetris, atau gunakan faktor √2 orbital berbeda untuk dua orbital identik.

QM.4 · Keadaan terikat sumur terbatas dan bilangan kuantum hidrogenik

• Tetapkan sumur simetris V=−V₀ untuk |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 dan massa yang sama di seluruh tempat. Energi terikat terletak antara −V₀ dan nol. Di dalam, k=√[2m(E+V₀)]/ℏ memberikan solusi osilator; di luar, κ=√(−2mE)/ℏ memberikan ekor meluruh. Tolak eksponensial tumbuh untuk mendapatkan keadaan yang ternormalisasi. Simetri pantul memungkinkan keadaan cos(kx) dalam ruang genap atau sin(kx) ganjil. Pada batas finite tanpa interaksi delta, baik ψ maupun ψ′ kontinu. Pencocokan genap memberikan k tan(ka)=κ; pencocokan ganjil memberikan −k cot(ka)=κ. Sumur finite tidak mengharuskan ψ vanish di tepinya seperti yang dilakukan dinding tak hingga.
• Perkenalkan z=ka dan ρ=a√(2mV₀)/ℏ. Kemudian κa=√(ρ²−z²) dan 0<z<ρ. Selesaikan z tan z=√(ρ²−z²) untuk keadaan genap, atau −z cot z=√(ρ²−z²) untuk keadaan ganjil, pada interval dengan tanda yang sesuai dan menjauhi kutub tangen. Energi diperoleh sebagai E/V₀=z²/ρ²−1. Untuk ρ=1, akar dasar terletak di 0<z<1 dan persamaan genap setara di sana dengan z=cos z. Bisection atau penemu akar yang konvergen memberikan z≈0.739085 dan E/V₀≈−0.453753. Karena ρ<π/2, tidak ada cabang keadaan terikat ganjil yang memenuhi. Dalam satu dimensi, sumur persegi menarik memiliki keadaan terikat dasar genap seberapa dangkal pun; ekor ambang E=0 tidak dapat diintegralkan kuadrat.
• Untuk keadaan terikat genap tulis ψ=A cos(kx) di dalam dan ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] di luar. Kelanjutan menetapkan amplitudo ekor relatif; integrasikan |ψ|² baik di bagian dalam maupun ekornya untuk menentukan A. Probabilitas di luar sumur tidak nol dan bergantung pada kedalaman, lebar, dan keadaan yang dipilih. Keadaan terikat memiliki energi diskrit dan asimtotik meluruh yang dinormalisasi. Keadaan hamburan dengan E>0 memiliki gelombang eksternal merambat dan dinormalisasi atau ditafsirkan menggunakan konvensi kontinuum/fluks. Ekor meluruh bukan bukti bahwa keadaan melanggar kekekalan energi, dan amplitudo ekor mentah bukanlah probabilitas di luar hingga diintegrasikan dan dinormalisasi.
• Untuk ion Coulomb satu elektron dengan muatan inti Ze, gunakan model potensial sentral non-relativistik dan pendekatan inti berat kecuali massa tereduksi ditentukan. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; nomor orbital yang diizinkan adalah n≥1, l=0,…,n−1 dan m_l=−l,…,l. L² memiliki nilai eigen l(l+1)ℏ² dan L_z=m_lℏ; orbital dasar 1s memiliki l=0, meskipun aturan orbit lingkaran Bohr historis. Degenerasi spasial pada n tetap adalah Σ_l(2l+1)=n² sebelum koreksi spin dan struktur halus. Jika ψ=R_nl(r)Y_lm dengan bagian sudut dinormalisasi, probabilitas radial dalam dr adalah r²|R|²dr, bukan hanya |R|²dr. Untuk hidrogen 1s, kerapatan radial adalah 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: puncak di r=a₀ dan memiliki rata-rata 3a₀/2, sementara kerapatan titik tiga dimensi terbesar di titik asal. Bedakan ukuran-ukuran ini sebelum menentukan jari-jari paling mungkin.

Contoh terverifikasi

Untuk ρ=1, z≈0.739085 memberikan κa≈0.673612 dan E≈−0.453753V₀; keadaan dasar genap bocor melewati ±a tetapi meluruh di tak hingga. Untuk ion Z=2 satu-elektron dalam n=2, E≈−13.6·4/4=−13.6 eV. Nilai l yang diperbolehkan adalah 0 dan 1, memberikan empat keadaan spasial sebelum spin. Dalam orbital hidrogen 1s, densitas radial memuncak pada a₀ karena faktor kulit r² mengimbangi penurunan densitas titik; mengintegralkan densitas radial memberikan ⟨r⟩=3a₀/2.

Ralat biasa

Gunakan nol potensial yang dideklarasikan, cocokkan ψ′ selain ψ, dan sertakan ukuran cangkang radial. Ekor terikat dan gelombang perjalanan kontinum memiliki rezim energi yang berbeda.

AT.2 · Pergeseran medan atom dan perbedaan spektral

• Elektron memiliki momen magnetik negatif: μ_L=−μ_B L/ℏ dan μ_S≈−2μ_B S/ℏ. Dengan B sepanjang z positif, interaksi −μ·B karena itu memberikan H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/ℏ. μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. Dalam basis tak-coupled dengan proyeksi orbital m_l dan proyeksi spin m_s=±1/2, geserannya adalah μ_B B(m_l+2m_s). Gunakan aturan tak-coupled ini ketika interaksi magnetik besar relatif terhadap belahan spin-orbit yang relevan tetapi masih kecil relatif terhadap celah energi orbital, sehingga efek diamagnetik kuadratik dan restrukturisasi orbital dapat diabaikan. Besar dan kecil adalah perbandingan energi, bukan ambang Tesla universal. Dalam rezim medan lemah yang berlawanan, m_l dan m_s bukan label yang dilestarikan secara independen untuk keadaan eigen LS-coupled.
• Ketika kopling LS mendominasi gangguan magnetik lemah, J=L+S dan m_J melabeli multiplet. Pergeseran orde pertama adalah μ_B B g_J m_J, dengan g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] dalam pendekatan g_s=2. Di sini L, S, J adalah bilangan kuantum tak berdimensi. Untuk L=1, S=1/2, J=3/2 memberikan g_J=4/3 dan pergeseran −2, −2/3, +2/3, +2 kali μ_B B. J=1/2 memberikan g_J=2/3 dan pergeseran ±μ_B B/3. Jangan substitusikan J=0 ke dalam rumus singular; keadaan J=0 tidak memiliki pergeseran proyeksi vektor orde pertama. Medan intermediate memerlukan Hamiltonian terkopel alih-alih mencampur rumus medan lemah dan tak terkopel.
• Energi foton adalah energi atom atas dikurangi energi bawah. Perubahan yang diinduksi oleh medannya karena itu adalah ΔE_γ=ΔE_atas−ΔE_bawah. Hitung transisi yang diperbolehkan menggunakan aturan seleksi yang disebutkan serta dua pola tingkat. Beberapa transisi dapat berbagi satu frekuensi; jumlah keadaan terbelah bukan otomatis jumlah garis spektral. Dalam model orbital tanpa spin, triplet atas L=1 memiliki pergeseran m_l μ_B B dengan m_l=−1,0, +1, dan keadaan bawah L=0 memiliki nol pergeseran. Dipol-listrik Δm_l=0, ±1 mengizinkan tiga pergeseran foton −μ_B B, 0, +μ_B B. Model triplet normal ini tidak menggambarkan setiap atom nyata atau multiplet struktur-halus. Polaritas dan arah pengamatan dapat mengubah komponen mana yang dideteksi.
• Dalam medan listrik seragam F sepanjang z, gangguan elektron adalah +eFz untuk konvensi potensial elektrostatik yang stated. Keadaan eigen paritas non-degenerate memiliki ⟨z⟩=0, sehingga pergeseran Stark diagonal orde pertamanya hilang, meskipun pergeseran kuadratik bisa tetap ada. Keadaan paritas berlawanan yang tepat degenerat justru memungkinkan elemen matriks dipol off-diagonal. Dalam model dua-keadaan asli, misalkan matriks dipol adalah [[0,d],[d,0]], dengan d real dalam satuan muatan×panjang. Gangguan F kali matriks ini memiliki nilai eigen ±dF dan superposisi berlawanan dari kedua keadaan. Mengubah fase basis mengubah tanda off-diagonal tetapi bukan pemisahan 2|dF|. Atom nyaris-degenerat yang sebenarnya memerlukan perbandingan dengan struktur-halus dan celah kecil lainnya sebelum pendekatan degenerat tepat diadopsi; matriks yang disediakan ini bukan koefisien hidrogen universal.

Contoh terverifikasi

Dengan μ_B=5.788×10⁻⁵ eV/T, B=2 T dan label LS-terkopel medan lemah L=1,S=1/2,J=3/2,m_J=1/2, pergeserannya adalah (4/3)(1/2)μ_B B=7.7173×10⁻⁵ eV. Dalam rezim tak-terkopel yang berbeda, m_l=1,m_s=−1/2 sebaliknya memberikan nol pergeseran linear. Triplet orbital normal L=1→0 pada 2 T memiliki pergeseran foton −1.1576×10⁻⁴,0,+1.1576×10⁻⁴ eV. Terpisah, pasangan dipol degenerat dengan d=2 e·nm dan F=10⁵ V/m memiliki pergeseran ±0.0002 eV, belahan 0.0004 eV.

Ralat biasa

Deklarasikan regime kopling, jaga tanda momen elektron negatif, dan kurangkan pergeseran tingkat bawah. Ekspektasi dipol diagonal nol tidak mengecualikan pencampuran degenerat atau pergeseran kuadratik.

AT.3 · Spek termal dan skala satu-elektron

• Untuk radiasi kesetimbangan termal ideal, kerapatan fluensi spektral panjang gelombang Planck adalah B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ adalah per interval panjang gelombang dan per sudut pekat, bukan daya total. Spektrum fluens permukaan hemisferik benda hitam adalah M_λ=πB_λ; mengintegralkan seluruh panjang gelombang menghasilkan σ_SB T⁴. Semua suhu adalah Kelvin absolut. Puncak panjang gelombang mematuhi λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. Spektrum per frekuensi memiliki puncak berbeda karena B_ν dν dan B_λ dλ mencakup Jacobian; c/λ_max bukanlah frekuensi puncak dari B_ν. Menambah T memindahkan puncak panjang gelombang lebih pendek dan meningkatkan fluensi terintegrasi sebesar T⁴, bukan hanya rasio posisi puncak.
• Untuk permukaan abu-abu seragam asli dengan luas A dan emisivitas tak bergantung panjang gelombang ε, daya radiatif bersih ke lingkungan seragam besar adalah εσ_SB A(T⁴−T_lingkungan⁴) di bawah asumsi faktor-pandangan yang stated. Gunakan σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Emisivitas bervariasi secara spektral atau lingkungan tidak lengkap memerlukan model yang lebih rinci. Foton pada panjang gelombang tertentu memiliki E=hc/λ, nyaman sekitar 1240 eV·nm/λ_nm. Spektrum termal mengandung banyak energi foton; foton pada puncak panjang gelombang bukanlah energi rata-rata setiap foton. Untuk T=3000 K, λ_max≈966 nm; energi fotonya adalah sekitar 1.284 eV. Permukaan dengan A=2×10⁻⁴ m² dan ε=0.5 memancarkan 459.27 W ke lingkungan yang sangat dingin.
• Dalam model Bohr satu-elektron historis dengan inti berat bermuatan Ze, gaya Coulomb m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) dan momentum sudut m_e vr=nℏ mengarah pada r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n dan E_n≈−13.6Z²/n² eV. Radius berskala dengan n²/Z sementara energi ikat berskala dengan Z²/n²; jangan gunakan pangkat muatan yang sama dalam keduanya. Asumsi orbit lingkaran ini adalah model skala historis. Momentum sudut mekanika-gelombang adalah √[l(l+1)]ℏ dengan l=0,…,n−1, sehingga orbital 1s memiliki nol momentum sudut orbital alih-alih nilai Bohr nℏ. Koreksi massa-reduksi mengganti m_e dengan μ: radius Coulomb berskala sebagai 1/μ dan energi sebagai μ. Penyaringan multi-elektron, koreksi relativistik Z-besar, dan struktur-halus berada di luar model sederhana.
• Untuk emisi ni→nf dengan ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Konversikan selisih positif ini menjadi λ≈1240/E_γ nm. Ionisasi dari n memerlukan energi 13.6Z²/n² eV untuk mencapai nol kontinum. Absorpsi membalik urutan tingkat dan membutuhkan energi foton masuk positif yang sesuai. Untuk seri yang berakhir pada nf tetap, energi foton terikat-terikat terbesar terjadi saat ni→∞, menghasilkan E_limit=13.6Z²/nf² dan panjang gelombang seri terpendek. Untuk helium satu-elektron Z=2, n=3→2 memberikan 7.5556 eV dan λ≈164.12 nm. Radius Bohr n=3 adalah 4.5a₀; radius ini menggambarkan orbit historis, bukan mode radial universal untuk setiap l pada n=3.

Contoh terverifikasi

Benda hitam 3000 K memiliki puncak panjang gelombang 966 nm dan energi foton puncak-panjang gelombang 1240/966≈1.284 eV. Untuk ε=0.5, A=2×10⁻⁴ m², T_env=300 K, daya permukaan abu-abu bersih adalah 459.224073 W; pendekatan lingkungan dingin memberikan 459.27 W. Secara terpisah, ion elektron tunggal Z=2 memancarkan n=3→2: 13.6·4(1/4−1/9)=7.5556 eV, λ≈164.12 nm. Ambang batas pengikatannya n=3 adalah 54.4/9≈6.0444 eV, lebih kecil dari energi foton ini karena foton tersebut berakhir pada tingkat n=2 yang lebih rendah.

Ralat biasa

Deklarasikan densitas panjang gelombang atau frekuensi, gunakan Kelvin untuk pangkat empat, dan bedakan transisi dari ionisasi. Jari-jari Bohr melingkar dan momentum sudut bukanlah radius dan L setiap orbital gelombang.

RA.2 · Kesimultanan, pengukuran panjang, dan transformasi kecepatan

• Gunakan transformasi Lorentz dengan gerak kerangka yang dinyatakan: jika kerangka S′ bergerak pada +v sepanjang x relatif terhadap S, maka x′=γ(x−vt) dan t′=γ(t−vx/c²) dengan γ=1/sqrt(1−v²/c²). Terapkan pada pemisahan peristiwa Δx dan Δt, bukan hanya pada koordinat tunggal. Dua peristiwa yang simultan dalam S (Δt=0) di tempat berbeda memiliki Δt′=−γvΔx/c²: peristiwa yang lebih jauh ke arah +x terjadi lebih awal di S′. Kesimultanan bergantung pada kerangka, bukan kesalahan pencatatan.
• Panjang batang yang bergerak harus dibaca dari posisi ujung pada waktu laboratorium yang sama (Δt=0). Maka Δx′=γΔx memberikan L=L0/γ dengan L0 panjang bingkai diam (proper). Membaca ujung-ujung secara simultan dalam kerangka batang alih-alih tidak menghasilkan panjang laboratorium; dua kondisi pembacaan menjawab pertanyaan berbeda. Nyatakan kerangka dan kondisi pembacaan sebelum mengutip panjang apa pun.
• Interval s²=c²Δt²−Δx² (konvensi mostly-minus, dideklarasikan sekali) adalah invarian. s²>0 bersifat waktu-like: terdapat kerangka acuan di mana peristiwa-peristiwa tersebut terjadi pada posisi yang sama, dan Δτ=s/c adalah waktuproper antara keduanya. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.
• Kecepatan kolinear ditambahkan sebagai u=(u′+v)/(1+u′v/c²); penyebut menjaga agar u<c untuk setiap u′,v<c, dan u′=c menghasilkan u=c secara eksak. Energi dan momentum membentuk empat-vektor dengan invarian E²−p²c²=m²c⁴: hitung dalam kerangka yang paling nyaman. Periksa setiap hasil pada limit non-relativistik, di mana aturan penjumlahan menjadi u=u′+v dan invarian menjadi energi diam.

Contoh terverifikasi

Peristiwa A dan B terpisah 900 m dalam laboratorium dan 2 μs dalam waktu (cΔt=600 m menggunakan c=3×10⁸ m/s). Karena 600<900 interval tersebut bersifat ruang-like; kerangka simultaneitas bergerak dengan kecepatan v=c²Δt/Δx=(2/3)c dan jarakproper adalah sqrt(900²−600²)=670.82 m. Probe 0.5c dari kapal 0.5c memiliki kecepatan lab (0.5+0.5)c/(1+0.25)=0.8c, di mana γ=5/3. E=5 GeV dengan p=3 GeV/c memberikan energi diam sqrt(25−9)=4 GeV.

Ralat biasa

Mengutip L=L0/γ tanpa kondisi ujung simultan, atau menambahkan kecepatan sebagai u=u′+v pada kecepatan relativistik. Perbedaan simultaneitas adalah fisik, bukan kesalahan.

LM.2 · Beban pengukuran, penguat penguatan dan respons detektor

• Model rangkaian terukur sebagai sumber Thevenin V_th dengan resistansi R_th dan instrumen sebagai resistansi input R_m. Bacaannya adalah V_th·R_m/(R_m+R_th), dengan tanda yang sama dengan V_th dan besaran tidak lebih besar dari |V_th| untuk resistansi positif. Sumber 10 V dengan R_th=100 kΩ yang dibaca oleh meter 1 MΩ memberikan 10×(1/1.1)=9.09 V, bias rendah 9%. Probe oscilloscope 10× meningkatkan resistansi input efektif dan membagi sinyal menjadi sepuluh; kutip kedua efek tersebut.
• Tahap op-amp non-inverting ideal memiliki penguatan 1+R2/R1; tahap inverting memiliki −R2/R1, dengan tanda dibawa secara eksplisit. Low-pass RC orde pertama memiliki frekuensi potong f_c=1/(2πRC); rasio amplitudonya adalah 1/sqrt(1+(f/f_c)²) dan fasanya adalah −arctan(f/f_c). Pada f=f_c, amplitudo adalah 1/√2 (titik −3 dB), bukan setengah. Untuk R=1 kΩ dan C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.
• Efisiensi detektor ε adalah jumlah event terdeteksi dibagi dengan event insiden; resolusi energi dinyatakan sebagai FWHM/E, misalnya 13.2 keV pada garis 662 keV, sekitar 2%. Detektor non-paralyzable dengan waktu mati τ mencatat m=n/(1+nτ) dari laju sebenarnya n; inversnya memberikan n=m/(1−mτ), yang gagal saat mτ→1. Nyatakan model waktu mati yang Anda asumsikan; perilaku paralyzable berbeda.
• Kalibrasi linear terhadap standar yang diketahui dapat mengoreksi offset dan kesalahan skala; hal ini tidak menghilangkan noise atau menjamin koreksi untuk nonlinearitas. Kurva kalibrasi memetakan nilai yang ditunjukkan ke nilai sebenarnya; interpolasi antara titik-titik mengasumsikan kelokalan halus. Laporkan resolusi dan efisiensi secara terpisah: puncak tajam dengan efisiensi rendah tetap melewatkan event, dan efisiensi tinggi dengan resolusi lebar tetap mencampur garis-garis yang berdekatan.

Contoh terverifikasi

Sumber 12 V dengan hambatan dalam 200 kΩ dibaca oleh meter 1 MΩ menunjukkan 12×(1/1.2)=10.0 V. Filter RC dengan f_c=1 kHz yang digerakkan pada 2 kHz meneruskan amplitudo 1/√5≈0.447. Counter dengan τ=10 μs pada laju sejati 10⁴ /s mencatat 9091 /s; pencatatan 8000 /s dengan τ=20 μs mengimplikasikan n=8000/(1−0.16)≈9524 /s.

Ralat biasa

Memperlakukan cutoff 1/√2 sebagai satu setengah, mengabaikan bahwa meter terbatas membaca rendah melalui pembagi tegangan, atau menerapkan koreksi non-paralyzable di luar jangkauan.

LM.3 · Reduksi radiasi, penguatan laser dan mode rongga

• Partikel bermuatan berat kehilangan energi secara terus-menerus melalui banyak tumbukan kecil, sehingga memiliki rentang perkiraan: di bawah model kehilangan konstan, partikel dengan energi awal E0 dan laju kehilangan dE/dx berhenti setelah tempuh E0/(dE/dx). Elektron mengalami straggling lebih besar dan memancarkan radiasi. Sebaliknya, foton berinteraksi dalam peristiwa tunggal, sehingga sinar sempit meredam secara eksponensial sebagai I=I0 e^(−μx) tanpa kedalaman maksimum tertentu; lapisan setengah nilai adalah ln2/μ.
• Terapkan eksponensial hanya pada geometri sinar sempit yang disebutkan: μ=0.2 /cm memberikan lapisan setengah nilai 3.47 cm dan rasio I/I0=e^(−2)≈0.135 setelah 10 cm. Kalikan dengan efisiensi detektor untuk jumlah hit yang tercatat: dengan μx=ln4 dan ε=0.25, fraksi yang tercatat adalah 0.25×1/4=1/16. Akumulasi dari foton hamburan membuat peredaman sinar lebar mentransmisikan lebih banyak daripada eksponensial sinar sempit; nyatakan geometrinya.
• Stimulated emission produces a photon matching the stimulating photon in frequency, direction and phase, giving coherent amplification. It competes with absorption; net gain needs population inversion N2/g2>N1/g1 (N2>N1 for equal degeneracies). Positive-temperature equilibrium has N2/g2<N1/g1 by the Boltzmann factor, so a two-level system in equilibrium cannot lase continuously; practical lasers pump a third level or a metastable state.
• Rongga linear sepanjang L mendukung mode berdiri dengan L=mλ/2, yaitu frekuensi ν_m=mc/(2L) dengan jarak c/(2L): untuk L=30 cm, jaraknya adalah 500 MHz. Keuntungan harus melebihi kerugian lintasan bolak-balik untuk osilasi. Interferometer seperti Michelson menggunakan koherensi yang sama: jumlah garis interferensi melacak perubahan jalur optik, seperti dalam pengukuran sel gas.

Contoh terverifikasi

Untuk μ=0.2 /cm, lapisan nilai setengah adalah ln2/0.2=3.47 cm, dan tiga lapisan semacam itu meneruskan 1/8. Di bawah model kehilangan konstan 2 MeV/cm, partikel 5 MeV berhenti setelah 2.5 cm; alih-alih, berkas foton mempertahankan ekor eksponensial. Kavitas 25 cm memiliki jarak mode c/(2L)=600 MHz.

Ralat biasa

Menetapkan jangkauan pasti bagi foton atau hukum eksponensial tunggal bagi partikel bermuatan, dan melupakan bahwa populasi dua tingkat kesetimbangan tidak dapat terbalik. Periksa model interaksi mana yang diperlukan oleh spesies berkas.

SN.2 · Diffraksi Bragg dan kapasitas panas gas elektron

• Pemantulan Bragg dari bidang sejajar yang berjarak d terjadi konstruktif ketika 2d sinθ=nλ, dengan θ diukur dari permukaan bidang (sudut menyapu), bukan dari normal. Orde pertama n=1 memberikan sudut terkecil. Untuk λ=0.154 nm dan puncak pada θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. Jika 2d<λ tidak ada orde yang ada; sinus harus tetap pada atau di bawah 1.
• In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.
• Model elektron bebas memasukkan N elektron konduksi ke dalam keadaan hingga vektor gelombang Fermi k_F=(3π²n)^(1/3) untuk densitas jumlah n, memberikan E_F=ℏ²k_F²/(2m). Untuk n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV dan T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Karena T_F jauh melebihi suhu kamar, hanya sebagian elektron sebesar urutan T/T_F yang tereksitasi secara termal.
• Metals therefore have two low-temperature heat-capacity terms: an electronic term γT linear in T and a lattice (Debye) term βT³. Plotting C/T against T² gives intercept γ and slope β. At room temperature the lattice part approaches the classical Dulong–Petit value and dominates; the electronic term matters at low T, where the T³ lattice term collapses faster.

Contoh terverifikasi

Cu Kα λ=0.154 nm with a first-order peak at θ=20° gives d≈0.225 nm; for cubic a=0.4 nm the (110) spacing is 0.283 nm. The free-electron count for n=8.5×10²⁸ /m³ gives E_F≈7.05 eV and T_F≈8.2×10⁴ K, so at 300 K only about 0.4% of electrons are thermally active. In C=γT+βT³, γT is electronic and βT³ is lattice.

Ralat biasa

Mengukur θ dari garis normal bidang alih-alih dari bidang, atau mengasumsikan seluruh kapasitas panas suhu rendah sebagai elektronik. Kondisi sine dan dekomposisi dua suku adalah tempat perhitungan ini gagal.

SN.3 · Energi reaksi, aktivitas dan neraca peluruhan

• Energi reaksi adalah Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 melepaskan energi kinetik. Lacak setiap spesies, dan pertahankan konvensi massa konsisten: massa atom tabel mencakup elektron. Untuk peluruhan β− dan peluruhan α dengan produk helium netral, jumlah elektron atom seimbang langsung; β+ atau penangkapan elektron memerlukan suku massa elektron eksplisit. Gunakan 1 u=931.5 MeV/c².
• Peluruhan alpha ²³⁸U dengan massa atom 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u memberikan Δm=0.0046 u dan Q≈4.28 MeV. Fusi D+T dengan 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u memberikan Q≈17.6 MeV. Reaksi juga membutuhkan keseimbangan muatan dan nomor nukleon: ¹⁴N+α→¹⁷O+p menyeimbangkan 7+2=9 dan 14+4=18.
• Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.
• Dalam rantai A→B→C dengan induk berumur panjang (λ_A≪λ_B), B menumpuk hingga aktivitasnya mendekati aktivitas induk (kesetimbangan sekuler); tulis keseimbangan dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. Kurva energi ikat per nukleon memuncak dekat besi, sehingga fisiksi berat (sekitar 7.6 hingga 8.5 MeV per nukleon atas sekitar 240 nukleon, ordo 200 MeV) dan fusi ringan keduanya melepaskan energi; bandingkan total energi ikat, bukan jumlah nukleon.

Contoh terverifikasi

Peluruhan alfa U-238: Q=(238.0508−234.0436−4.0026)×931.5≈4.28 MeV, sebagian besar dibawa oleh partikel alfa karena kekekalan momentum. Fusi D+T melepaskan ≈17.6 MeV. Sampel dengan T½=2 h dan 6×10¹² atom memiliki A≈5.8×10⁸ Bq. Fisi inti berat melepaskan sebesar (8.5−7.6)×240≈200 MeV.

Ralat biasa

Mencampur massa atomik dan nuklir tanpa melacak elektron, atau melaporkan Q positif untuk reaksi yang membutuhkan input energi. Seimbangkan muatan dan nomor nukleon terlebih dahulu, lalu periksa tanda Q.

MM.1 · Operator koordinat, mode terpisah, dan pembaruan stabil

• Pilih koordinat berdasarkan simetri sebelum menulis operator. Untuk fungsi radial dalam koordinat bola, ∇²f=f″+(2/r)f′, dan divergensi medan radial A=A_r r̂ adalah (1/r²)d(r²A_r)/dr. Periksa: A=k r̂/r² memiliki divergensi (1/r²)dk/dr=0 menjauhi asal, dan f=1/r memenuhi ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 menjauhi asal. Bentuk Kartesius berlaku hanya untuk ketergantungan Kartesius.
• Pemisahan variabel mengubah masalah nilai batas menjadi mode biasa. Untuk dawai yang terikat di kedua ujung, tulis u=X(x)T(t); persamaan gelombang memberikan X″/X=(1/c²)T″/T=−k², ujung-ujung terikat memaksa X=sin(nπx/L), dan frekuensi yang diizinkan adalah ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Setiap mode harus memenuhi syarat batas sebelum penjumlahan atas semua mode.
• Pembaruan Euler eksplisit untuk y′=−λy adalah y_{n+1}=(1−λh)y_n, terbatas ketika |1−λh|≤1, yaitu 0<h≤2/λ for λ>0; peluruhan asimtotik memerlukan 0<h<2/λ. Dengan λ=10 /s, h tidak boleh melebihi 0.2 s; h=0.25 s mengalikan dengan −1.5 setiap langkah dan menyimpang dengan tanda bergantian. Stabilitas adalah sifat dari rekurensi, bukan dari solusi sejati.
• Periksa jawaban numerik dengan tiga cara sebelum mempercayainya: satuan setiap suku (λh harus tak berdimensi), konvergensi saat penyempurnaan (setengahkan h dan bandingkan; kesalahan Euler eksplisit berorde pertama), dan kasus batas dengan jawaban eksak yang diketahui. Untuk y′=−4y dengan y0=8 dan h=0.2, lima langkah menghasilkan 8×0.2⁵=0.00256 versus eksak 8e^(−4)≈0.1465: stabil tetapi tidak akurat, jadi perhalus.

Contoh terverifikasi

Radial check: f=1/r gives f″+2f′/r=0 away from the origin. A string with L=0.5 m and c=100 m/s has f₁=c/(2L)=100 Hz. Euler stability for λ=10 /s needs h≤0.2 s; refining y′=−4y with y(0)=8 at t=1 s, from h=0.2 to 0.1 to 0.05 gives 0.00256, 0.0483, 0.0922, approaching the exact 0.1465.

Ralat biasa

Menerapkan Laplacian Kartesius pada fungsi radial, menjumlahkan mode yang melanggar syarat batas, atau memanggil jalanan yang terlihat terbatas sebagai konvergen tanpa merefinasi langkah. Cocokkan operator, batas, dan kondisi stabilitas dengan masalah sebenarnya.