4MA1: catatan pengajaran kursus
Versi: Edisi 2, November 2017; penilaian pertama Juni 2018; Matematika A linear
Ini adalah catatan pengajaran asli, dan setiap pelajaran diberi label sesuai tingkatan.
1 · Aritmatika eksak dan estimasi · Dasar
Bisakah kita mengemas tanpa sisa?
- Seorang pemasok mengemas 72 pensil dan 90 pulpen ke dalam tas hadiah yang identik. Bagaimana cara menghindari sisa-sisa?
- Pelajaran ini mempelajari faktor prima: bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
Metode tersebut
- Faktor prima mengungkap struktur bersama.
- Gunakan pangkat faktor prima terkecil yang sama untuk FPB dan terbesar untuk KPK.
- Perkirakan sebelum menghitung; gunakan tanda kurung untuk mempertahankan urutan operasi.
Contoh terarah
$$72=2^3\times3^2,\quad90=2\times3^2\times5,\quad\mathrm{HCF}=18$$
Contoh
72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pulpen masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360.
Di mana letak kesalahannya
- FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
- Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda.
- Estimasi desimal bukan pecahan eksak.
Hati-hati
Tidak benar: FPB dari dua bilangan bulat positif lebih besar dari salah satu bilangan tersebut. FPB membagi kedua bilangan, sehingga tidak pernah bisa lebih besar dari yang terkecil: FPB dari 72 dan 90 adalah 18.
Menerapkannya
- Untuk soal tanpa kalkulator, pertahankan pecahan eksak dan tunjukkan penyederhanaan.
- Untuk soal dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tier Dasar, bagian spesifikasi 1.
Ide utama
- Faktor prima: Bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
- Faktor prima mengungkap struktur bersama.
- Perhatikan: FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
1 · Aritmatika eksak dan estimasi · Lanjut
Bisakah kita mengemas tanpa sisa?
- Seorang pemasok mengemas 72 pensil dan 90 pulpen ke dalam tas hadiah yang identik. Bagaimana cara menghindari sisa-sisa?
- Pelajaran ini mempelajari faktor prima: bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
Metode tersebut
- Faktor prima mengungkap struktur bersama.
- Gunakan pangkat faktor prima terkecil yang sama untuk FPB dan terbesar untuk KPK.
- Perkirakan sebelum menghitung; gunakan tanda kurung untuk mempertahankan urutan operasi.
Contoh terarah
$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$
Contoh
72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pulpen masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360.
Di mana letak kesalahannya
- FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
- Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda.
- Estimasi desimal bukan pecahan eksak.
Hati-hati
Tidak benar: FPB dari dua bilangan bulat positif lebih besar dari salah satu bilangan tersebut. FPB membagi kedua bilangan, sehingga tidak pernah bisa lebih besar dari yang terkecil: FPB dari 72 dan 90 adalah 18.
Menerapkannya
- Untuk soal tanpa kalkulator, pertahankan pecahan eksak dan tunjukkan penyederhanaan.
- Untuk soal dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tier Lanjutan, bagian spesifikasi 1.
Ide utama
- Faktor prima: Bilangan prima yang membagi bilangan bulat secara tepat.
- Faktor prima mengungkap struktur bersama.
- Perhatikan: FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya.
1 · Eksponen bulat dan notasi ilmiah · Dasar
Sekecil apa panjang mikroskopis?
- Mikrokop merekam panjang 0.000072 meter. Representasi ringkas harus mempertahankan ukurannya tetap benar.
- Pelajaran ini mempelajari indeks: Pangkat ke mana basis dinaikkan.
Metode tersebut
- Gunakan pangkat bulat, akar kuadrat dan kubik, serta notasi baku dengan 1≤a<10.
- Saat mengalikan bilangan berpangkat dengan basis yang sama, jumlahkan indeksnya; saat pembagian, kurangkan indeksnya.
Contoh terarah
$$a^m a^n=a^{m+n}$$
Contoh
0.000072=7.2×10^(-5). Juga 2³×2⁴=2⁷=128. Akar kuadrat dari 81 adalah 9. Periksa jawaban bentuk standar dengan menuliskannya sebagai desimal.
Di mana letak kesalahannya
- Hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7.
- Jangan membulatkan bentuk akar ketika jawaban eksak diminta.
Hati-hati
Tidak benar: Untuk setiap a positif, a^2+a^3 sama dengan a^5. Hukum indeks hanya menjumlahkan pangkat saat suku-suku dikalikan: 2²+2³=12, tetapi 2⁵=32.
Menerapkannya
- Pelajaran Dasar/Inti ini tidak mencakup pangkat pecahan dan rasionalisasi bentuk akar.
- Perkirakan hasil sebelum menggunakan kalkulator dan pertahankan ketelitian yang diminta.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tier Dasar, bagian spesifikasi 1.
Ide utama
- Indeks: Pangkat ke mana basis dinaikkan.
- Gunakan pangkat bulat, akar kuadrat dan kubik, serta notasi baku dengan 1≤a<10.
- Perhatikan: hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7.
1 · Eksponen, bentuk akar, dan notasi ilmiah · Lanjut
Sekecil apa panjang mikroskopis?
- Mikrokop merekam panjang 0.000072 meter. Representasi ringkas harus mempertahankan ukurannya tetap benar.
- Pelajaran ini mempelajari indeks: Pangkat ke mana basis dinaikkan.
Metode tersebut
- Untuk basis positif yang sama, perkalian menjumlahkan indeks dan pembagian menguranginya.
- Indeks negatif berarti resiprokal; indeks pecahan mewakili akar.
- Bentuk baku memiliki 1≤a<10.
Contoh terarah
$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
Contoh
0.000072=7.2×10^(-5). Juga 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Sederhanakan √72=6√2, lalu rasionalkan 1/√2=√2/2.
Di mana letak kesalahannya
- Hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7.
- Jangan membulatkan bentuk akar ketika jawaban eksak diminta.
Hati-hati
Tidak benar: Untuk setiap a positif, a^2+a^3 sama dengan a^5. Hukum indeks hanya menjumlahkan pangkat saat suku-suku dikalikan: 2²+2³=12, tetapi 2⁵=32.
Menerapkannya
- Periksa pangkat sepuluh terhadap jumlah asli.
- Gunakan bentuk akar untuk geometri eksak, dan bulatkan hanya panjang akhir ketika soal meminta desimal.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tier Lanjutan, bagian spesifikasi 1.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Indeks: Pangkat ke mana basis dinaikkan.
- Untuk basis positif yang sama, perkalian menjumlahkan indeks dan pembagian menguranginya.
- Perhatikan: hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7.
1 · Persentase, rasio, dan penalaran proporsional · Dasar
Bisakah kita memulihkan harga asli?
- Sebuah mantel dipotong harganya sebesar 20% menjadi ¥240. Diskon berlaku pada harga asli, bukan pada harga jual.
- Pelajaran ini mempelajari pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
Metode tersebut
- Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
- Balik persentase dengan membagi pengalinya.
- Dalam rasio, temukan terlebih dahulu jumlah total bagian.
Contoh terarah
$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$
Contoh
Misalkan harga asli adalah P. Modelnya adalah harga jual=0.8P. Oleh karena itu P=240/0.8=300. Peningkatan 20% kemudian menghasilkan 240×1.2=288, sehingga kedua perubahan tersebut saling meniadakan.
Di mana letak kesalahannya
- Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
- Mengurangkan persentase kehilangan basis tersebut.
- Untuk perubahan majemuk, kalikan pengalinya; jangan tambahkan persentasenya.
Hati-hati
Tidak benar: Penurunan 20% diikuti kenaikan 20% tidak mengembalikan harga awal. Kenaikan 20% diambil dari jumlah yang lebih kecil: 100×0.8×1.2=96, bukan 100.
Menerapkannya
- Gunakan pengali persentase dan bagilah total ke dalam bagian-bagian rasio.
- Pelajaran Foundation/Core ini menggunakan konteks proporsionalitas linear, bukan metode regresi lanjutan.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tier Dasar, bagian spesifikasi 1.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
- Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
- Perhatikan: Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
1 · Persentase, rasio, dan penalaran proporsional · Lanjut
Bisakah kita memulihkan harga asli?
- Sebuah mantel dipotong harganya sebesar 20% menjadi ¥240. Diskon berlaku pada harga asli, bukan pada harga jual.
- Pelajaran ini mempelajari pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
Metode tersebut
- Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
- Balik persentase dengan membagi pengalinya.
- Dalam rasio, temukan terlebih dahulu jumlah total bagian.
Contoh terarah
$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$
Contoh
Misalkan harga asli adalah P. Modelnya adalah harga jual=0.8P. Oleh karena itu P=240/0.8=300. Peningkatan 20% kemudian menghasilkan 240×1.2=288, sehingga kedua perubahan tersebut saling meniadakan.
Di mana letak kesalahannya
- Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
- Mengurangkan persentase kehilangan basis tersebut.
- Untuk perubahan majemuk, kalikan pengalinya; jangan tambahkan persentasenya.
Hati-hati
Tidak benar: Penurunan 20% diikuti kenaikan 20% tidak mengembalikan harga awal. Kenaikan 20% diambil dari jumlah yang lebih kecil: 100×0.8×1.2=96, bukan 100.
Menerapkannya
- Untuk proporsional langsung gunakan y=kx; untuk proporsional terbalik gunakan y=k/x.
- Hitung k dari pasangan yang diketahui sebelum menggunakan nilai baru.
- Nyatakan apa yang Anda tetapkan tetap konstan.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tier Lanjutan, bagian spesifikasi 1.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Pengali: Faktor yang melakukan perubahan persentase dalam satu perkalian.
- Peningkatan p% memiliki pengali 1+p/100; penurunan memiliki pengali 1-p/100.
- Perhatikan: Persentase menggunakan basis yang dinyatakan.
1 · Ketepatan, batas, dan ukuran majemuk · Lanjut
Apakah pengukuran yang dicetak tepat?
- Satu panel segi empat tepat diberi label 8.0 cm oleh 5.0 cm, setiap satu hingga kepada 0.1 cm terdekat. Luas aslinya tidak tetap pada 40 cm².
- Pelajaran ini mempelajari batas bawah: Nilai terkecil yang mungkin sesuai dengan aturan pembulatan yang dinyatakan.
Metode tersebut
- Nilai yang dibulatkan ke satuan terdekat u berada dari nilai yang dinyatakan-u/2 hingga, tetapi biasanya tidak termasuk, nilai yang dinyatakan+u/2.
- Untuk kuantitas positif, gabungkan ekstrem sesuai dengan operasi tersebut.
Contoh terarah
$$A=LW,\qquad v=\frac{d}{t}$$
Contoh
Panjang-panjang memenuhi 7.95≤L<8.05 dan 4.95≤W<5.05. Karena A=LW, 39.3525≤A<40.6525. Untuk kecepatan d/t, kecepatan terbesar menggunakan jarak terbesar dan waktu positif terkecil.
Di mana letak kesalahannya
- Batas atas tidak otomatis tercapai.
- Membagi jarak maksimum dengan waktu maksimum tidak menghasilkan kecepatan terbesar.
- Simpan cukup digit dalam perhitungan antara.
Hati-hati
Tidak benar: Nilai terbesar dari d/t positif menggunakan d terbesar dan t terbesar. Agar d/t menjadi sebesar mungkin, gunakan d terbesar dan t terkecil; t yang lebih besar membuat hasil bagi menjadi lebih kecil.
Menerapkannya
- Bedakan ketidakpastian pengukuran dari pembulatan aritmatika.
- Presisi pelaporan yang masuk akal tidak bisa lebih halus daripada yang didukung oleh pengukuran.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tier Lanjutan, bagian spesifikasi 1.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Batas bawah: Nilai terkecil yang konsisten dengan aturan pembulatan yang dinyatakan.
- Nilai yang dibulatkan ke satuan terdekat u berada dari nilai yang dinyatakan-u/2 hingga, tetapi biasanya tidak termasuk, nilai yang dinyatakan+u/2.
- Perhatikan: batas atas tidak otomatis tercapai.
2 · Persamaan, identitas, dan penyusunan ulang · Dasar
Kapan dua rencana biaya menjadi sama?
- Dua rencana seluler costing 20+3x dan 44+x yuan untuk x GB. Kapan keduanya memiliki biaya yang sama?
- Pelajaran ini mempelajari identitas: Kesamaan yang berlaku untuk setiap nilai yang diizinkan oleh variabelnya.
Metode tersebut
- Persamaan meminta input mana yang memenuhi kesamaan; identiti sah untuk semua input yang dibenarkan.
- Kekalkan kesamaan dengan menerapkan operasi yang sama pada kedua-dua belah.
- Nyatakan sekatan sebelum membahagi dengan pemboleh ubah.
Contoh terarah
$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$
Contoh
20+3x=44+x menghasilkan 2x=24 dan x=12. Kedua rencana kemudian costing 56. Dalam A=πr², bagi dengan π dan ambil akar kuadrat positif untuk mendapatkan r=√(A/π), karena r adalah panjang.
Di mana letak kesalahannya
- Membatalkan suku tidak sama dengan memfaktorkan.
- Pada (x²+2x)/x, faktorkan pembilang dan pertahankan x≠0.
- Periksa penyusunan ulang dengan substitusi.
Hati-hati
Tidak benar: Mencoret x dari (x+3)/x menyisakan 3 untuk setiap x nonzero. x adalah suku dari pembilang, bukan faktor, sehingga tidak dapat dicoret: pada x=1, (1+3)/1=4, bukan 3.
Menerapkannya
- Tentukan variabel yang belum diketahui dan susun persamaan linear.
- Periksa jawaban dengan substitusi.
- Batasi pelajaran Foundation/Core ini pada ekspresi dan persamaan sederhana.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Dasar, bagian spesifikasi 2.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Identitas: Kesamaan yang berlaku untuk setiap nilai yang diizinkan dari variabelnya.
- Persamaan meminta input mana yang memenuhi kesamaan; identiti sah untuk semua input yang dibenarkan.
- Perhatikan: membatalkan suku tidak sama dengan memfaktorkan.
2 · Persamaan, identitas, dan penyusunan ulang · Lanjut
Kapan dua rencana biaya menjadi sama?
- Dua rencana seluler costing 20+3x dan 44+x yuan untuk x GB. Kapan keduanya memiliki biaya yang sama?
- Pelajaran ini mempelajari identitas: Kesamaan yang berlaku untuk setiap nilai yang diizinkan oleh variabelnya.
Metode tersebut
- Persamaan meminta input mana yang memenuhi kesamaan; identiti sah untuk semua input yang dibenarkan.
- Kekalkan kesamaan dengan menerapkan operasi yang sama pada kedua-dua belah.
- Nyatakan sekatan sebelum membahagi dengan pemboleh ubah.
Contoh terarah
$$C_1=20+3x,\qquad C_2=44+x,\qquad C_1=C_2$$
Contoh
20+3x=44+x menghasilkan 2x=24 dan x=12. Kedua rencana kemudian costing 56. Dalam A=πr², bagi dengan π dan ambil akar kuadrat positif untuk mendapatkan r=√(A/π), karena r adalah panjang.
Di mana letak kesalahannya
- Membatalkan suku tidak sama dengan memfaktorkan.
- Pada (x²+2x)/x, faktorkan pembilang dan pertahankan x≠0.
- Periksa penyusunan ulang dengan substitusi.
Hati-hati
Tidak benar: Mencoret x dari (x+3)/x menyisakan 3 untuk setiap x nonzero. x adalah suku dari pembilang, bukan faktor, sehingga tidak dapat dicoret: pada x=1, (1+3)/1=4, bukan 3.
Menerapkannya
- Susun persamaan dari satuan dan makna variabel yang belum diketahui.
- Solusi negatif atau pecahan mungkin benar secara aljabar tetapi mustahil untuk penghitungan.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 2.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Identitas: Kesamaan yang berlaku untuk setiap nilai yang diizinkan dari variabelnya.
- Persamaan meminta input mana yang memenuhi kesamaan; identiti sah untuk semua input yang dibenarkan.
- Perhatikan: membatalkan suku tidak sama dengan memfaktorkan.
2 · Pemfaktoran dan penyelesaian kuadrat sederhana · Dasar
Lebar mana yang memberikan ruang cukup?
- Satu pengkurungan segi empat tepat mempunyai luas x(10-x). Lebar manakah yang memberikan sekurang-kurangnya 21 meter persegi?
- Pelajaran ini mempelajari diskriminan: Besaran b²-4ac yang menentukan akar real dari ax²+bx+c=0.
Metode tersebut
- Jabarkan kurung dan faktorkan kuadrat sederhana.
- Selesaikan dengan menyamakan setiap faktor dengan nol, dan gunakan grafik untuk menafsirkan akar.
Contoh terarah
$$(x-3)(x-7)=0$$
Contoh
x²-10x+21=(x-3)(x-7). Oleh karena itu persamaan x²-10x+21=0 memiliki akar 3 dan 7. Periksalah setiap akar dengan substitusi dan tandai kedua titik potong pada grafik.
Di mana letak kesalahannya
- Mengalikan pertidaksamaan dengan bilangan negatif membalikkan arahnya.
- Sketsa harus menunjukkan sisi mana dari setiap akar yang memenuhi pertidaksamaan.
- Geometri dapat membatasi x lebih lanjut.
Hati-hati
Tidak benar: Diskriminan positif berarti persamaan kuadrat tidak memiliki akar real. Diskriminan positif berarti dua akar real berbeda; diskriminan negatif berarti tidak ada akar real.
Menerapkannya
- Pelajaran ini (Dasar/Inti) menggunakan faktorisasi dan akar grafikal; diskriminan, rumus kuadrat, dan ketaksamaan kuadrat dikhususkan untuk tingkatan lanjutan.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Dasar, bagian spesifikasi 2.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Diskriminan: Nilai b²-4ac yang menentukan akar-akar real dari ax²+bx+c=0.
- Jabarkan kurung dan faktorkan kuadrat sederhana.
- Waspadai: mengalikan pertidaksamaan dengan bilangan negatif membalikkan arahnya.
2 · Kuadrat dan pertidaksamaan · Lanjut
Lebar mana yang memberikan ruang cukup?
- Satu pengkurungan segi empat tepat mempunyai luas x(10-x). Lebar manakah yang memberikan sekurang-kurangnya 21 meter persegi?
- Pelajaran ini mempelajari diskriminan: Besaran b²-4ac yang menentukan akar real dari ax²+bx+c=0.
Metode tersebut
- Faktorkan jika memungkinkan; jika tidak, kuadratkan sempurna atau gunakan rumus kuadrat.
- Ketaksamaan kuadrat memerlukan tanda pada interval, bukan hanya akarnya.
- Diskriminan mengidentifikasi akar ganda atau hilang.
Contoh terarah
$$ax^2+bx+c=0,\qquad \Delta=b^2-4ac$$
Contoh
Kondisinya adalah x(10-x)≥21, sehingga x²-10x+21≤0. Faktorkan (x-3)(x-7)≤0. Parabola terbuka ke atas bernilai nonpositif di antara akarnya, memberikan 3≤x≤7. Luas maksimum adalah 25 pada x=5.
Di mana letak kesalahannya
- Mengalikan pertidaksamaan dengan bilangan negatif membalikkan arahnya.
- Sketsa harus menunjukkan sisi mana dari setiap akar yang memenuhi pertidaksamaan.
- Geometri dapat membatasi x lebih lanjut.
Hati-hati
Tidak benar: Diskriminan positif berarti persamaan kuadrat tidak memiliki akar real. Diskriminan positif berarti dua akar real berbeda; diskriminan negatif berarti tidak ada akar real.
Menerapkannya
- Gunakan titik puncak untuk menginterpretasikan nilai optimum.
- Periksa titik akhir dan titik di antara akar-akar; aljabar dan grafik harus menceritakan hal yang sama.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 2.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Diskriminan: Nilai b²-4ac yang menentukan akar-akar real dari ax²+bx+c=0.
- Faktorkan jika memungkinkan; jika tidak, kuadratkan sempurna atau gunakan rumus kuadrat.
- Waspadai: mengalikan pertidaksamaan dengan bilangan negatif membalikkan arahnya.
2 · Persamaan simultan dan daerah layak · Dasar
Bisakah satu persamaan menentukan dua jumlah?
- Dua jenis tiket menghasilkan total sejumlah uang. Satu persamaan tidak dapat mengidentifikasi kedua jumlah yang tidak diketahui tersebut.
- Pelajaran ini mempelajari eliminasi: Menggabungkan persamaan untuk menghilangkan satu variabel sambil mempertahankan solusi yang sama.
Metode tersebut
- Untuk dua persamaan linear, gunakan eliminasi atau substitusi dan periksa kedua persamaan.
- Untuk garis dan kuadrat, substitusikan hubungan linear terlebih dahulu; kemudian selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan.
- Untuk pertidaksamaan, arsir daerah yang memenuhi setiap kondisi.
Contoh terarah
$$x+y=12,\qquad 3x+2y=31$$
Contoh
Jika x+y=12 dan 3x+2y=31, kurangi dua kali persamaan pertama dari persamaan kedua untuk mendapatkan x=7, lalu y=5. Untuk y=x+1 dan y=x²-1, x²-x-2=0 memberikan x=2 atau -1, dengan y=3 atau 0.
Di mana letak kesalahannya
- Memeriksa satu persamaan saja tidak cukup.
- Garis dapat memotong kurva kuadrat dua kali, jadi pertahankan kedua solusi kecuali konteks menyingkirkan salah satunya.
- Batas pertidaksamaan mungkin termasuk atau tidak sesuai tanda.
Hati-hati
Tidak benar: Pasangan persamaan simultan diselesaikan dengan memeriksa hanya salah satu persamaan. Solusi harus memenuhi kedua persamaan; periksa pada masing-masing.
Menerapkannya
- Definisikan variabel dan satuannya.
- Jika menghitung objek, keduanya harus berupa bilangan bulat nonnegatif.
- Untuk daerah layak, uji satu titik pada sisi yang diperlukan dari setiap batas, lalu ambil irisannya.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Dasar, bagian spesifikasi 2.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Eliminasi: Menggabungkan persamaan untuk menghilangkan satu variabel sambil mempertahankan solusi yang sama.
- Untuk dua persamaan linear, gunakan eliminasi atau substitusi dan periksa kedua persamaan.
- Perhatikan: memeriksa satu persamaan saja tidak cukup.
2 · Persamaan simultan dan daerah layak · Tingkat Lanjut
Bisakah satu persamaan menentukan dua jumlah?
- Dua jenis tiket menghasilkan total sejumlah uang. Satu persamaan tidak dapat mengidentifikasi kedua jumlah yang tidak diketahui tersebut.
- Pelajaran ini mempelajari eliminasi: Menggabungkan persamaan untuk menghilangkan satu variabel sambil mempertahankan solusi yang sama.
Metode tersebut
- Untuk dua persamaan linear, gunakan eliminasi atau substitusi dan periksa kedua persamaan.
- Untuk garis dan kuadrat, substitusikan hubungan linear terlebih dahulu; kemudian selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan.
- Untuk pertidaksamaan, arsir daerah yang memenuhi setiap kondisi.
Contoh terarah
$$x+y=12,\qquad 3x+2y=31$$
Contoh
Jika x+y=12 dan 3x+2y=31, kurangi dua kali persamaan pertama dari persamaan kedua untuk mendapatkan x=7, lalu y=5. Untuk y=x+1 dan y=x²-1, x²-x-2=0 memberikan x=2 atau -1, dengan y=3 atau 0.
Di mana letak kesalahannya
- Memeriksa satu persamaan saja tidak cukup.
- Garis dapat memotong kurva kuadrat dua kali, jadi pertahankan kedua solusi kecuali konteks menyingkirkan salah satunya.
- Batas pertidaksamaan mungkin termasuk atau tidak sesuai tanda.
Hati-hati
Tidak benar: Pasangan persamaan simultan diselesaikan dengan memeriksa hanya salah satu persamaan. Solusi harus memenuhi kedua persamaan; periksa pada masing-masing.
Menerapkannya
- Definisikan variabel dan satuannya.
- Jika menghitung objek, keduanya harus berupa bilangan bulat nonnegatif.
- Untuk daerah layak, uji satu titik pada sisi yang diperlukan dari setiap batas, lalu ambil irisannya.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 2.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Eliminasi: Menggabungkan persamaan untuk menghilangkan satu variabel sambil mempertahankan solusi yang sama.
- Untuk dua persamaan linear, gunakan eliminasi atau substitusi dan periksa kedua persamaan.
- Perhatikan: memeriksa satu persamaan saja tidak cukup.
3 · Barisan aritmatika dan suku ke-n · Dasar
Apakah perubahan bersifat penjumlahan atau perkalian?
- Rencana tabungan menambah ¥30 lebih banyak setiap minggu; model populasi tumbuh sebesar 5% setiap tahun. Selisih yang sama dan rasio yang sama memerlukan model yang berbeda.
- Pelajaran ini mempelajari beda umum: Konstanta yang ditambahkan antar suku berurutan dalam barisan aritmetika.
Metode tersebut
- Temukan beda konstan untuk barisan aritmetika.
- Suku ke-n-nya adalah a+(n-1)d.
- Aturan suku-ke-suku menjelaskan cara mencapai suku berikutnya; aturan posisi-ke-suku memberikan suku secara langsung.
Contoh terarah
$$u_n=a+(n-1)d$$
Contoh
Untuk 5,8,11,14,... beda umumnya adalah 3. Suku ke-n adalah 5+3(n-1)=3n+2. Pada n=8, u₈=26. Untuk menemukan posisi dari 62, selesaikan 3n+2=62, menghasilkan n=20.
Di mana letak kesalahannya
- Suku pertama berindeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
- Barisan adalah daftar; deret adalah jumlah.
- Barisan geometri dapat bergantian tanda dan tetap konvergen.
Hati-hati
Tidak benar: Suku pertama dari suatu barisan memiliki indeks nol. Jumlah tak hingga hanya ada ketika −1<r<1; untuk r=2 suku-sukunya tumbuh tanpa batas.
Menerapkannya
- Hasilkan beberapa suku dan periksa dugaan rumus suku ke-n.
- Deret geometri tak hingga dan rumus jumlah tingkat lanjut dikecualikan dari pelajaran Foundation/Core ini.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tingkat Dasar, bagian spesifikasi 3.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Beda: Konstanta yang ditambahkan antara suku-suku berturutan dalam barisan aritmetika.
- Temukan beda konstan untuk barisan aritmetika.
- Perhatikan: suku pertama memiliki indeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
3 · Barisan, deret, dan rekurensi · Tingkat Lanjut
Apakah perubahan bersifat penjumlahan atau perkalian?
- Rencana tabungan menambah ¥30 lebih banyak setiap minggu; model populasi tumbuh sebesar 5% setiap tahun. Selisih yang sama dan rasio yang sama memerlukan model yang berbeda.
- Pelajaran ini mempelajari rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut dalam barisan geometri.
Metode tersebut
- Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
- Untuk barisan geometri, u_n=ar^(n-1) dan S_n=a(1-r^n)/(1-r).
- Jumlah tak hingga barisan geometri hanya ada jika |r|<1.
Contoh terarah
$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$
Contoh
Untuk a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 dan S_8=8(10+21)/2=124. Untuk a=12,r=1/2, jumlah tak hingga S=12/(1-1/2)=24. Untuk u_(n+1)=2u_n+1 dengan u_1=1, suku berikutnya adalah 3,7,15.
Di mana letak kesalahannya
- Suku pertama berindeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
- Barisan adalah daftar; deret adalah jumlah.
- Barisan geometri dapat bergantian tanda dan tetap konvergen.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap deret geometri memiliki jumlah tak hingga yang terbatas. Jumlah tak hingga hanya ada ketika −1<r<1; untuk r=2 suku-sukunya membesar tanpa batas.
Menerapkannya
- Jelaskan apakah konteks membenarkan perubahan aditif atau perkalian.
- Dalam keuangan, bedakan setoran tunggal dari serangkaian setoran sebelum memilih rumus jumlah.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 3.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Rasio umum: Pengali konstan antara suku-suku berturut-turut pada barisan geometri.
- Untuk barisan aritmatika, u_n=a+(n-1)d dan S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
- Perhatikan: suku pertama memiliki indeks 1, sehingga eksponennya adalah n-1.
3 · Garis lurus dan kecerunan · Asas
Bagaimana kemiringan lintasan menjadi sebuah persamaan?
- Sebuah lintasan naik 6 meter dalam jarak horizontal 3 meter. Gradiennya menghubungkan diagram dengan persamaan.
- Pelajaran ini mempelajari gradien: Perubahan y dibagi dengan perubahan x yang bersesuaian.
Metode tersebut
- Gradien adalah perubahan y dibagi perubahan x.
- Garis lurus memiliki persamaan y=mx+c, di mana c adalah titik potongnya dengan sumbu-y.
- Garis sejajar memiliki gradien yang sama.
Contoh terarah
$$y=mx+c$$
Contoh
Melalui (2,5) dengan gradien 3, substitusikan untuk mendapatkan 5=3×2+c, sehingga c=-1 dan y=3x-1. Titik (1,2) dan (4,8) memberikan gradien (8-2)/(4-1)=2.
Di mana letak kesalahannya
- Garis vertikal tidak memiliki gradien hingga; jangan memaksakan bentuk y=mx+c.
- Perhatikan tanda pusat lingkaran dengan cermat.
- Jari-jari yang menyentuh garis singgung tegak lurus terhadap garis singgung tersebut.
Hati-hati
Tidak benar: Garis nonvertikal yang saling tegak lurus memiliki gradien yang sama. Gradien saling tegak lurus dikalikan menghasilkan −1: gradien 2 memerlukan −1/2. Garis sejajar memiliki gradien yang sama.
Menerapkannya
- Gambarlah garis lurus menggunakan dua titik yang telah diverifikasi dan tandai titik potongnya.
- Rumus gradien tegak lurus dan persamaan lingkaran tidak termasuk dalam pelajaran Foundation/Core ini.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tingkat Dasar, bagian spesifikasi 3.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Gradien: Perubahan nilai y dibagi dengan perubahan nilai x yang sesuai.
- Gradien adalah perubahan y dibagi perubahan x.
- Waspadai: Garis vertikal tidak memiliki gradien hingga; jangan memaksakan bentuk y=mx+c.
3 · Geometri koordinat dan garis singgung · Tingkat Lanjut
Bagaimana kemiringan lintasan menjadi sebuah persamaan?
- Sebuah lintasan naik 6 meter dalam jarak horizontal 3 meter. Gradiennya menghubungkan diagram dengan persamaan.
- Pelajaran ini mempelajari gradien: Perubahan y dibagi dengan perubahan x yang bersesuaian.
Metode tersebut
- Garis melalui (x₁,y₁) dengan gradien m memiliki persamaan y-y₁=m(x-x₁).
- Garis sejajar memiliki gradien yang sama.
- Gradien tegak lurus hingga perkaliannya menghasilkan -1.
- Persamaan lingkaran adalah (x-a)²+(y-b)²=r².
Contoh terarah
$$y-y_1=m(x-x_1),\qquad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Contoh
Melalui (2,5) dengan gradien 3, y-5=3(x-2), sehingga y=3x-1. Garis tegak lurus melalui titik yang sama memiliki persamaan y-5=-(x-2)/3. Lingkaran (x-2)²+(y+1)²=25 memiliki pusat (2,-1) dan jari-jari 5.
Di mana letak kesalahannya
- Garis vertikal tidak memiliki gradien hingga; jangan memaksakan bentuk y=mx+c.
- Perhatikan tanda pusat lingkaran dengan cermat.
- Jari-jari yang menyentuh garis singgung tegak lurus terhadap garis singgung tersebut.
Hati-hati
Tidak benar: Garis nonvertikal yang saling tegak lurus memiliki gradien yang sama. Gradien saling tegak lurus dikalikan menghasilkan −1: gradien 2 memerlukan −1/2. Garis sejajar memiliki gradien yang sama.
Menerapkannya
- Sebelum menyelesaikan perpotongan garis dan lingkaran, perkirakan apakah ada nol, satu, atau dua titik potong.
- Substitusi menghasilkan persamaan kuadrat yang diskriminannya mengonfirmasi prediksi tersebut.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 3.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Gradien: Perubahan nilai y dibagi dengan perubahan nilai x yang sesuai.
- Garis melalui (x₁,y₁) dengan gradien m memiliki persamaan y-y₁=m(x-x₁).
- Waspadai: Garis vertikal tidak memiliki gradien hingga; jangan memaksakan bentuk y=mx+c.
3 · Domain, invers, dan komposisi · Tingkat Lanjut
Input mana yang diizinkan?
- Model akar kuadrat menghasilkan output real hanya untuk beberapa input. Rumusnya saja tidak menentukan fungsi lengkap.
- Pelajaran ini mempelajari domain: Himpunan input yang diizinkan untuk suatu fungsi.
Metode tersebut
- Nyatakan domain dan rentang.
- Untuk invers, pastikan fungsi tersebut satu-satu pada domainnya terlebih dahulu.
- Komposisi fg berarti terapkan g terlebih dahulu, lalu f; output perantara harus menjadi input yang diperbolehkan untuk f.
Contoh terarah
$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
Contoh
Untuk f(x)=√(x-2), x≥2 dan jangkauannya adalah y≥0. Dari y=√(x-2), diperoleh x=y²+2. Dengan demikian f invers(x)=x²+2 dengan x≥0. Untuk g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Di mana letak kesalahannya
- Memangkatkan dua dapat memasukkan solusi ekstraneous (luar).
- Membatasi domain parabola sangat penting sebelum mengklaim adanya fungsi invers.
- Translasi horizontal di dalam f memiliki tanda berlawanan dengan pergerakan grafiknya.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap fungsi kuadrat pada seluruh bilangan real memiliki fungsi invers. Kuadrat pada seluruh bilangan real adalah banyak-ke-satu (f(1)=f(−1) untuk x²), sehingga domainnya harus dibatasi terlebih dahulu.
Menerapkannya
- Periksa f(f invers(x))=x pada domain invers.
- Gunakan sketsa untuk menguji apakah garis horizontal memotong grafik asli lebih dari sekali.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 3.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Domain: himpunan input yang diperbolehkan untuk suatu fungsi.
- Nyatakan domain dan rentang.
- Waspadai: memangkatkan dua dapat memasukkan solusi ekstraneous (luar).
3 · Turunan dan titik stasioner · Tingkat Lanjut
Apa kemiringan pada satu titik?
- Jalan melengkung memiliki kemiringan berbeda di posisi yang berbeda. Gradien rata-rata tidak dapat menggambarkan setiap titik.
- Pelajaran ini mempelajari turunan: Laju perubahan instan, juga gradien garis singgung.
Metode tersebut
- Untuk suku polinomial ax^n dengan bilangan bulat tak negatif n, suku gradiennya adalah anx^(n-1).
- Jumlahkan suku-suku yang telah diturunkan.
- Titik stasioner memiliki gradien nol.
Contoh terarah
$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$
Contoh
Untuk y=x³-3x, turunan dy/dx=3x²-3. Pada x=1, gradiennya adalah 0 dan y=-2. Turunan keduanya adalah 6x, positif pada x=1, sehingga ini adalah minimum lokal. Pada x=-1, y=2 dan turunan keduanya negatif, memberikan maksimum lokal.
Di mana letak kesalahannya
- Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.
- Titik ujung juga dapat menghasilkan nilai ekstrem pada domain terbatas.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap titik dengan turunan nol adalah maksimum lokal atau minimum. Turunan nol juga bisa menjadi titik belok: y=x³ pada x=0 bukan maksimum maupun minimum.
Menerapkannya
- Pelajaran IGCSE tingkat lanjut ini terbatas pada diferensiasi polinomial, gradien garis singgung, dan titik stasioner.
- Diferensiasi rantai, perkalian, pembagian, dan implisit tidak termasuk.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 3.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Turunan: Tingkat perubahan sesaat, juga kemiringan garis singgung.
- Untuk suku polinomial ax^n dengan bilangan bulat tak negatif n, suku gradiennya adalah anx^(n-1).
- Perhatikan: Turunan nol tidak selalu berarti maksimum atau minimum: y=x³ stasioner di 0 tetapi terus meningkat.
4 · Sudut, panjang, dan luas · Dasar
Apakah volume membesar sebanding dengan panjang?
- Sebuah model memiliki panjang sepertiga dari objek aslinya. Berapa kali lebih kecil luas dan volumenya?
- Pelajaran ini mempelajari faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang yang bersesuaian pada bangun yang serupa.
Metode tersebut
- Gunakan fakta sudut dengan alasan yang dinyatakan.
- Bangun sebangsa memiliki sudut bersesuaian yang sama dan panjang bersesuaian yang proporsional.
- Luas persegi panjang dan segitiga berasal dari dimensinya; bangun majemuk dapat dibagi menjadi bagian yang lebih sederhana.
Contoh terarah
$$A_{\mathrm{rectangle}}=LW,\quad A_{\mathrm{triangle}}=\frac12 bh$$
Contoh
Sebuah persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 5 cm memiliki luas A=LW=40 cm². Segitiga dengan alas dan tinggi yang sama memiliki luas A=bh/2=20 cm². Untuk pentagon, jumlah sudut dalamnya adalah (5-2)×180=540°.
Di mana letak kesalahannya
- Sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.
- Gunakan panjang bersesuaian dalam urutan yang sama.
- Konversi satuan linear sebelum menghitung luas atau volume, atau kuadratkan/kubikkan faktor konversi dengan benar.
Hati-hati
Tidak benar: Segitiga dan persegi panjang dengan alas dan tinggi yang sama memiliki luas yang sama. Volume dikalikan dengan pangkat tiga dari faktor panjang: menggandakan setiap panjang mengalikan volume dengan 8.
Menerapkannya
- Gunakan sketsa berlabel dan satuan yang sesuai.
- Pelajaran Foundation/Core ini tidak menguji faktor skala luas/volume atau pembuktian teorema lingkaran tingkat lanjut.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Dasar, bagian spesifikasi 4.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang bersesuaian pada bangun-bangun sebangsa.
- Gunakan fakta sudut dengan alasan yang dinyatakan.
- Waspadai: sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.
4 · Penalaran sudut, kesamaan, dan pengukuran geometri · Tingkat Lanjut
Apakah volume membesar sebanding dengan panjang?
- Sebuah model memiliki panjang sepertiga dari objek aslinya. Berapa kali lebih kecil luas dan volumenya?
- Pelajaran ini mempelajari faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang yang bersesuaian pada bangun yang serupa.
Metode tersebut
- Untuk bangun yang serupa dengan faktor skala panjang k, luas berskala oleh k² dan volume oleh k³.
- Nyatakan alasan sudut secara eksplisit.
- Garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari pada titik sentuhnya.
Contoh terarah
$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$
Contoh
Jika faktor panjang model ke asli adalah 3, luas model 12 cm² menghasilkan 12×3²=108 cm² dan volume model 8 cm³ menghasilkan 8×3³=216 cm³. Silinder dengan r=3, h=5 memiliki volume πr²h=45π.
Di mana letak kesalahannya
- Sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.
- Gunakan panjang bersesuaian dalam urutan yang sama.
- Konversi satuan linear sebelum menghitung luas atau volume, atau kuadratkan/kubikkan faktor konversi dengan benar.
Hati-hati
Tidak benar: Mengalikan setiap panjang benda padat dua kali lipat akan menggandakan volumenya. Volume berskala dengan pangkat tiga dari faktor panjang: mengalikan setiap panjang dua kali lipat akan mengalikan volume dengan 8.
Menerapkannya
- Bukti geometri harus menyebutkan teorema yang relevan, mengidentifikasi sudut atau rasio yang sama, dan menarik kesimpulan.
- Gambar skala hanya merupakan bukti ketika tugas memungkinkan pengukuran.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 4.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Faktor skala: Pengali yang menghubungkan panjang bersesuaian pada bangun-bangun sebangsa.
- Untuk bangun yang serupa dengan faktor skala panjang k, luas berskala oleh k² dan volume oleh k³.
- Waspadai: sudut yang sama saja menetapkan kesebangunan, bukan kesamaan ukuran.
4 · Segitiga siku-siku dan segitiga tak siku-siku · Dasar
Sisi mana yang perlu tangga?
- Tangga mencapai ketinggian 4 m sementara kakinya berada 3 m dari dinding. Sisi mana yang diketahui, dan sudut mana yang perlu kita cari?
- Pelajaran ini mempelajari hipotenusa: sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
Metode tersebut
- Gunakan Pythagoras dalam segitiga siku-siku dan gunakan sinus, kosinus, atau tangen dengan sisi yang diberi label relatif terhadap sudut yang dipilih.
Contoh terarah
$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$
Contoh
Panjang tangga adalah c=√(3²+4²)=5 m. Sudutnya terhadap tanah memenuhi tanθ=4/3, sehingga θ≈53.1°. Segitiga siku-siku dengan kaki-kaki 6 dan 8 memiliki luas 6×8/2=24.
Di mana letak kesalahannya
- Beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.
- Pythagoras memerlukan sudut siku-siku.
- Kesalahan mode sudut pada kalkulator dapat menghasilkan jawaban yang masuk akal namun salah.
- Simpan nilai yang tidak dibulatkan untuk langkah selanjutnya.
Hati-hati
Tidak benar: Pythagoras berlaku untuk setiap segitiga, termasuk segitiga tanpa sudut siku-siku. Pythagoras memerlukan sudut siku-siku; untuk segitiga lainnya gunakan aturan kosinus.
Menerapkannya
- Pelajaran Foundation/Core ini hanya menggunakan segitiga siku-siku.
- Aturan sinus dan kosinus untuk segitiga bukan siku-siku termasuk dalam pelajaran tier lanjut.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Dasar, bagian spesifikasi 4.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Miring: Sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
- Gunakan Pythagoras dalam segitiga siku-siku dan gunakan sinus, kosinus, atau tangen dengan sisi yang diberi label relatif terhadap sudut yang dipilih.
- Perhatikan: beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.
4 · Segitiga siku-siku dan segitiga tak siku-siku · Tingkat Lanjut
Sisi mana yang perlu tangga?
- Tangga mencapai ketinggian 4 m sementara kakinya berada 3 m dari dinding. Sisi mana yang diketahui, dan sudut mana yang perlu kita cari?
- Pelajaran ini mempelajari hipotenusa: sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
Metode tersebut
- Pada segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=sisi depan/miring, cosθ=sisi samping/miring dan tanθ=sisi depan/samping.
- Untuk segitiga lainnya, gunakan aturan sinus atau kosinus, atau luas=ab sin C/2.
Contoh terarah
$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$
Contoh
Panjang tangga adalah c=√(3²+4²)=5 m. Sudutnya terhadap tanah memenuhi tanθ=4/3, sehingga θ≈53.1°. Dengan dua sisi 6 dan 8 yang membentuk sudut 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.
Di mana letak kesalahannya
- Beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.
- Pythagoras memerlukan sudut siku-siku.
- Kesalahan mode sudut pada kalkulator dapat menghasilkan jawaban yang masuk akal namun salah.
- Simpan nilai yang tidak dibulatkan untuk langkah selanjutnya.
Hati-hati
Tidak benar: Pythagoras berlaku untuk setiap segitiga, termasuk segitiga tanpa sudut siku-siku. Pythagoras memerlukan sudut siku-siku; untuk segitiga lainnya gunakan aturan kosinus.
Menerapkannya
- Gunakan gambar rencana atau elevasi untuk masalah tiga dimensi sebelum menerapkan aturan segitiga.
- Jelaskan mengapa segitiga yang dipilih memuat panjang atau sudut yang diperlukan.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 4.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Miring: Sisi di depan sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku.
- Pada segitiga siku-siku a²+b²=c²; sinθ=sisi depan/miring, cosθ=sisi samping/miring dan tanθ=sisi depan/samping.
- Perhatikan: beri label sisi relatif terhadap sudut yang dipilih.
4 · Teorema lingkaran dan pembuktian beralasan · Tingkat Lanjut
Sudut mana yang melihat tali busur yang sama?
- Dua pengamat melihat tali busur yang sama dari lingkaran. Sudut mereka saling terkait melalui teorema alih-alih melalui ukuran semu gambar.
- Pelajaran ini mempelajari segi empat siklik: segi empat yang keempat-empat sudutnya terletak pada satu bulatan.
Metode tersebut
- Sudut di pusat adalah dua kali sudut di keliling pada busur yang sama.
- Sudut dalam satu tembereng sama besar.
- Sudut berhadapan dalam segiempat siklis berjumlah 180°.
- Jari-jari tegak lurus terhadap garis singgung di titik sentuh.
Contoh terarah
$$\theta_{\mathrm{centre}}=2\theta_{\mathrm{circumference}}$$
Contoh
Jika sudut pusat ialah 100°, sudut yang sepadan di keliling ialah 50°. Dalam segi empat siklik dengan satu sudut 112°, sudut bertentangannya ialah 180-112=68°. Jejari yang bersilang dengan garis singgung menghasilkan sudut 90°, walaupun lukisan kelihatan miring.
Di mana letak kesalahannya
- Identifikasi tali busur yang sama dan busur yang tepat sebelum menggunakan teorema.
- Dua sudut siku-siku yang terlihat tidak membuktikan segiempat siklis tanpa argumen konvers yang valid.
- Diagram tidak harus sesuai skala.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap segiempat memiliki sudut berhadapan yang berjumlah 180°. Sudut berhadapan berjumlah 180° hanya pada segiempat siklis, yaitu yang keempat titiknya terletak pada satu lingkaran.
Menerapkannya
- Tulis satu alasan di samping setiap perhitungan sudut.
- Untuk teorema tembereng ganti, sebutkan garis singgung dan tali busur, lalu identifikasi sudut pada tembereng yang berlawanan.
- Gunakan jari-jari tambahan hanya jika membantu pembuktian.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 4.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Segiempat siklis: Segiempat yang keempat titiknya terletak pada satu lingkaran.
- Sudut di pusat adalah dua kali sudut di keliling pada busur yang sama.
- Waspadai: identifikasi tali busur yang sama dan busur yang tepat sebelum menggunakan teorema.
4 · Konstruksi, locus, dan syarat geometri · Dasar
Di mana kedua kondisi dapat terpenuhi?
- Router harus berada pada jarak yang sama dari dua ruangan dan dalam jangkauan stop kontak. Setiap kondisi menciptakan himpunan posisi yang mungkin berbeda.
- Pelajaran ini mempelajari locus: Himpunan semua titik yang memenuhi suatu kondisi geometris yang dinyatakan.
Metode tersebut
- Titik-titik yang berjarak sama dari A dan B terletak pada garis bagi tegak lurus AB.
- Titik-titik pada jarak tetap r dari C terletak pada sebuah lingkaran.
- Titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang saling berpotongan terletak pada garis bagi sudutnya.
Contoh terarah
$$x=3,\qquad x^2+y^2=25$$
Contoh
Untuk A=(0,0) dan B=(6,0), garis bagi tegak lurusnya adalah x=3. Titik-titik juga 5 unit dari A memenuhi x²+y²=25. Substitusi x=3 menghasilkan y²=16, sehingga (3,4) dan (3,-4) memenuhi kedua kondisi tersebut.
Di mana letak kesalahannya
- Garis bagi tegak lurus berkaitan dengan jarak ke dua titik; garis bagi sudut berkaitan dengan jarak ke dua garis.
- Sketsa bukan konstruksi dengan penggaris dan jangka: pertahankan busur sebagai bukti metode.
Hati-hati
Tidak benar: Titik-titik yang berjarak sama dari dua titik terletak pada garis bagi sudutnya. Titik-titik yang berjarak sama dari dua titik terletak pada garis bagi tegak lurus segmen yang menghubungkannya; garis bagi sudut berjarak sama dari dua garis.
Menerapkannya
- Terjemahkan setiap kondisi menjadi lokus sebelum menemukan titik potong.
- Untuk daerah yang lebih dekat ke A daripada B, pilih sisi yang benar dari garis bagi tegak lurus dan tentukan apakah batas diperbolehkan.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Dasar, bagian spesifikasi 4.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Lokus: Himpunan semua titik yang memenuhi kondisi geometris yang dinyatakan.
- Titik-titik yang berjarak sama dari A dan B terletak pada garis bagi tegak lurus AB.
- Waspadai: garis bagi tegak lurus berkaitan dengan jarak ke dua titik; garis bagi sudut berkaitan dengan jarak ke dua garis.
4 · Konstruksi, locus, dan syarat geometri · Tingkat Lanjut
Di mana kedua kondisi dapat terpenuhi?
- Router harus berada pada jarak yang sama dari dua ruangan dan dalam jangkauan stop kontak. Setiap kondisi menciptakan himpunan posisi yang mungkin berbeda.
- Pelajaran ini mempelajari locus: Himpunan semua titik yang memenuhi suatu kondisi geometris yang dinyatakan.
Metode tersebut
- Titik-titik yang berjarak sama dari A dan B terletak pada garis bagi tegak lurus AB.
- Titik-titik pada jarak tetap r dari C terletak pada sebuah lingkaran.
- Titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang saling berpotongan terletak pada garis bagi sudutnya.
Contoh terarah
$$x=3,\qquad x^2+y^2=25$$
Contoh
Untuk A=(0,0) dan B=(6,0), garis bagi tegak lurusnya adalah x=3. Titik-titik juga 5 unit dari A memenuhi x²+y²=25. Substitusi x=3 menghasilkan y²=16, sehingga (3,4) dan (3,-4) memenuhi kedua kondisi tersebut.
Di mana letak kesalahannya
- Garis bagi tegak lurus berkaitan dengan jarak ke dua titik; garis bagi sudut berkaitan dengan jarak ke dua garis.
- Sketsa bukan konstruksi dengan penggaris dan jangka: pertahankan busur sebagai bukti metode.
Hati-hati
Tidak benar: Titik-titik yang berjarak sama dari dua titik terletak pada garis bagi sudutnya. Titik-titik yang berjarak sama dari dua titik terletak pada garis bagi tegak lurus segmen yang menghubungkannya; garis bagi sudut berjarak sama dari dua garis.
Menerapkannya
- Terjemahkan setiap kondisi menjadi lokus sebelum menemukan titik potong.
- Untuk daerah yang lebih dekat ke A daripada B, pilih sisi yang benar dari garis bagi tegak lurus dan tentukan apakah batas diperbolehkan.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tingkat Lanjut, bagian spesifikasi 4.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Lokus: Himpunan semua titik yang memenuhi kondisi geometris yang dinyatakan.
- Titik-titik yang berjarak sama dari A dan B terletak pada garis bagi tegak lurus AB.
- Waspadai: garis bagi tegak lurus berkaitan dengan jarak ke dua titik; garis bagi sudut berkaitan dengan jarak ke dua garis.
5 · Vektor dan geometri transformasi · Dasar
Mengapa perpindahan lebih pendek daripada jarak tempuh?
- Berjalan 4 m ke timur dan 3 m ke utara menghasilkan perpindahan 5 m, meskipun jarak yang ditempuh adalah 7 m.
- Pelajaran ini mempelajari vektor resultan: jumlah vektor yang mewakili gabungan perpindahan atau gaya.
Metode tersebut
- Tambahkan komponen vektor yang sesuai dan kurangkan vektor posisi untuk menemukan perpindahan.
- Translasi menggerakkan setiap titik dengan vektor yang sama; perkalian skalar mengubah panjang dan mungkin arah.
Contoh terarah
$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
Contoh
Dengan a=(4,1) dan b=(1,3), a+b=(5,4). Dari A=(1,2) ke B=(5,5), perpindahan AB=(4,3). Besarannya adalah √(4²+3²)=5.
Di mana letak kesalahannya
- Urutan pengurangan penting: BA=-AB.
- Membuktikan kesejangan memerlukan hubungan perkalian skalar; sketsa saja tidak cukup.
- Perbesaran negatif membalikkan posisi relatif terhadap pusatnya.
Hati-hati
Tidak benar: AB dan BA memiliki komponen yang sama. BA berlawanan arah dengan AB, sehingga BA=−AB: setiap komponen berubah tanda.
Menerapkannya
- Gambarlah panah dengan arah dan identifikasi titik awal serta akhir.
- Hasil kali skalar, persamaan garis ruang, dan perhitungan sudut tingkat lanjut dikecualikan dari pelajaran Foundation/Core ini.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tahap Dasar, bagian spesifikasi 5.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Vektor resultan: Jumlah vektor yang mewakili kombinasi perpindahan atau gaya.
- Tambahkan komponen vektor yang sesuai dan kurangkan vektor posisi untuk menemukan perpindahan.
- Waspadai: urutan pengurangan penting: BA=-AB.
5 · Vektor dan geometri transformasi · Tingkat Lanjut
Mengapa perpindahan lebih pendek daripada jarak tempuh?
- Berjalan 4 m ke timur dan 3 m ke utara menghasilkan perpindahan 5 m, meskipun jarak yang ditempuh adalah 7 m.
- Pelajaran ini mempelajari vektor resultan: jumlah vektor yang mewakili gabungan perpindahan atau gaya.
Metode tersebut
- Tambahkan komponen vektor yang sesuai dan kurangkan vektor posisi untuk menemukan perpindahan.
- Translasi menggerakkan setiap titik dengan vektor yang sama; perkalian skalar mengubah panjang dan mungkin arah.
Contoh terarah
$$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad |\mathbf v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
Contoh
Dengan a=(4,1) dan b=(1,3), a+b=(5,4). Dari A=(1,2) ke B=(5,5), perpindahan AB=(4,3). Besarannya adalah √(4²+3²)=5.
Di mana letak kesalahannya
- Urutan pengurangan penting: BA=-AB.
- Membuktikan kesejangan memerlukan hubungan perkalian skalar; sketsa saja tidak cukup.
- Perbesaran negatif membalikkan posisi relatif terhadap pusatnya.
Hati-hati
Tidak benar: AB dan BA memiliki komponen yang sama. BA berlawanan arah dengan AB, sehingga BA=−AB: setiap komponen berubah tanda.
Menerapkannya
- Gambarlah panah dengan arah dan identifikasi titik awal serta akhir.
- Hasil kali skalar, persamaan garis ruang, dan perhitungan sudut tingkat lanjut dikecualikan dari pelajaran Foundation/Core ini.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tahap Lanjut, bagian spesifikasi 5.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Vektor resultan: Jumlah vektor yang mewakili kombinasi perpindahan atau gaya.
- Tambahkan komponen vektor yang sesuai dan kurangkan vektor posisi untuk menemukan perpindahan.
- Waspadai: urutan pengurangan penting: BA=-AB.
5 · Refleksi, rotasi, dan perbesaran · Dasar
Di mana letak pusat pembesaran?
- Logo dibesarkan di sekitar titik yang jauh dari titik asal. Mengalikan koordinatnya saja menempatkannya di tempat yang salah.
- Pelajaran ini mempelajari pusat pembesaran: Titik dari mana perpindahan setiap titik dikalikan dengan faktor skala.
Metode tersebut
- Translasi menambahkan vektor.
- Refleksi membalikkan jarak tegak lurus yang bernilai dari garis cermin.
- Rotasi memerlukan pusat, sudut, dan arah.
- Untuk pembesaran dari C, gunakan P' = C + k(P - C).
Contoh terarah
$$\mathbf p_{\mathrm{image}}=\mathbf c+k(\mathbf p-\mathbf c)$$
Contoh
Untuk C=(1,1), P=(3,2), k=2, P-C=(2,1), sehingga P baru=(1,1)+2(2,1)=(5,3). Refleksi (3,2) terhadap sumbu-y menghasilkan (-3,2). Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal menghasilkan (-2,3).
Di mana letak kesalahannya
- Rotasi memerlukan pusat dan arahnya, bukan hanya sudutnya.
- Faktor pembesaran negatif menempatkan bayangan di sisi berlawanan dari pusat.
- Translasi tidak mengubah orientasi atau ukuran.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap pembesaran berpusat di titik asal kecuali faktor skala negatif. Pembesaran dapat memiliki pusat apa pun; faktor skala negatif menempatkan bayangan di sisi lain dari pusat.
Menerapkannya
- Deskripsikan transformasi secara lengkap sebelum menggambar bayangannya.
- Periksa jarak dan sudut yang bersesuaian.
- Untuk transformasi gabungan, terapkan sesuai urutan yang ditentukan; biasanya tidak komutatif.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tahap Dasar, bagian spesifikasi 5.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Pusat pembesaran: Titik di mana perpindahan setiap titik dikalikan dengan faktor skala.
- Translasi menambahkan vektor.
- Perhatikan: Rotasi memerlukan pusat dan arahnya, bukan hanya sudutnya.
5 · Refleksi, rotasi, dan perbesaran · Tingkat Lanjut
Di mana letak pusat pembesaran?
- Logo dibesarkan di sekitar titik yang jauh dari titik asal. Mengalikan koordinatnya saja menempatkannya di tempat yang salah.
- Pelajaran ini mempelajari pusat pembesaran: Titik dari mana perpindahan setiap titik dikalikan dengan faktor skala.
Metode tersebut
- Translasi menambahkan vektor.
- Refleksi membalikkan jarak tegak lurus yang bernilai dari garis cermin.
- Rotasi memerlukan pusat, sudut, dan arah.
- Untuk pembesaran dari C, gunakan P' = C + k(P - C).
Contoh terarah
$$\mathbf p_{\mathrm{image}}=\mathbf c+k(\mathbf p-\mathbf c)$$
Contoh
Untuk C=(1,1), P=(3,2), k=2, P-C=(2,1), sehingga P baru=(1,1)+2(2,1)=(5,3). Refleksi (3,2) terhadap sumbu-y menghasilkan (-3,2). Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal menghasilkan (-2,3).
Di mana letak kesalahannya
- Rotasi memerlukan pusat dan arahnya, bukan hanya sudutnya.
- Faktor pembesaran negatif menempatkan bayangan di sisi berlawanan dari pusat.
- Translasi tidak mengubah orientasi atau ukuran.
Hati-hati
Tidak benar: Setiap pembesaran berpusat di titik asal kecuali faktor skala negatif. Pembesaran dapat memiliki pusat apa pun; faktor skala negatif menempatkan bayangan di sisi lain dari pusat.
Menerapkannya
- Deskripsikan transformasi secara lengkap sebelum menggambar bayangannya.
- Periksa jarak dan sudut yang bersesuaian.
- Untuk transformasi gabungan, terapkan sesuai urutan yang ditentukan; biasanya tidak komutatif.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tahap Lanjut, bagian spesifikasi 5.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Pusat pembesaran: Titik di mana perpindahan setiap titik dikalikan dengan faktor skala.
- Translasi menambahkan vektor.
- Perhatikan: Rotasi memerlukan pusat dan arahnya, bukan hanya sudutnya.
6 · Pusat, sebaran, dan tampilan data · Dasar
Bisakah satu rata-rata menceritakan keseluruhan cerita?
- Dua kelompok memiliki median yang sama tetapi sebaran yang berbeda. Satu ringkasan tidak dapat mendeskripsikan kedua-dua lokasi dan konsistensi.
- Pelajaran ini mempelajari juis (range): Nilai maksimum yang diperhatikan tolak nilai minimum yang diperhatikan.
Metode tersebut
- Rata-rata adalah total dibagi jumlah data.
- Median adalah nilai tengah setelah diurutkan.
- Jangkauan adalah maksimum dikurangi minimum.
- Gunakan tabel frekuensi, grafik batang, dan perbandingan yang sesuai.
Contoh terarah
$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n}$$
Contoh
Bagi 2,4,4,6,9, jumlah=25 dan bilangan=5, jadi purata=5. Nilai tengahnya ialah 4, jadi median=4. Juais ialah 9-2=7. Terangkan kedua-dua nilai tipikal dan taburan.
Di mana letak kesalahannya
- Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
- Rata-rata berkelompok adalah sebuah estimasi.
- Korelasi tidak membuktikan sebab-akibat, dan ekstrapolasi memperluas beyond rentang yang diamati.
Hati-hati
Tidak benar: Rata-rata dari suatu daftar harus merupakan salah satu nilai yang diamati. Dengan lebar kelas yang tidak sama, tinggi adalah kepadatan frekuensi; frekuensi adalah luas batang.
Menerapkannya
- Grafik batang menggunakan batang terpisah untuk setiap kategori.
- Histogram dengan lebar kelas tidak sama dan perhitungan kepadatan formal berada di luar pelajaran Foundation/Core ini.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tahap Dasar, bagian spesifikasi 6.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Jangkauan: Nilai yang diamati maksimum dikurangi nilai yang diamati minimum.
- Rata-rata adalah total dibagi jumlah data.
- Perhatikan: Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
6 · Ringkasan data, histogram, dan interpretasi · Tingkat Lanjut
Bisakah satu rata-rata menceritakan keseluruhan cerita?
- Dua kelompok memiliki median yang sama tetapi sebaran yang berbeda. Satu ringkasan tidak dapat mendeskripsikan kedua-dua lokasi dan konsistensi.
- Pelajaran ini mempelajari ketumpahan frekuensi: Frekuensi dibahagikan dengan lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
Metode tersebut
- Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
- Histogram menggunakan luas untuk frekuensi, sehingga tinggi = frekuensi / lebar kelas.
- Estimasi berkelompok mengasumsikan nilai representatif di dalam interval.
Contoh terarah
$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$
Contoh
Kelas dari 10 hingga 20 dengan frekuensi 30 mempunyai ketumpahan 30/10=3. Kelas dari 20 hingga 40 dengan frekuensi 20 mempunyai ketumpahan 20/20=1. Bar yang lebih lebar tidak boleh disalahartikan sebagai ketumpahan yang lebih besar. Untuk nilai 2,4,4,6,9, median ialah 4 dan purata ialah 5.
Di mana letak kesalahannya
- Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
- Rata-rata berkelompok adalah sebuah estimasi.
- Korelasi tidak membuktikan sebab-akibat, dan ekstrapolasi memperluas beyond rentang yang diamati.
Hati-hati
Tidak benar: Tinggi batang histogram sama dengan frekuensinya, bahkan dengan lebar kelas yang tidak sama. Dengan lebar kelas yang tidak sama, tingginya adalah kepadatan frekuensi; frekuensinya adalah luas batang tersebut.
Menerapkannya
- Pilih tampilan visual yang sesuai dengan jenis datanya.
- Berikan perbandingan numerik dan maknanya bagi populasi; jangan menyimpulkan presisi lebih tinggi daripada yang didukung oleh sampel.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tahap Lanjut, bagian spesifikasi 6.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Kepadatan frekuensi: Frekuensi dibagi lebar kelas, digunakan sebagai tinggi histogram.
- Bandingkan rata-rata dan sebaran yang sesuai dalam konteksnya.
- Perhatikan: Batang histogram tertinggi belum tentu memuat jumlah observasi terbanyak.
6 · Pohon probabilitas dan hasil · Dasar
Apa yang berubah setelah undian pertama?
- Sebuah tas berisi 3 penghitung merah dan 2 penghitung biru. Mengambil dua tanpa pengembalian mengubah peluang warna kedua.
- Pelajaran ini mempelajari probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
Metode tersebut
- Probabilitas berada antara 0 dan 1.
- Hasil yang saling eksklusif dan lengkap memiliki probabilitas yang berjumlah 1.
- Kalikan probabilitas cabang berturut-turut dan jumlahkan rute terpisah menuju suatu hasil.
Contoh terarah
$$P(RR)=P(R_1)P(R_2\mid R_1)$$
Contoh
Sebuah beg mengandungi 3 penanda merah dan 2 penanda biru. Dengan penggantian, P(dua merah)=3/5×3/5=9/25=0.36. Tanpa penggantian, cabang merah-merah ialah 3/5×2/4=0.3. Labelkan setiap cabang sebelum mendarab.
Di mana letak kesalahannya
- Saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
- Dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak independen.
Hati-hati
Tidak benar: Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif harusnya independen. Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif bersifat bergantung: jika satu terjadi, yang lain tidak dapat, sehingga P(A and B)=0≠P(A)P(B).
Menerapkannya
- Gunakan tabel frekuensi atau pohon sederhana sebelum menghitung.
- Rumus probabilitas bersyarat formal berada di luar pelajaran Dukungan Foundation/Core ini.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tahap Dasar, bagian spesifikasi 6.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
- Probabilitas berada antara 0 dan 1.
- Perhatikan: saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
6 · Probabilitas, pohon, dan penalaran bersyarat · Lanjutan
Apa yang berubah setelah undian pertama?
- Sebuah tas berisi 3 penghitung merah dan 2 penghitung biru. Mengambil dua tanpa pengembalian mengubah peluang warna kedua.
- Pelajaran ini mempelajari probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
Metode tersebut
- Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
- Dengan pengembalian, komposisi tetap tetap.
- Probabilitas bersyarat adalah P(A given B)=P(A∩B)/P(B), untuk P(B)>0.
Contoh terarah
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
Contoh
Tanpa pengembalian, P(dua merah)=3/5×2/4=3/10. P(satu dari masing-masing)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Jika P(A∩B)=0.12 dan P(B)=0.3, P(A diberikan B)=0.4.
Di mana letak kesalahannya
- Saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
- Dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak independen.
Hati-hati
Tidak benar: Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif harusnya independen. Peristiwa saling eksklusif dengan probabilitas positif bersifat bergantung: jika satu terjadi, yang lain tidak dapat, sehingga P(A and B)=0≠P(A)P(B).
Menerapkannya
- Tabel dua arah membuat penyebut terbatas terlihat jelas.
- Sebelum menggunakan produk P(A)P(B), justifikasikan independensi dari konteks atau informasi yang disediakan.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tahap Lanjut, bagian spesifikasi 6.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa setelah membatasi ruang sampel pada kondisi yang dinyatakan.
- Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang-cabang yang saling lepas.
- Perhatikan: saling eksklusif berarti tanpa tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya.
6 · Frekuensi kumulatif dan diagram kotak · Lanjutan
Rute manakah yang lebih konsisten?
- Dua rute bus memiliki waktu tipikal yang mirip namun keandalan yang berbeda. Kuartil menunjukkan setengah perjalanan di bagian tengah.
- Pelajaran ini mempelajari rentang interkuartil: Selisih antara kuartil atas dan bawah.
Metode tersebut
- Frekuensi kumulatif menghitung pengamatan di bawah batas kelas yang berurutan.
- Bacalah kuartil pada satu perempat, setengah, dan tiga perempat dari total frekuensi.
- Diagram kotak merepresentasikan nilai minimum, kuartil bawah, median, kuartil atas, dan maksimum.
Contoh terarah
$$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$$
Contoh
Untuk 80 observasi, bacalah Q1 pada frekuensi kumulatif 20, median pada 40, dan Q3 pada 60. Jika Q1=12 dan Q3=21, maka IQR=9. Bandingkan median untuk waktu perjalanan tipikal dan IQR untuk konsistensi.
Di mana letak kesalahannya
- Plotkan terhadap batas kelas, bukan titik tengah.
- Kuartel berkelompok adalah estimasi.
- Jangkauan sensitif terhadap nilai ekstrem; IQR hanya menggambarkan separuh data tengah.
Hati-hati
Tidak benar: Jangkauan antar-kuartil sama dengan maksimum dikurangi minimum. Jangkauan antar-kuartil adalah Q3−Q1; maksimum dikurangi minimum adalah jangkauan.
Menerapkannya
- Jelaskan perbandingan dalam konteks besaran yang diukur.
- Aturan pencilan dapat menggunakan Q1-1.5IQR dan Q3+1.5IQR; gunakan aturan yang ditentukan dalam tugas, jangan berasumsi setiap grafik mengikutinya.
Dalam kurikulum Anda
- Pearson Edexcel International GCSE Matematika A (4MA1), Tahap Lanjut, bagian spesifikasi 6.
- Setiap kertas ujian memungkinkan penggunaan kalkulator, namun nilai metode tetap memerlukan ekspresi atau persamaan ditulis sebelum nilainya.
Ide utama
- Jangkauan antar-kuartil: Selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.
- Frekuensi kumulatif menghitung pengamatan di bawah batas kelas yang berurutan.
- Waspadai: plotkan terhadap batas kelas, bukan titik tengah.