משוואות מעגל, קשתות וטרigonometry במעגל היחידה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | רדיאן |
| tangent/ˈtændʒənt/ | משיק |
החלטה לפני תשובה
- רדיוס מועלה לריבוע של 25 פירושו רדיוס 5. הסימנים ב-(x-2)²+(y+3)² מיימנים את המרכז ב-(2,-3).
- מטרתך: למצוא מרכז ורדיוס של מעגל על ידי השלמת ריבוע.
קראו את הקשר
- למעגל עם מרכז (h,k) ורדיוס r מתקיים (x-h)²+(y-k)²=r². למשוואה מורחבת, השלם ריבוע ב-x וב-y והוסף את הקבועים מאזנים לצד השני. צד ימין המתקבל חייב להיות חיובי כדי לקבל מעגל אמיתי שאינו דגור. שמור על הפרדה בין הרדיוס לבין הריבוע שלו.
- המרת זוויות מרכזית וחילוק אורך קשת ושטח משולש.
Centre and radius of (x+1)²+(y-4)²=9:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The centre signs follow x-h,y-k and radius is √9.
השתמשו בכלל המגדיר
- זווית מרכזית θ ברדיאנים נותנת אורך קשת rθ ושטח משולש r²θ/2. בדרגות, השתמש בשבר θ/360 מההיקף או השטח הכולל. סיבוב מלא הוא 2π רדיאנים=360°. הנוסחאות rθ ו-r²θ/2 דורשות רדיאנים; הכנסת דרגות ללא המרה תניב סקאלה שגויה.
- שימוש בקשרי טנג'נט, זווית מושתתת ועיגלה יחידה.
Radius 4 with central angle π/2 gives arc length:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
rθ=4·π/2=2π.
בדיקת התנאים
- טנג'נט בנקודה על עיגלה מאונך לקרן בעודו. זווית מושתתת היא חצי מזווית המרכזית התוחה את אותה קשת; זווית התוחה קוטר היא זווית ישרה. זהה את הקשת המשותפת האמיתית והמרכז לפני היישום. מיתר אינו טנג'נט ואינו חייב להיות מאונך לקרן אלא אם כן תנאים נוספים מבססים זאת.
- שימוש בקשרי טנג'נט, זווית מושתתת ועיגלה יחידה.
x²+y²-4x+6y-12=0 הופך ל-(x-2)²+(y+3)²=25, מה שמעניק מרכז (2,-3), רדיוס 5. עבור רדיוס 6 וזווית מרכזית π/3, אורך הקשת הוא 2π ושטח המשולש 6π. זווית מושתתת באותה קשת 60° היא 30°. ב-150°, קוסינוס הוא -√3/2 וסינו 1/2 מכיוון שהנקודה במרובע II.
180 degrees equals ____ radians.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A half-turn is π radians.
יישמו את פורמט המשימה
- על המעגל היחיד, נקודה בזווית θ יש קואורדינטות (cos θ,sin θ), ולכן cos²θ+sin²θ=1. הסימנים תלויים ברביע. עבור זוויות חדות משלימות, sin θ=cos(90°-θ). השתמש במשולשים מיוחדים לערכים מדויקים: ב-30° הסינוס הוא 1/2 והקוסינוס √3/2; ב-45° שניהם הם √2/2.
- שימוש בקשרי טנג'נט, זווית מושתתת ועיגלה יחידה.
בדוק יחידות דרגות/רדיאנים, סימני המרכז והאם הזווית היא מרכזית או מושתתת לפני היישום.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
מצא את מרכז המעגל ורדיוסו על ידי השלמת ריבוע
The angle between a tangent and its radius at contact is 90 degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The tangent-radius perpendicular theorem applies at the contact point.
שמרו על ההבחנות
- רדיאן — מידת זווית השווה לאורך קשת מחולק ברדיוס.
- טנג'נט — קו הנפגש עם עיגלה בנקודה ומאונך לקרן שלה בעודו.
- שחזר את מרכז העיגלה ואת הרדיוס על ידי השלמת מربع מושלם.
- המרת זוויות מרכזית וחילוק אורך קשת ושטח משולש.
- שימוש בקשרי טנג'נט, זווית מושתתת ועיגלה יחידה.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.