מתמטיקה: מדוע הוכחה מקיפה יותר מהדוגמאות?
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | ניחוש |
| proof/pruːf/ | הוכחה |
| induction/ɪnˈdʌkʃn/ | אינדוקציה מתמטית |
דפוס נראה כאילו נמשך
- המספר האי-זוגי הראשון הוא 1; שני הראשונים סכוםם ל-4; שלושת הראשונים סכומם ל-9. תלמיד טוען שהסכום של n המספרים האי-זוגיים חיוביים הראשונים תמיד שווה ל-n².
- ניחוש הוא הצעה טענה המתנה להצדקה. בדיקת שלושה מקרים מציעה דפוס אך משאירה אי-ספיקות מספרים אי-זוגיים חיוביים בלתי נבדקים.
הצג את הטענה ותחום ההחלה שלה
- הטענה מתייחסת לכל מספר אי-זוגי חיובי n ולרשימת 1, 3, 5, עד 2n−1. היא אינה מתייחסת לקבוצה כלשהי של מספרים אי-זוגיים.
- הוכחה מספקת שרשרת של סיבות תקפות המכסה את התחום המצוין. דוגמת נגד אחת יכולה לפסול טענה אוניברסלית, בעוד שדוגמאות מוצלחות רבות אינן מקימות אותה לבדן.
מה שהסכומים 1, 4 ו-9 מבססים לבדם?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הצפייה הסופית אינה מכסה את כל התחום.
הסבירו כיצד המקרה הבא נובע
- תעלמו שהסכום של n המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא n². המספר האי-זוגי הבא הוא 2n+1, ולכן הסכום הבא הוא n²+2n+1=(n+1)². צעד זה עובד עבור כל מספר טבעי חיובי n.
- המקרה ההתחלתי הוא n=1, בו הסכום הוא 1=1². התחלת מכך והחלת הצעד הכללי מקימה כל מקרה של מספר טבעי בהמשך.
מהו המספר האי-זוגי הבא לאחר 2n−1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מספרים אי-זוגיים עוקבים נבדלים ב-2.
בדקו מה ההסברה מניחה
- זהו אינדוקציה: מקרה התחלתי תקני לצד צעד מכל מקרה למקרה הבא. שני החלקים חשובים. צעד לבד אינו מקיים שהשרשרת מתחילה.
- שאלו האם האלגברה, הגדרת האיבר הבא והתחום נכונים. שגיאת חישוב או שינוי בסדרה ההתחלתית יכולים לבטל את ההוכחה.
שלב אינדוקציה תקף מספיק גם כאשר אין מקריו התחלה מוסכם.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המעבר הכללי זקוק למקרה מוסכם שממנו מתחילה השרשרת.
מדוע הסכום 3+5+7=15 אינו דוגמה נגדית?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רשימה זו שונה מזו הנאמרת בטענה.
השוו הוכחה לתצפיות באופן הוגן
- הסיבה לביטחון היא השרשרת הכללית, ולא מספר הדוגמאות שנבדקו. תרשים של כמה ריבועים יכול להסביר את הרעיון, אך ההוכחה חייבת להראות מדוע הבנייה נמשכת.
- שאלו איך ת justification מתמטי שונה מבדיקת תצפיות חוזרות. אל תסיקו שהוכחות פותרות טענות מחוץ להנחותיהן או שהבדיקה אמפירית אין לה ערך בתחום שלה.
התאם כל חלק מההוכחה לתפקידו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הוכחה צריכה לקשר בין התחלתה, מעברה ותחומה.
אילו טיעונים תומכים בטענה הכללית?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ההסבר הכללי, יחד עם מקרה התחלתי תקף, מקיים את התחום.
עבור n=1, הסכום הוא 1. נניח שהסכום עד 2n−1 הוא n². הוספת 2n+1 נותנת n²+2n+1, שזהו (n+1)². המקרה הבסיסי והמעבר הכללי מקיפים את הטענה לכל המספרים החיוביים. לרשימה 3,5,7 יש סכום 15, ולא 9, משום שהיא אינה מתחילה ב-1. רשימה אחרת זו היא מחוץ לטענה המקורית, ואינה מייצגה חריגה לה.
אל תשתמש בבדיקת מכונה מצליחה עבור n=100 כתחליף למעבר הכללי. בדיקה זו בודקת מקרה נוסף אחד בלבד.
הגדר את התחום, הצדק מקרה התחלתי וקבע שלב כללי תקף; הסבר בדיוק מה העיסוי המתקבל מכסה.