מצבים קשורים באבן ברוח וספנים קוונטיים הידרוגניים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| bound state/baʊnd steɪt/ | מצב קשור |
| radial probability density/ˈreɪdɪəl ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | צפיפות הסתברות רדיאלית |
החלטה לפני תשובה
- פונקציית גל קשורה יכולה להשתרע מחוץ למבוקר סופי גם כאשר אנרגיית החלקיק נמוכה מפוטנציאל החיצוני.
- המטרה שלך: התאם מצבי מבוקר סופי דועכים וגזור תנאי כמותה תלויים בפריות.
התאמת אסימפטוטות של מצבים קשורים
- הגדר מבוקר סימטרי V=−V₀ עבור |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 ומסה זהה בכל מקום. אנרגיה קשורה נמצאת בין −V₀ לאפס. בתוך המבוקר, k=√[2m(E+V₀)]/ℏ נותן פתרונות תנודתיים; מחוץ לו, κ=√(−2mE)/ℏ נותן זנבות דועכים. דחה מעריכיות גדלות כדי לקבל מצב נורמליזבילי.
- סימטריית השתקפות מאפשרת מצבי cos(kx) זוגיים או sin(kx) אי-זוגיים בפנים. בגבולות סופיים ללא אינטראקציות דלטה, גם ψ וגם ψ′ רציפים. התאמה זוגית נותנת k tan(ka)=κ; התאמה אי-זוגית נותנת −k cot(ka)=κ. מבוקר סופי אינו דורש מ-ψ להתאפס בקצוותיו כמו שמבוקר אינסופי עושה.
For a finite square well with equal mass on both sides and no delta interaction, boundary matching requires:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Both wavefunction and first derivative are continuous at a finite step under these assumptions.
פתרון שורש ללא ממדים
- הקדמו z=ka ו-ρ=a√(2mV₀)/ℏ. אז κa=√(ρ²−z²) ו-0<z<ρ. פתרו z tan z=√(ρ²−z²) למצב זוגי, או −z cot z=√(ρ²−z²) למצב אי-זוגי, בתחומים עם הסימן המתאים ומרחק מקוטבי הטנגנס. האנרגיה נובעת כ-E/V₀=z²/ρ²−1.
- עבור ρ=1, השורש היסודי ממוקם ב-0<z<1 והמשוואה הזוגית שווה ערך שם ל-z=cos z. שיטת מחלקת מנופה או מציאן שורשים מתכנסים נותנים z≈0.739085 ו-E/V₀≈−0.453753. מכיוון ש-ρ<π/2, אין ענף מצב קשור אי-זוגי. בממד אחד, באר ריבועית אטרקטיבית בעלת מצב קשור יסודי זוגי בכל עומק; זנב סף E=0 אינו ריבועי-אינטגרלי.
For a hydrogenic orbital n=4, which pair (l,m_l) is allowed?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
l can be 0 through 3, and |m_l| cannot exceed l.
תקנו את הפנימי ואת הזנבות
- למצב קשור זוגי כתבו ψ=A cos(kx) בפנים ו-ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] בחוץ. הרצופיות קובעת את המשרעת היחסית של הזנב; אינטגרציה של |ψ|² על הפנימי ועל הזנבות לקביעת A. הסבירות מחוץ לאר היא אי-אפס ותלויה בעומק, רוחב ובמצב הנבחר.
- מצבים קשורים הם בעלי אנרגיות דיסקרטיות ואסימפטות דעכות מתקנות. מצב פיזור עם E>0 הוא בעל גלים חיצוניים מתפשטים ומתוקנו או מתורגש לפי קונבנציית רצף/פלוקס. זנב דועך אינו עדות לכך שהמצב מפר את שימור האנרגיה, ומשרעת זנב خامה אינה הסבירות החיצונית עד שתוכנן ויתוקנו.
עבור ρ=1, z≈0.739085 נותן κa≈0.673612 ו-E≈−0.453753V₀; המצב היסודי הזוגי דולף מעבר ל-±a אך דועך באינסוף. עבור יון חד-אלקטרוני Z=2 ב-n=2, E≈−13.6·4/4=−13.6 eV. הערכים המותרים ל-l הם 0 ו-1, מה שמניב ארבעה מצבים מרחביים לפני סpin. באורביטל氢 1s, צפיפות רדיאלית משיקה ב-a₀ משום שממדד מעטפת r² מפצה על ירידת הצפיפות הנקודתית; אינטגרציה של צפיפות רדיאלית נותנת ⟨r⟩=3a₀/2.
For n=4 in the nonrelativistic Coulomb model, spatial degeneracy before spin is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Σ_l=0 to 3 (2l+1)=1+3+5+7=16.
בחרו את מדד ההסתברות ההידרוגני
- עבור יון קולומבי חד-אלקטרוני מטען גרעיני Ze, השתמשו בדגם פוטנציאל מרכזי לא-ריצ'וייטי בקירוב גרעין כבד אלא אם כן מסתרת מופחתת מצוינת. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; מספרי אורביטל מותרים הם n≥1, l=0,…,n−1 ו-m_l=−l,…,l. L² יש ערך עצמי l(l+1)ℏ² ו-L_z=m_lℏ; האורביטל היסודי 1s יש l=0, למרות הכלל ההיסטורי של בוהר למסלול מעגלי.
- דגנרציה מרחבית ב-n נתונה היא Σ_l(2l+1)=n² לפני spin ותיקונים מבנה עדין. אם ψ=R_nl(r)Y_lm עם חלק זוויתי מתוקן, ההסתברות הרדיאלית ב-dr היא r²|R|²dr, ולא רק |R|²dr. עבור הידרוגן 1s, הצפיפות הרדיאלית היא 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: היא משיקה ב-r=a₀ ויש לה ממוצע 3a₀/2, בעוד שהצפיפות הנקודתית התלת-ממדית הגדולה ביותר היא בראשית. הבדילו בין מדדים אלו לפני מיקום רדיוס סביר ביותר.
השתמשו באפס הפוטנציאל המוגדר, התאמו גם את ψ′ וגם את ψ, והכלילו את ממדד המעטפת הרדיאלית. זנב קשור ומסלול נסע ברצף הם במגדולי אנרגיה שונים.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
התאם מצבי באר סופי דועך ודלע תנאי כמותizzazione תלויי פאריות
A finite-well bound state can have nonzero probability outside the well while decaying at infinity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Its external exponential tails are nonzero near the edges but integrable for κ>0.
שמרו על ההבחנות
- מצב קשור — מצב עומד מתקן עם הסתברות מוגבלת ואנרגיה דיסקרטית בדגם המוגדר.
- צפיפות הסתברות רדיאלית — הסתברות ליחידת מרחק רדיאלי, כולל ממדד המעטפת הכדורית לאחר אינטגרציה זוויתית.
- התאמו מצבי אר מוגבלת דעכים ונגזרו תנאי כמותיות תלויי פרטיטה.
- פרשנו שורשים חסרי ממד של מצבים קשורים והבדילו בין הכלאה לבין פיזור.
- השתמשו במספרים קוונטיים הידרוגניים, תנע זוויתי ומדדי הסתברות רדיאלית.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.