סימטריית החלפה, זוגות ספין ואיסור פאולי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| spin singlet/spɪn ˈsɪŋɡlɪt/ | סינגלט ספין |
| Slater determinant/ˈsleɪtə dɪˈtɜːmɪnənt/ | קובעת סלייטר |
החלטה לפני תשובה
- שני אלקטרונים יכולים לשתף אורביטל מרחבי אחד אם המצב המרחבי-ספיני המלא שלהם בעל אנטי-סימטריה הנדרשת.
- המטרה שלך: בנהו מצבים מרחביים דו-אורביטליים סימטריים ואנטי-סימטריים מנורמלים.
החלפת תוויות חלקיקים מלאה
- לחלקיקים זהים, החלפת כל סימן מיקום וספין משנה פונקציית גל פרמיונית כוללת בסימן מינוס ומשאירה בוסקונית ללא שינוי. מיקומי מתמטיים 1 ו-2 מסמנים ארגומנטים, ולא חלקיקים נבדלים לנצח. לשני אורביטלים אורתוגונליים נבדלים a ו-b, השילובים המרחביים הם Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2.
- אורתוגונליות גורמת לשילובים אלו להיות מנויים ונותנת ערכי איגון להחלפה ±1. אם שני האורביטלים זהים, השילוב האנטי-סימטרי הוא אפס זהה והנוסחה הסימטרית המוצגת אינה מנויית נכון; מצב המרחב עם תפוסה כפולה הוא פשוט a(1)a(2). בדוק מנוייה מחדש בכל פעם שאורביטלים או השקילות שלהם משתנים.
Two electrons share the same spatial orbital. Which spin state is allowed for their antisymmetric total state?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The same-orbital spatial product is symmetric; the spin factor must be antisymmetric.
זוגיות מרחבית וספין
- שני חלקיקים עם ספין-1/2 ישנם סנגלט ספין אחד (↑↓−↓↑)/√2 עם ספין כולל S=0; הוא אנטי-סימטרי תחת החלפה. שלושת הטריפלט们 ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 ו-↓↓ הם בעלי S=1 וסימטריים. אלקטרונים דורשים מצב כולל אנטי-סימטרי, ולכן מצב מרחבי סימטרי זוגי עם הסנגלט, בעוד שמצב מרחבי אנטי-סימטרי זוגי עם טריפלט.
- שני אלקטרונים באותו אורביטל מרחבי יכולים ליצור סינגלט, אך לא יכולים ליצור טריפלט שם במצב פשוט זה של שני אלקטרונים. אסור פאולי מונע התoccupied באותו מצב חד-חלקיקי מלא, כולל סpin. אלקטרונים עם סpin מנוגד באורביטל אחד הם שני מצבים מלאים שונים; תיאור האסור כאלקטרון אחד לכל אורביטל מבטל הבחנה זו.
Two spinless identical bosons can use two spatial orbitals without an energy restriction. Occupation patterns number:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Allowed patterns are (2,0), (1,1) and (0,2); particle labels do not create separate versions of (1,1).
ספירת מצבים מלאים
- עבור שני אורביטלים מרחביים a,b ושני מצבי סpin לכל אחד, קיימים ארבעה מצבי חלקיק-יחיד מלאים. שני אלקטרונים זהים יכולים לבחור ב-4,2=6 דפוסי תפיסה: שתי סינגלטות עם תפיסה כפולה, סינגלטה אחת עם אורביטלים שונים, ושלוש טריפלטות עם אורביטלים שונים. עבור שלושה אורביטלים מרחביים, ישנם שישה מצבים מלאים ו-choose(6,2)=15 דפוסי תפיסה.
- ספירת הקצאות מסודרת מובילה לספירה כפולה של חלקיקים זהים. בוזונים ללא סpin בשני אורביטלים יבחרו במקום זאת בשלוש תפיסות: שניהם ב-a, אחד בכל אחד, או שניהם ב-b. ספירות אלו מניחות היעדר הגבלת אנרגיה נוספת והמצבים המלאים הנקובים; הגבלת האנרגיה הכוללת או ההצלחת הסpin משנה את התת-קבוצה המותרת.
עם שני אורביטלים אורתוגונליים ונורמליים a,b, המצב דו-אלקטרוני Ψ_+χ_singlet הוא אנטי-סימטרי כללי כי (+1)(−1)=−1. Ψ_−χ_triplet גם כן מותר. אם שני האלקטרונים משתמשים ב-a, המכפלה המרחבית a(1)a(2) היא סימטרית, ולכן רק גורם הסpin הסינגלטה מותר. במבוקר (well) בעמקים L/4 ו-3L/4, Ψ_−=−2/L נותן צפיפות 4/L² בעוד Ψ_+=0; כל אחד מהם מנורמל על פני תחום הדו-קואורדינטה המלא, ולא מתורגם כהסתברות בזוג מדויק אחד.
Two electrons access three spatial orbitals, each with two spin states. Complete-state occupation patterns number ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Six complete states give choose(6,2)=15.
פרשנות הצפיפות המשותפת
- מצב מרחבי אנטי-סימטרי מקיים Ψ_−(x,x)=0, ולכן צפיפות המיקום המשותפת שלו מתאפסת על הקו העיוורון. מצב מרחבי סימטרי אינו חייב להתאפס שם. ההפרש נובע מההתערבות בין משרעים שהוחלפו, גם עבור חלקיקים לא מופעלים; זוהי לא כוח דחייה קלאסי מופעל בנפרד.
- עבור מבוקר באורך L, בחר a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). בנקודות x₁=L/4 ו-x₂=3L/4, המשרע המרחבי האנטי-סימטרי הוא −2/L וצפיפותו היא 4/L²; המשרע הסימטרי הוא אפס. אלו הן צפיפויות הסתברות משותפות ליחידות אורך כפולות, ולא הסתברויות ללא ממדים בנקודות מדויקות. התאימות פיזיקלית של סpin עדיין קובעת איזה מצב אלקטרוני כולל משתמש בכל שילוב מרחבי.
החלף את כל הטרמינים המרחביים והסpin. אל תבלבל בין מרחב אנטי-סימטרי למצב כולל אנטי-סימטרי, או השתמש בגורם √2 עבור אורביטלים שונים לשני אורביטלים זהים.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
בנה מצבים מרחביים שני-אורביטליים סימטריים ואנטי-סימטריים נורמליים
An antisymmetric two-orbital spatial state must have zero amplitude when the two spatial arguments coincide.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At x₁=x₂ the two products are equal and their difference vanishes.
שמרו על ההבחנות
- סנגלט ספין — מצב דו-ספיני-1/2 אנטי-סימטרי עם ספין כולל S=0.
- קובעת סלייטר — בנייה אנטי-סימטרית פרמיונית ממצבי חלקיק-יחיד מלאים; מצבים כפולים גורמים לה להתאפס.
- בנה מצבים מרחביים דו-אורביטליים סימטריים ואנטי-סימטריים מנורמלים.
- שלב סימטריית מרחב ו-spin כדי לייצר מצבי דו-אלקטרון מותרים.
- ספור תפיסות של מצבים מלאים ופרש התאבכות הנגרמת מהחלפה.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.