פרטרבציות חלשות וחללים תת-נימיים מנוונים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| first-order energy shift/fɜːst ˈɔːdə ˈenədʒi ʃɪft/ | שינוי אנרגיה מסדר ראשון |
| degenerate perturbation theory/dɪˈdʒenəreɪt pətəˈbeɪʃn ˈθɪəri/ | תיאוריית הפרעות דה-גנרייטיבית |
החלטה לפני תשובה
- שינוי אנרגיה מהדרגה הראשונה אפס יכול להתקיים במקביל למצב משתנה ולשינוי מהדרגה הגבוהה שאינו אפס.
- המטרה שלך: לחשב שינויי אנרגיה מהדרגה הראשונה שאינם מדגרים כערך צפוי תקין.
משקלו את ההפרעה לפי הסתברות
- נתון H=H₀+λW, כאשר λ הוא פרמטר ממדי קטן ומצבי העצמי של H₀ ידועים ומונרמים. עבור רמה n שאינה מדוגרת, תיקון האנרגיה מהדרגה הראשונה הוא λ⟨n|W|n⟩. במרחב המיקום, זהו λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx עבור פוטנציאל מכפיל, עם אינטגרציה על התחום המותר.
- ערך פוטנציאל בנקודה אחת אינו ערך צפוי; צפיפות הסתברות המצו משקלת את כל התחום. עבור באר אינסופית 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). החזרה ביחס למרכזה גורמת ל-⟨x⟩=L/2, ולכן פוטנציאל נוסף חלש γx יגרור שינוי של γL/2 לכל רמת באר לא דגנרטית בדרגה ראשונה. ל-γ יש יחידות של אנרגיה לכל אורך.
In 0<x<L, a weak perturbation γ(x−L/2) acts on an unperturbed infinite-well eigenstate. Its first-order energy shift is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The density is symmetric about L/2 while the perturbation is odd, so the integral cancels.
השתמשו בפרוטיות בזהירות
- עבור הפרעה אי-זוגית ביחס למרכז, כמו γ(x−L/2), צפיפות ההסתברות של מצב עצמי של באר לא מופרעה היא זוגית, ולכן ערכה האלכסוני מתאפס. להפך, הפרעה ריבועית ממוקדת η(x−L/2)² תניב שינוי ηL²[1/12−1/(2π²n²)], שהוא חיובי עבור η>0 ותלוי ב-n.
- פרוטיות גורמת לאינטגרל מהדרגה הראשונה להתאפס רק עבור המצב והסימטריה של המפעיל הספציפיים. אלמנטים מטריציים לא-אלכסוניים עדיין יכולים לשנות את פונקציית הגל. אל תמירו ביטול סימטריה לטענה שכל תיקון האנרגיה מתאפס או שהמצ המקורי נשאר מדויק.
A two-state degenerate block has perturbation ε[[0,1],[1,0]], ε>0. First-order shifts are:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The matrix eigenvalues are ±ε. Its vanishing diagonal does not mean vanishing splitting.
השוו את הזיווג עם פערי רמות
- עבור מצב שאינו מדוגר, הערבוב המוביל של מצב לא מופרע m אחר פרופורציונלי ל-λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). לכן תנאי הקטנות המתאים משווה אלמנטים מטריציים של זיווג עם הפרחי הרמות הרלוונטיים, ולא רק עם אפס אנרגיה מוחלט ארביטרי.
- עד הדרגה השנייה, תיקון האנרגיה מכיל Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). למצב הבסיסי הלא-מנוגד, כל המכנים שליליים, ולכן תיקון הדרגה השנייה הוא לא-חיובי במודל זה. בקרבת נקודת ניגוד, מכנה קטן מבטל את הפיתוח הלא-מנוגד; השתמש במרחב תת-מרוכב מצומד במקום לחלק באפס.
בבאר אינסופית בגובה 2 nm, הפרעה חלשה γx עם γ=0.05 eV/nm נותנת ΔE_n^(1)=γL/2=0.05 eV. בנפרד, η=0.03 eV/nm² כופל (x−L/2)² נותן את ההזזה לבסיס 0.03·4[1/12−1/(2π²)]=0.00392073 eV. אלו תוצאות מהדרגה הראשונה בתנאי זיווג חלש ביחס למרווחים. זוג מנוגד עם ε[[2,1],[1,2]] ועם ε=0.004 eV מתפצל לשינויים 0.004 ו-0.012 eV; המצב הסימטרי מקבל את ההזזה הגדולה יותר.
For a 4 nm well and weak γx with γ=0.02 eV/nm, first-order shift is ____ eV.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
γ⟨x⟩=0.02·4/2=0.04 eV.
פתרון מרחב תת-מרוכב מנוגד
- אם רמה של H₀ היא בדיוק דגנרטית, בחר בסיס אורתוגונלי לתוך תת-המרחב הזה וצור את המטריצה ההרמיטית של ההפרעה שם. הערכים העצמיים שלה הם השינויים באנרגיה בדרגה ראשונה, והווקטורים העצמיים שלה מגדירים את השילובים שמיישרים את הפיצול המוביל.
- עבור מרחב תת-מרוכב דו-מצבי עם הפרעה ε[[2,1],[1,2]], השילובים הסימטריים והאנטי-סימטריים המנויים ישנם שינויים 3ε ו-ε. קריאה רק בשני הכניסה האלכסוניות תנבא שגונית שני שינויים של 2ε. כפולה סקלרית משותפת של היחידה מזיזה שתי המצבים באופן שווה ואינה מפצלת את הניגוד שלהם; זיווגים מחוץ למרחב התת-מרוכבי יכולים להיות חשובים בדרגות גבוהות יותר.
השתמשו במשקלי מצבים מנורמלים, שמרו על יחידות ההפרעה, ודיאגנליזציינו בלוק דגנרטי. ביטול מסדר ראשון ואינвариנטיות מדויקת הן טענות שונות.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
חשב שינויים באנרגיה בדרגה ראשונה שאינם דאגנרטטיביים כערכים צפויים נורמליים
A zero diagonal first-order expectation guarantees all higher-order energy shifts are zero.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Off-diagonal couplings can contribute at second order even when the diagonal expectation cancels.
שמרו על ההבחנות
- הזזת אנרגיה מסדר ראשון — תיקון ההפרעה החלש המוביל הנתון על ידי ערך הצפוי של המצב ללא ההפרעה.
- תיאוריית ההפרעות הדגנרטית — שיטה שמדיאגנליזציה תחילה את ההפרעה בתוך תת-מרחב דגנרטי ללא הפרעה.
- חשבו הזזות אנרגיה מסדר ראשון לא-דגנרטיות כערכי הצפוי מנורמלים.
- השתמשו בסימטריה ובאלמנטים מטריציים כדי להעריך גבולות של צימוד חלש.
- דיאגנליזציינו את ההפרעה בתוך תת-מרחב דגנרטי בדיוק.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.