תפוסות קוונטיות וגבולות ההשוואה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| mean occupation/miːn ˌɒkjʊˈpeɪʃn/ | תפוסה ממוצעת |
| equipartition/ɪˌkwɪpɑːˈtɪʃn/ | חלוקה שווה |
החלטה לפני תשובה
- רמת אנרגיה פרמיונית יכולה להכיל מספר חלקיקים כאשר יש בה מספר מצבים נפרדים; חוק האיסור חל על כל מצם מלא.
- המטרה שלך: לחשב תדירות התושבות הממוצעת לכל מצם קוונטי מלא עבור פרמיונים ובוזונים.
הקצינו תושבות למצמים מלאים
- עבור חלקיקים שאינם אינטראקטיביים במאזן תרמי ומחלוקת חלקיקים, השתמשו בפוטנציאל הכימי μ ו-x=(ε−μ)/(kBT). תושבות ממוצעת של מצם מלא היא n_F=1/(e^x+1) עבור פרמיונים ו-n_B=1/(e^x−1) עבור בוזונים. תושבת פרמיונית של מצם זה היא אפס או אחת; הממוצע שלה נמצא ביניהן. תושבת בוזונית יכולה לעלות על אחת.
- רמה בעלת דגנרציה g יש לה סך תושבות ממוצעות g פעמים תושבת מצם יחיד כאשר המצבים שלה משתפים אותה אנרגיה. ספרו סpin כחלק ממצם מלא. מכנה הBose דורש ε>μ עבור הביטוי הסופי הרגיל, עם גבול מצב הבסיס שמטופל בנפרד. עבור פוטונים במאזן μ=0 כי מספר הפוטונים אינו שמר; אל תגדירו μ=0 לכל גז חלקיקי חומר.
At (ε−μ)/(kBT)=ln3, the mean occupation of one fermionic state is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_F=1/(3+1)=1/4; bosonic mean would be 1/(3−1)=1/2.
ספרו קונפיגורציות בלתי ניתנות להבחנה
- ספרו דפוסי תושבות ולא תוויתו חלקיקים זהים. שני פרמיונים זהים המפוזרים על ארבעה מצמים מלאים נפרדים ישנם chose(4,2)=6 דפוסי תושבות מותרים. שני בוזונים זהים באותם מצמים ישנם chose(4+2−1,2)=10 דפוסים משום ששניהם יכולים לשחק באותו מצם. שני חלקיקים תוויתיים ניתנים להבחנה יהיו להם 4²=16 הצבה.
- אלו דגמי ספירה שונים, לא שלושה תשובות מתחלפות לאותה ספקיפיקציה. אם שאלה מספקת דגנרציה סpin, החלטו תחילה אם המספר הנאמר סופר מצמים מלאים או רק רמות אורביטליות. איסור פאולי על שני מצמים מלאים זהים אינו אוסר על פרמיונים בעלי סpin הפוך באותו אורביטל מרחבי.
Two identical fermions can occupy six distinct complete states. How many occupation patterns exist?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Select the two occupied states: choose(6,2)=15. Ordered assignments double-count identical fermions.
בדקו את הקירוב הדליל
- כאשר x גדול וחובק, התושבות קטנה ושני המכנים נשלטים על ידי e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), גבול Maxwell–Boltzmann הדליל. ב-x=ln4 הממוצעים הם 1/5 לפרמיונים, 1/3 לבוזונים ו1/4 בקירוב הקלאסי; ההבדל עדיין משמעותי.
- מספר חלקיקים כולל גדול לבדו אינו מצדיק סטטיסטיקה קלאסית: צפיפות, טמפרטורה ומצמים הנגישים שולטים בתושבות. עבור פרמיונים בטמפרטורה נמוכה, מצמים מתחת ל-μ הופכים לכמעט תושבים ומעלה ל-μ כמעט ריקים. ב-ε=μ למצם פרמיוני יש ממוצע חצי; הצבת ערך זה בנוסחת Bose הרגילה תייצר מכנה דיוורגנטי ודורש טיפול גבול שונה.
ב-x=(ε−μ)/(kBT)=ln4, מצם יחיד יש לו n_F=0.2 או n_B=1/3. רמה בעלת דגנרציה חמישה לכן יש לה ממוצע 1 פרמיונים או 5/3 בוזונים; תושבת רמה פרמיונית כוללת יכולה לעלות על אחת ב-x אחרים משום שישנם חמישה מצמים נפרדים. מתנד קוונטי ב-ε/(kBT)=ln2 יש לו אנרגיית התעוררות ממוצעת ε ו-C/kB=2(ln2)²=0.960906, קרוב אך שונה מהערך הקלאסי אחת.
At x=ln5, one bosonic state has mean occupation ____ (give an exact decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_B=1/(5−1)=1/4=0.25.
בדיקת מודים קוונטיים מול קלאסיים
- חלוקה שוויונית קלאסית מקצבת kBT/2 אנרגיה ממוצעת לכל איבר ריבועי עצמאי בהמילטוניאן מאוזן. גז אידיאלי חד-אטומי יש לו שלושה איברים תנועתיים, ונותן U=3NkBT/2 ו-C_V=3NkB/2. למתנד הרמוני קלאסי חד-ממדי אחד יש איברי אנרגיה קינטית ופוטנציאלית, ונותנים ממוצע של kBT ו-C=kB.
- עבור תנודתן קוונטי עם מרווח קבוע ε=ℏω, האנרגיה התרמית מעל אפס הנקודה התלוי בטמפרטורה היא ε/(e^x−1), כאשר x=ε/(kBT), ו-C/kB=x²e^x/(e^x−1)². בטמפרטורות גבוהות הוא שואף לערך הקלאסי; בטמפרטורות נמוכות ההפעלה מקופאת ו-C→0. אנרגיית אפס הנקודה ε/2 משנה את U אך לא את C. תרומות סיבוביות/רעידתיות מולקולריות דורשות גם הן בדיקת סקאלות אנרגיה לפני הקצאת איברים ריבועיים קלאסיים.
השלילו שני פרמיונים ממצב מלא אחד, ולא מרמת אנרגיה מדגרת כולה. ציינו איזה x משמש; תפוסות פוטנציאל כימי ותפוסות מתנד מוגדרות הן מודלים שונים.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
חשב ת occupancy ממוצע לכל מצב קוונטי מלא לפירמיונים ולבוזונים
A temperature-independent oscillator zero-point energy ε/2 contributes zero to its heat capacity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Heat capacity differentiates energy with respect to temperature; a fixed additive constant has zero derivative.
שמרו על ההבחנות
- תפוסה ממוצעת — ערכים ממוצעים באנסמבל של מספר חלקיקים במצב קוונטי מלא או בקבוצת מצבים ספציפית.
- חלוקת אנרגיה — כלל איזון קלאסי המפנה kBT/2 לכל איבר המילטוניאן ריבועי עצמאי.
- חשבו תפוסה ממוצעת למצב קוונטי מלא עבור פרמיונים ובוסונים.
- ספרו תפוסות מותרות לחלקיקים זהים והגדירו את הגבול הדליל הקלאסי.
- השוו קיבול חום של מודים ריבועיים קלאסיים לתגובה של מתנד קוונטי.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.