נגזרות חלוקה, תנודות אנרגיה וקיבוע חום
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Helmholtz free energy/ˈhelmhəʊltz friː ˈenədʒi/ | אנרגיה חופשית של הולמהולץ |
| energy fluctuation/ˈenədʒi ˌflʌktʃuːˈeɪʃn/ | תנודות אנרגיה |
החלטה לפני תשובה
- פערי אנרגיה תרמיים יכולים לשמור על קיבול חום נמוך גם בטמפרטורות נמוכות וגם גבוהות, גם כאשר הסבירות למצבים מעוררים ממשיכה לעלות.
- המטרה שלך: לקבל אנרגיה ממוצעת ואנרגיה חופשית קנונית מתוך ספקטרום אנרגיה קבוע.
גזור ספקטרום קבוע
- עבור מערכת שמחליפה אנרגיה עם אמבט בטמפרטורה T כאשר N ו-V נשארים קבועים, תן β=1/(kBT). סכום Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) על פני רמות אנרגיה עם הכפלתן. הסבירות לרמה היא g_i exp(−βE_i)/Z; האנרגיה הממוצעת U היא סכום המשוקלל אנרגיה לפי הסבירות. גזירה של ספקטרום שאינו תלוי בטמפרטורה נותנת U=−∂lnZ/∂β.
- שמור על פער האנרגיה והכפלות קבועים בזמן הגזירה. כתיבת Δ=kBT ln3 כדי לתאר טמפרטורת הערכה אחת לא צריכה להתפרש כי Δ משתנה עם T. עבור N תת-מערכות דו-מצביות עצמאיות, מובחנות זהות, Z_total=z^N ו-U_total=N u. חלקיקים בלתי מובחנים ואינטראקציות דורשים ספירת מצבים משלהם ולא הנחת מכפלים זו.
Two nondegenerate levels have energies 0 and fixed Δ. At Δ/(kBT)=ln4, excited probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p_exc=1/(1+e^x)=1/(1+4)=1/5.
זיהוי הכמות התרמודינמית
- האנרגיה החופשית של הלמהולץ היא F=−kBT lnZ. האנטרופיה הקנונית נובעת מ-S=kB(lnZ+βU), או שווה ל−kBΣ p_j ln p_j על פני מיקרו-מצבים בודדים. קיבול החום בקובע קבוע הוא C_V=(∂U/∂T)_V,N. כמויות אלו נושאות יחידות שונות ומתארות גזירות שונות.
- הוספת סטית אנרגיה ε לכל המצבים מכפילה את Z ב-exp(−βε), מגדילה את U ו-F ב-ε, ומשאירה את ההסתברות, האנטרופיה וקיבול החום ללא שינוי כאשר ε אינו תלוי ב-T. לכן אנרגיה ממוצעת שלילית אינה עדות לקיבול חום שלילי. השתמש באותו ייחוס אנרגיה בהסתברות ובביטויים התרמודינמיים.
A constant temperature-independent energy ε is added to every state. Which quantity stays unchanged?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
All probabilities are unchanged. U and F shift by ε and Z gains e^(−βε), but entropy and heat capacity remain the same.
קשר תנודות ותגובה
- הגזירה השנייה של lnZ לפי β נותנת השונות Var(E)=⟨E²⟩−U². עבור אותו מודל קנוני עם ספקטרום קבוע, C_V=Var(E)/(kBT²), ולכן C_V/kB=β²Var(E). שונות לא שלילית מחייבת C_V לא שלילית בתנאים אלו. המכנה כולל kB, לא kB², כאשר קיבול החום שומר על היחידות הרגילות J/K.
- נוסחת תנודות זו עוסקת בחלוקת האנרגיה הקנונית; היא אינה אומרת שכל חלקיק יש בדיוק את האנרגיה הממוצעת. עבור תת-מערכות עצמאיות השונות מתווספות, כמו גם הממוצעים. תנודות אנרגיה יחסיות צומצמות בדרך כלל כמו 1/√N כאשר הממוצע והשונות לפר תת-מערכת נשארים סופיים ואינם אפס.
לרמות 0 ול-Δ קבוע בטמפרטורה שבה x=ln3, z=1+1/3=4/3 ו-p_exc=1/4. ולכן u=Δ/4, ⟨E²⟩=Δ²/4 ו-Var(E)=3Δ²/16. C/kB=3(ln3)²/16=0.226303. F=−kBT ln(4/3); S/kB=ln(4/3)+(ln3)/4=0.562335. הרמת הייחס ב-ε משנה את u ל-ε+Δ/4 אך שומרת על השונות ומחום הספציפי.
For equally probable energies 0 J and 2 J, energy variance is ____ J².
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mean=1 J and second moment=2 J², so variance=2−1²=1 J².
בדיקת גבולות טמפרטורת רמות סופיות
- עבור מצב בסיס אחד באנרגיה E=0 ומצב מעורר אחד באנרגיה קבועה E=Δ>0, נניח x=Δ/(kBT). אז z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc ו-C/kB=x²e^x/(1+e^x)². בטמפרטורות נמוכות, ההתעוררות והקיבול החום יורדים אקספוננציאלית לאפס. בטמפרטורות גבוהות, p_exc שואף לחצי ואנרגיה מסתדרת (saturates), ולכן הקיבול החום שואף שוב לאפס.
- האנטרופיה עולה מאפס עבור מצב הבסיס היחיד כלפי kB ln2 ככל שהשני מצבים הופכים לא равноprobable. שיא הקיבול החום בתוצאה זו בטמפרטורה סופית הוא ספציפי למודל רמות סופיות; הוא אינו השווה לקבוע של מתנד קלאסי. הדגנרציה של מצב הבסיס או רמות נוספות ישנו את האנטרופיה הסופית ותגובת הטמפרטורה.
החזקו Δ קבוע בעת הנגזירה, כללו דגנרציות ב-Z, והשתמשו בשונות האנרגיה במקום ריבוע האנרגיה הממוצעת בנוסחת הקיבול החום.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
קבל אנרגיה ממוצעת קנונית ואנרגיה חופשית ממבנה אנרגיה קבוע
For a fixed two-level nondegenerate spectrum, canonical heat capacity tends to zero as T becomes arbitrarily high.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Energy approaches Δ/2 and its temperature derivative tends to zero; a finite spectrum saturates.
שמרו על ההבחנות
- תנודות אנרגיה — התפשטות אנרגיה בקנוני סביב ממונה של האנסמבל, המוגדר על ידי שונות האנרגיה.
- אנרגיה חופשית של הלמהולץ — פוטנציאל תרמודינמי F=U−TS, השווה ל-−kBT lnZ עבור האנסמבל הקנוני.
- קבלו אנרגיה ממוצעת ואנרגיה חופשית קנוניים ממבנה אנרגיה קבוע.
- קשרו בין שונות האנרגיה לבין קיבול החום בנפח קבוע עם תנאי מבנה אנרגיה קבוע.
- הערכו את האנטרופיה ואת הגבולות בטמפרטורה נמוכה/גבוהה עבור מודל רמות סופיות מקורי.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.