הגבלות, משוואות ורייציוניות וקואורדינטות מחזוריות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| holonomic constraint/ˌhɒləˈnɒmɪk kənˈstreɪnt/ | הגבלה הולונומית |
| cyclic coordinate/ˈsaɪklɪk kəʊˈɔːdɪnət/ | קואורדינטה מעגלית |
החלטה לפני תשובה
- מתח בגדר תלוי משתנה לאורך תנודה, אך המשוואה הזוויתית שלו יכולה להיות נגזרת ללא פתרון עבור המתח.
- המטרה שלך: לגזור תנועת אואילר-לאגראঞ্জ לאחר הטלת אילוף הולונומי.
בחר קואורדינטות עצמאיות
- מגבלה מסירה קואורדינטה עצמאית לפני שיוצרים את האנרגיה הקינטית. לעמוד תלוי באורך קבוע בחרו θ מהאנך כלפי מטה: x=l sinθ ו-y=−l cosθ. גזירת שתי הקואורדינטות נותנת v²=l²θdot², ולא l² sin²θ θdot².
- כך T=ml²θdot²/2 ו-V=mgl(1−cosθ), עם פוטנציאל אפס בתחתית. האורך הקבוע הוא מגבלה הולונומית: היא קשר בין קואורדינטות ואולי זמן. מגבלת מהירות גלילה דורשת ניתוח משלה; אל תטפל באופן אוטומטי בכל מגבלה כהצבת קואורדינטה.
For a pendulum angle θ measured from downward vertical, which kinetic energy uses both Cartesian velocity components?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Adding xdot² and ydot² gives l²θdot².
גזור את המשוואה
- עבור מגבלות אידיאליות ומערכת שמרנית רגילה, משוואת הפעולה העומדת היא d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 עם L=T−V. השונות נעלמות בשתי קצוות הזמן. עמוד תלוי נותן ∂L/∂θdot=ml²θdot ו-∂L/∂θ=−mgl sinθ, ולכן ml²θddot+mgl sinθ=0.
- הגזירה של התנע פועלת על כל גורם תלוי בזמן: עבור רדיוס משתנה, d(mr²θdot)/dt מכיל 2mr rdot θdot. השיטה הוاریציונית אינה אומרת שאנרגיה מכנית שמרה במערכת תלויה בזמן.
In L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r), which statement follows from the cyclic angle?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∂L/∂θ=0 gives d(mr²θdot)/dt=0; radius and angular speed may change.
מצא תנע מחזורי
- לתנועה מרכזית מישורית, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). הזווית θ היא מחזורית כי L אין תלות ספציפית ב-θ, למרות ש-L תלויה ב-θdot. התנע הקנוני pθ=mr²θdot הוא קבוע. המשוואה הרדיאלית היא m rddot=mrθdot²−dV/dr.
- האיבר הראשון הוא חלק מהתאוצה הקואורדינטלית, ולא כוח אמיתי חדש החוצה במסגרת אינרציאלית. שמירת pθ גורמת למהירות הזוויתית לעלות ככל שה-r יורדת; מהירות זוויתית קבועה היא מצב אחר, מופעל מבחוץ.
עם l=2 m ו-g=10 m/s², θddot=−5 sinθ. ב-θ=0.10 rad האוצר המדויק הוא −0.4992 rad/s², קרוב ל-0.500− מהליניאריזציה. תקופת הזווית הקטנה היא 2π/sqrt(5)=2.810 s. עבור מסלול כוח מרכזי, הצמצום של r מ3 m ל-1.5 m כאשר pθ שמור כופל את θdot ב-4, ולא ב-2.
For V=9q²/2 and local inertia M=1, small-oscillation angular frequency is ____ rad/s.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
V″=9 and sqrt(9/1)=3.
ליניאריות עם תנאים
- סביב נקודת איזון יציבה q0, פתח את V עד סדר שני והשתמש במסה לוקלית קבועה M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. מכאן תדירות ההזזות הקטנות היא sqrt(V″/M). לתלות מסתובב sinθ≈θ ברדיאנים, ולכן ω=sqrt(g/l); הקירוב דורש רוחב זעיר.
- V″ שלילי מעיד על אי-יציבות, ולא על תנודה בתדירות מדומיינת המדידה. בדק תחילה את המשוואה הלא-ליניארית המלאה, ולאחר מכן ציין את הקירוב והשווה יחידות: V″/M חייב להיות בעל יחידות של הפוך לריבוע הזמן.
קואורדינטה מחזורית אינה מופיעה ב-L עצמו; מהירותה אינה חובה להיעדר. אל תסיר את הנגזרת בזמן של גורם משתנה r².
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
גזירת תנועת אולר–לאגראנז' לאחר הצבת מגבלה הולונומית
The small-angle pendulum approximation is unchanged if the angle is inserted numerically in degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sinθ≈θ requires radians; a degree value needs conversion.
שמרו על ההבחנות
- מגבלה הולונומית — מגבלה ניתן לבטא כקשר בין קואורדינטות ואולי זמן.
- קואורדינטה מחזורית — קואורדינטה שאינה מופיעה במפורש בלגרנגיאנית, עם תנאי שימור התנע הקנוני תחת משוואת אוילר–לגרנג'.
- גזור תנועת אוילר–לגרנג' לאחר הטלת מגבלה הולונומית.
- השתמש בקואורדינטה מחזורית לזהות תנע קנוני שמור.
- ליניארize איזון יציב ובדוק את התדורה שהתקבלה.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.