פיזור, דה-גנרציה ומפעילי פאולי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| degeneracy/dɪˈdʒenərəsi/ | התדרגות |
| reflection coefficient/rɪˈflekʃn ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם החזרה |
החלטה לפני תשובה
- גל קוונטי יכול להסתדר ממדרגת פוטנציאל יורדת גם אם חלקיק קלאסי אינו נמצא בנקודת היפוך שם.
- המטרה שלך: התאמת גלים הולכים וזרמים דרך שינויים סופיים בפוטנציאל.
קראו את הקשר
- עבור פוטנציאל קבוע V ואנרגיה E>V, הפתרונים המרחביים הם גורמי הליכה exp(±ikx), עם k=sqrt[2m(E−V)]/ℏ. במדרגות סופיות עם אותה מסת חלקיק, פונקציית הגל והנגזרת הראשונה שלה רציפות. בבעיית פיזור עם תנועה משמאל וללא קרן באה מימין, הפתרון בקצה הימני מכיל רק את גורם ההליכה האופקי Ae^(ikx). אם באר סופית חוזרת לפוטנציאל החיצוני המקורי, מספר הגל החיצוני המעביר שווה למספר הגל הנכנס, אף על פי שמספר הגל בפנים שונה. פתרונים הדועמים אקספוננציאלית מתארים אזורים E<V, לא כל באר פוטנציאל.
- ספור מצבים של תנודן איזוטרופי מדורג.
For a lossless potential step with k2=2k1, reflection probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
r=(1−2)/(1+2)=−1/3; R=1/9.
השתמשו בכלל המגדיר
- עבור מדרגה מ-V1 ל-V2 כשהאזורים השניים מותרים קלאסית, כתוב את המשרעת הנכנסת-המוחזרת באזור 1 ואת המשרעת המעבירה באזור 2. הרציפות נותנת r=(k1−k2)/(k1+k2) ו-t=2k1/(k1+k2). הסתברות ההחזרה היא R=|r|²; העברה היא T=(k2/k1)|t|² כי זרם הסתברות תלוי במספר הגל. לכן R+T=1 למדרגה ללא אובדן. אל תוסיף את המשרעת המעבירה המריבעת הגולמית ל-R ללא גורם הזרם שלה. כאשר k2=3k1, R=1/4 ו-T=3/4 למרות מדרגה יורדת.
- חשב מכפלות פאולי והבדל בין אנטי-חילוף לשוויון.
A spin-zero three-dimensional isotropic oscillator at E=(5/2)ℏω has degeneracy:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
N=1 gives triples (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
בדיקת התנאים
- תנודן איזוטרופי תלת-ממדי מפוצל למצבי x,y,z עם שלמות אי-שליליות n_x,n_y,n_z. האנרגיה שלו היא (N+3/2)ℏω, כאשר N=n_x+n_y+n_z. עבור חלקיק בודד נבדל עם סpin-אפס, הדירוג המרחבי הוא מספר המשולשות האלו: (N+1)(N+2)/2. זה סופר הצבות שונות, לא רק חלוקות לא-סדורות שונות. עבור N=2, ששת המצבים הם תמורות של (2,0,0) ו-(1,1,0). עבור N=3, הדירוג הוא 10. מגבלות סpin נוספות או חלקיקים זהים ישנו את בעיית הספירה.
- חשב מכפלות פאולי והבדל בין אנטי-חילוף לשוויון.
במעבר ללא הפסדים עם k2=3k1, r=−1/2 ו-t=1/2. R=1/4, T=3·1/4=3/4 והסכום שלהם הוא אחד. אוסילטור איזוטרופי בעל ספין אפס באנרגיה E=(9/2)ℏω יש לו N=3 ושאיפות 10. הכפלת σ_x ב-σ_y נותנת diag(i,−i)=iσ_z.
For a spin-zero isotropic oscillator with N=4, spatial degeneracy is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(N+1)(N+2)/2=5·6/2=15.
יישמו את פורמט המשימה
- מטריצות פאולי הן σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. כל אחת מריבועה לתא. כפל ישיר נותן σ_xσ_y=iσ_z ו-σ_yσ_x=−iσ_z, כך שמטריצות פאולי שונות אנטי-חולפות. מכפלות מחזוריות x→y→z ישן i חיובי; הפיכת הסדר משנה את הסימן. הזהות הכללית היא σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. סדר המטריצות חשוב: σ_xσ_z=−iσ_y, לא iσ_y או פשוט σ_y. מטריצות מימדיות אלו הופכות לתפעולי סpin S_i=ℏσ_i/2, מוסיפות יחידות פיזיקליות וגורמים.
- חשב מכפלות פאולי והבדל בין אנטי-חילוף לשוויון.
הסתברות העברה זקוקה ליחס זרם מספר הגל. דירוג תנודן סופר משולשות מצב סדורות. אל תפוך את סדר מטריצות פאולי ללא שינוי הסימן.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
לתאים גלים נעים וזרמים על פני שינוי פוטנציאל מוגבל
Distinct Pauli matrices commute with each other.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Their products change sign on reversing order; they anticommute.
שמרו על ההבחנות
- מקדם החזרה — חלק מזרם הסתברות המוחזר ביחס לזרם הנכנס.
- דירוג — מספר מצבים עצמאיים המשתפים את האנרגיה הספציפית.
- התאמת גלים הולכים וזרמים דרך שינויים סופיים בפוטנציאל.
- ספור מצבים של תנודן איזוטרופי מדורג.
- חשב מכפלות פאולי והבדל בין אנטי-חילוף לשוויון.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.