חיי חלקיקים יחסיים, אנרגיה והזזה דופלר
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| proper time/ˈprɒpə taɪm/ | זמן עצמי |
| rest energy/rest ˈenədʒi/ | אנרגיית השקט |
החלטה לפני תשובה
- חלקיק לא יציב מהיר יכול לעבור מרחק גדול יותר במעבדה מאשר מה שהייתה מציעה מחייתו במסגרת המנוחה כפול מהירותו.
- המטרה שלך: לקשר את מחיית המנוחה לזמן ולמרחק במעבדה.
קראו את הקשר
- עבור מהירות יחסית v, הגדרו β=v/c ו-γ=1/sqrt(1−β²). זמן נכון נמדד לאורך קו העולם של החלקיק על ידי שעון בשקט ביחס אליו. אם זמן מחיי הממוצע שלו הוא τ0, אזי זמן מחיי הממוצע במעבדה הוא γτ0 ומרחק המסע הממוצע הוא vγτ0 במהירות קבועה. הדעיכה היא סטטיסטית: זמן מחיי הממוצע אינו זמן דעיכה מובטח לכל חלקיק. ב-β=0.8, γ=5/3. חשבו אירועי מרחב-זמן באופן עקבי במערכת אחת; זמן נכון וזמן קואורדינטי הם כמויות שונות.
- השתמש באנרגיה-תנע אינבריאנטית ואנרגיה קינטית יחסית.
A particle at 0.8c has proper mean lifetime 6 μs. Its laboratory mean lifetime is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
γ=5/3, so γτ0=10 μs.
השתמשו בכלל המגדיר
- האנרגיה הכוללת היא E=γmc²⟧, התנע ⟦p=γmv⟧ וה-⟦E²−p²c²=m²c⁴⟧ אינבריאנטי. כאשר ⟦E⟧ ו-⟦pc⟧ מובטאים באותן יחידות אנרגיה, מצאו ⟦mc²=sqrt(E²−(pc)²)⟧, ולא ⟦E−pc⟧. השורש הריבועי האי-שלילי נדרש למסה מנוחה חיובית. עבור ⟦E=13 GeV⟧ ו-⟦pc=12 GeV⟧, האנרגיה המנוחה היא 5 GeV והמסה היא 5 GeV/c². חלקיק חסר מסה יש לו ⟦E=pc⟧ אך אינו חייב להיות בעל אנרגיה או תנע אפס. יחסים אלו מתייחסים לתנע-ארבע של חלקיק בודד, ולא ל-⟦mv⟧ קלאסי במהירות יחסית.
- לחייג מהירות התרחקות אורכית מיחס אורך גל.
For E=10 GeV and pc=6 GeV, rest energy is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sqrt(100−36)=8 GeV.
בדיקת התנאים
- העבודה בהאיץ חלקיק ממצב מנוחה שווה לאנרגיה קינטית ⟦K=E−mc²=(γ−1)mc²⟧. ב-⟦β=0.6⟧, ⟦γ=1.25⟧ ו-⟦K=0.25mc²⟧, בעוד שה-⟦½mv²⟧ הקלאסי נותן 0.18 mc²⟧. אנרגיה קינטית קלאסית היא ההתפתחות במהירות נמוכה והופכת למדויקת ליד ⟦c⟧. עבודה בהאיץ סופית מגבירה את ⟦γ⟧ ולא מאפשרת לחלקיק בעל מסה להגיע או לעבור את ⟦c⟧. שמור על הבדל בין אנרגיה כוללת, אנרגיה מנוחה ואנרגיה קינטית בעת פרשנות יחידות התשובה.
- לחייג מהירות התרחקות אורכית מיחס אורך גל.
לחלקיק יש מחיית מנוחה ממוצעת 3 μs ונעה ב-0.8c. מחיית המעבדה שלו היא 5 μs ומרחק הנסיעה הממוצע הוא 0.8·3×10⁸·5×10⁻⁶=1200 m. יחס אורך גל אורכי 2 מעלה מהירות התרחקות 0.6c. לחלקיק עם אנרגיה כוללת 13 GeV ו-⟦pc=12 GeV⟧ יש אנרגיה מנוחה 5 GeV.
At speed 0.6c, K/(mc²)=____ (decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
γ=1.25, so γ−1=0.25.
יישמו את פורמט המשימה
- עבור התרחקות יחוסית ארוכה-צירית טהורה במכניקה היחסית, יחס האורך r=λ_נצפה/λ_נוצר=sqrt((1+β)/(1−β)). פירוק נוסחה מוביל ל-β=(r²−1)/(r²+1). יחס r=2 נותן β=3/5, ולא c×(r−1) כפי שנובע מקירוב מהירות נמוכה. הזזה לכחול (Blueshift) משמשת r<1 ופרמטר התרחבות שלילי בתקנה זו. הנוסחה מניחה שההזזה היא קינטית בלבד; הרחבה קוסמולוגית או הזזה אדומה כבידתית דורשות מודל אחר. ציין את המודל הנדרש בשאלה לפני פרשנות יחס ספקטרלי.
- לחייג מהירות התרחקות אורכית מיחס אורך גל.
א אל תשתמש בחיי הממוצע כזמן מעבדה, אל תפחית pc מ-E כדי למצוא מסת רגועה, ואל תשתמש בקירוב דופלר קלאסי ליחס אורך גדול.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
לקשר חיי גוף (proper lifetime) לזמן ומרחק במערכת מעבדה
A wavelength redshift ratio of 2 implies superluminal recession under the stipulated longitudinal special-relativity model.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
β=(4−1)/(4+1)=0.6.
שמרו על ההבחנות
- זמן ממוצע — הזמן שנמדד על ידי שעון הנע עם הגוף לאורך קו העולם שלו.
- אנרגיית רגועה — אנרגיה mc² הקשורה למסת הרגועה של גוף.
- קשר בין חיי ממוצע לזמן מעבדה ומרחק.
- השתמש באנרגיה-תנע אינבריאנטית ואנרגיה קינטית יחסית.
- לחייג מהירות התרחקות אורכית מיחס אורך גל.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.