סטטיסטיקת ספירה, אי-ודאות ומודלים ממדיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Poisson approximation/ˈpɔɪsn əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | קירוב פואסון |
| standard uncertainty/ˈstændəd ʌnˈsɜːtənti/ | אי-ודאות סטנדרטית |
החלטה לפני תשובה
- גלאי עם יעילות של עשרה אחוזים לא רושם בדיוק עשר פוטונים מכל מאה. הספירה תנודדת גם עם יעילות יציבה.
- המטרה שלך: להשתמש בממוצעים ושינויים של ספירה בינומית ופואסוני.
קראו את הקשר
- עבור ⟦N⟧ חלקיקים נכנסים בלתי תלויים שכל אחד מהם מתגלה עם הסתברות ⟦p⟧, המונה X הוא בינוי: ממוצע ⟦Np⟧ ושונות ⟦Np(1−p)⟧. סטיית התקן היא ⟦sqrt[Np(1−p)]⟧, ולא השונות עצמה. עבור ⟦N⟧ גדול ו-⟦p⟧ קטן, קירוב פואסון יש לו ממוצע ⟦λ=Np⟧ ושונות ⟦λ⟧, ולכן סטייה ⟦sqrt(λ)⟧. עבור ⟦N=200⟧ ו-⟦p=0.05⟧, הממוצע המדויק הוא 10 והסטייה היא ⟦sqrt(9.5)≈3.08⟧, בעוד שקירוב פואסון נותן ⟦sqrt(10)≈3.16⟧. אף אחד מהמודלים אינו מבטיח מספר גילויים קבוע. גילויים מקוריינים או זמן מת could invalidate independence.
- העברת אי-וודאויות קטנות עם הנחות תיאום מצוינות.
A binomial detector has N=100 and p=0.20. Its mean and standard deviation are:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mean 20; variance 100·0.2·0.8=16, so standard deviation 4.
השתמשו בכלל המגדיר
- עבור פונקציה נמדדת חלקה y(x1,…), ליניאריזציה של שינויים מתבצעת באמצעות הנגזרות החלקיות שלה. אי-ודאויות סטנדרטיות קטנות עצמאיות משתלבות בערכים מרובעים: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². קלטות מקוררות דורשות איברים צולבים בקוואריאנס. עבור y=x^a, אי-ודאות סטנדרטית יחסית היא בקירוב |a|σ_x/|x|. לכן אנרגיה קinetit K=½mv² עם אי-ודאות מסה זניחה יש לה אי-ודאות יחסית כפולה מזו של מהירות. עם אי-ודאות מסה עצמאית, משתלבים (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². קירובים אלו דורשים שגיאות קטנות ומודל ליניארי מתאים מקומית.
- פתרון מגבלות מעריכי ממדים ובדיקת יחידות של מודל.
With negligible mass uncertainty and speed uncertainty 3%, small kinetic-energy fractional uncertainty is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
K depends on v², so the fractional uncertainty doubles.
בדיקת התנאים
- פיזור רנדומלי מדד דיוק; סטיית כיול משותפת משפיעה על הדיוק ואינה נעלמת באמצעות ממוצעי חזרות. עבור קריאות חוזרות בלתי תלויות, אי-הוודאות הסטנדרטית של הממוצע יורדת כ-1/sqrt(n), אך שגיאה סיסטמטית משותפת לא כזו. אי-הוודאות של התפשטות פיזיקלית ואי-הוודאות של הממוצע המוערך שלה הן כמותות שונות. ציין אם אחוז מצוטט הוא אי-וודאות סטנדרטית, מרווח אמון או גבול גרוע-המקרה. חיבור תרומות מוחלטות הוא גבול זהיר, ולא כלל הרבוע של טעות סטנדרטית בלתי תלויה.
- פתרון מגבלות מעריכי ממדים ובדיקת יחידות של מודל.
עבור ⟦N=200⟧ ו-⟦p=0.05⟧, המונה הצפוי בגלאי הוא 10 עם סטיית תקן sqrt(9.5). אם למהירות יש אי-וודאות סטנדרטית קטנת 4% ואי-וודאות המסה זניחה, אי-הוודאות האנרגיה הקינטית היא בקירוב 8%. המעריכים הממדיים (1/2,1/2, −3/2) נותנים מעריך מסה אפס, מעריך אורך אחד ומעריך זמן אפס עבור ⟦sqrt(Gℏ/c³)⟧.
A Poisson count has mean 25. Its standard deviation is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Poisson variance equals mean, and standard deviation is its square root.
יישמו את פורמט המשימה
- ניתוח ממדי שווה מעריכים של מסה, אורך וזמן, ולא גודלים מספריים. עבור צורת אורך פלאנק ⟦G^a ℏ^b c^d⟧, הממדים הם ⟦[G]=L³/(MT²)⟧, ⟦[ℏ]=ML²/T⟧ ו-⟦[c]=L/T⟧. דרישה לאורך נותנת ⟦−a+b=0⟧, ⟦3a+2b+d=1⟧ ו-⟦−2a−b−d=0⟧. מכאן ⟦a=b=1/2⟧ ו-⟦d=−3/2⟧, ולכן אורך הוא ⟦sqrt(Gℏ/c³)⟧. ניתוח ממדים אינו יכול לקבוע מקדם חסר ממדים או להוכיח שהקבועים שנבחרו הם פיזיקלית מספיקים. דחה נוסחה עם יחידות שג错误的 לפני הכנסת מספרים.
- פתרון מגבלות מעריכי ממדים ובדיקת יחידות של מודל.
אל תבלבל בין ממוצע מונה למונה מובטח, בין שונות לסטיית תקן, או בין טעות סטנדרטית רנדומלית לסטיית כיול. עקביות ממדית היא נדרשת אך אינה מספקת.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
לשתמש בממוצעים והתנודות של ספירה בינומית ופואסון
A dimensionally consistent formula necessarily has the correct numerical coefficient and physical assumptions.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Units do not determine dimensionless factors or validate the physical model.
שמרו על ההבחנות
- standard uncertainty — אי-וודאות המבטאת סטיית תקן תחת מודל מדידה מצוי.
- Poisson approximation — מודל מונה אירועים נדירים בלתי תלויים עם שונות השווה לממוצע שלו.
- השתמש בממוצעים ותנודות מונה בינוי ופואסון.
- העברת אי-וודאויות קטנות עם הנחות תיאום מצוינות.
- פתרון מגבלות מעריכי ממדים ובדיקת יחידות של מודל.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.