התפלגויות מהירות ואוספים סטטיסטיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | צפיפות הסתברות |
| partition function/pɑːˈtɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית חלוקה |
החלטה לפני תשובה
- לגז יכול להיות מהירות ממוצעת אפס, בעוד שחלקיקיו בעלי מהירות ממוצעת משמעותית. כיוונים נגדים מבטלים זה את זה בממוצע וקטורי; מהירות היא גדל לא-שלילי וללא סימן.
- המטרה שלך: לנרמל צפיפויות מהירות רציפות ולהבין את היחידות שלהן.
קראו את הקשר
- עבור צפיפות הסתברות רציפה f(v), הביטוי f(v)dv מקרבן את ההסתברות בטווח צר, ו∫from0to∞ f(v)dv=1. לצפיפות יש יחידות הפוכות למהירות ואינה עצמה הסתברות. אם P(v)dv מונה חלקיקים בטווח זה, השטח שלו הוא מספר החלקיקים N והצפיפות היא f=P/N. טרפז העולה על רוחב v0, נשאר שטוח על רוחב 2v0, ואז יורד על רוחב v0, בעל שטח 3av0 בגובה a. יש לנרמל לפי השטח לפני חישוב ממוצע או פרשנות הגובה במגרען.
- יש להבחין בין ממוצעי וקטורים, ממוצעי מהירות ומהירות הסתברותית המרבית.
For an isotropic equilibrium ideal gas without bulk flow, which is correct?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Velocity directions cancel, while speed is nonnegative and its equilibrium mean is positive.
השתמשו בכלל המגדיר
- בגז איזוטרופי בשיווי משקל ללא זרימה כללית, כל חלוקת רכיבי המהירות היא סימטרית, ולכן ⟨v_vector⟩=0. המהירות v=|v_vector| היא לא-שלילית וממוצעה חיובי. לגז אידיאלי קלאסי, צפיפות המהירות של מקסוול פרופורציונלית ל-v²exp[−mv²/(2kBT)]. הנקודה הקיצונית (mode) היא sqrt(2kBT/m), הממוצע הוא sqrt(8kBT/(πm)) והמהירות הרMS היא sqrt(3kBT/m). אלו שלושה גדלים שונים. גורם ה-v² גורם לכך שצפיפות המהירות מתאפסת ב-v=0, גם כאשר צפיפות וקטור המהירות המקסימלית בנקודת הווקטור האפס.
- יש להשתמש במשקלי בולצמן עם דגרגרציה ובפונקציית חלוקה.
Ground degeneracy 1, excited degeneracy 3, gap kBT ln3. The excited-level probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Excited total weight 3e^(−ln3)=1 equals ground weight 1; Z=2.
בדיקת התנאים
- בחלוקה רציפה, ההסתברות לקבל בדיוק מהירות מצוינת היא אפס; הסתברויות שאינן אפס מתייחסות לטווחים. המשפט הזה אינו מעיד על כך שלא קיימים חלקיקים עם מהירויות קטנות באופן שרירותי, או שמכשיר ברזולוציה סופית לא יכול לתעד סליל אפס. שינוי הטמפרטורה משנה את קנה המידה של חלוקת מקסוול: מהירויות מאפייניות פרופורציונליות ל-sqrt(T/m). הכפלת הטמפרטורה אינה מכפילה את המהירות, וחלקיקים כבדים יותר הם איטיים יותר בממוצע באותה טמפרטורה.
- יש להשתמש במשקלי בולצמן עם דגרגרציה ובפונקציית חלוקה.
טרפז צפיפות ספירה מכיל N=90 חלקיקים, v0=2 m/s ורוחב פלטו 2v0. השטח שלו הוא 3av0, מה שמניב a=15 חלקיקים ליחידת מהירות. עבור מערכת דו-רמותית עם דגרגרציות 1 ו2 והפרש אנרגיה kBT ln2, Z=2 וההסתברות לשכבה המוגרמת היא 1/2. לכל מצב מוגרם בודד יש הסתברות 1/4.
A count-density trapezoid has area 3av0, N=60 and v0=4 m/s. Its height a is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a=N/(3v0)=60/12=5 particles per unit speed.
יישמו את פורמט המשימה
- במערכת קנונית בטמפרטורה T, למצב באנרגיה E_i יש משקל exp(−E_i/(kBT)). יש לחלק בפונקציית החלוקה Z=Σexp(−E_i/(kBT)) כדי לקבל הסתברויות. אם רמת אנרגיה יש דגרגרציה g_i, ההסתברות של הרמה היא g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. שוויון אנרגיה לכל מצב אינו מעיד על שוויון הסתברות לכל רמה כאשר הדגרגרציות שונות. עבור רמת היסוד בדגרגרציה 1 ורמת מוגרמת בדגרגרציה 2 בΔ=kBT ln2, המשקל הכולל של הרמה המוגרמת הוא 2e^(−ln2)=1: לשתי הרמות יש כל אחת הסתברות 1/2. הנחות מקסוול-בולצמן קלאסיות שונות מאוכלוסיות בוז-איינשטיין ופרמי-דיراك קוונטיות.
- יש להשתמש במשקלי בולצמן עם דגרגרציה ובפונקציית חלוקה.
גובה הצפיפות אינו הסתברות. המהירות הממוצעת, המהירות הממוצעת (speed) והמוד (mode) שונים; יש להכליל דגרגרציה לפני הנרמלה של הסתברויות רמות.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
נורמליזציה של צפיפויות מהירות רציפות ופרשנות היחידות שלהן
A continuous speed distribution assigns nonzero probability to exactly one specified speed.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Only an interval has nonzero probability; a single point has zero measure.
שמרו על ההבחנות
- צפיפות הסתברות — הסתברות ליחידה של משתנה רציף, whose integral gives interval probability.
- פונקציית חלוקה — סכום המשקלים הסטטיסטיים המשמש לנרמול של הסתברויות מצב שיווי משקל.
- לנרמל צפיפויות מהירות רציפות ולהבין את היחידות שלהן.
- יש להבחין בין ממוצעי וקטורים, ממוצעי מהירות ומהירות הסתברותית המרבית.
- יש להשתמש במשקלי בולצמן עם דגרגרציה ובפונקציית חלוקה.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.