פירוק LU ואפסות של תמונות מרוכבות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| forward substitution/ˈfɔːwəd ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | הצבה קדימה |
| nullity/ˈnʌlɪti/ | אפסיות |
החלטה לפני תשובה
- פקטוריז מצפה אחת, ואז פתר מעריות רבות עם צד ימין שונה. היתרון נובע משתי פתרונות טריאנגולריים; הפיכת הסדר שלהן נותנת תוצאה שגויה.
- המטרה שלך: לפתור מערכת ליניארית פקטורית על ידי הצבה קדימה ואחורית.
קראו את הקשר
- פירוק LU מבטא מטריצה מרובעת כמכפלה של מטריצות משולשת תחתונה L ומעלית U. כאשר ל-L יש יחידות באלכסון הראשי, ההצבה הקדימה פשוטה במיוחד. מטריסה הפיכה אינה חייבת לקבל את הצורה הזו ללא החלפת שורות: אפס באזור הפיווט הראשון עשוי לדרוש הופעה. עבור PA=LU, פותרים Ly=Pb ואז Ux=y. ההופעה פועלת גם על צד ימין וגם על מטריסת המקדמים. פיוטות ראשיות-ראשוניות לא-אפסיות מצדיקות את שיטת ההוצאה הרגילה ללא החלפת שורות, ולא הפיכות המטריסה לבדה.
- יש להפעיל הופעות שורות בצורה אחידה כאשר נדרש ביצוע פיוטות.
For the stated unit-diagonal L and b=(−1,−1,12), what is the second coordinate of y solving Ly=b?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
y₁=−1 and the second row is 2y₁+y₂=−1. Therefore y₂=1.
השתמשו בכלל המגדיר
- במשוואה Ly=b מחשבים את y מלמעלה למטה, על ידי חיסור איברים שכבר נודעו; מחלקים באלכסון הנוכחי אלא אם כן הוא אחד. במשוואה Ux=y מחשבים את x מלמטה למעלה. עבור כל משוואה מחליפים בחזרה לתוך השורה המקורית כדי לבצע בדיקה. שימוש חוזר בפירוק LU עבור מספר רב של צדדים ימנים נמנע מהצרת תהליך ההוצאה: פירוק צפוף דורש עבודה בדרגת קוב במימד, בעוד שהצבה משולשת בודדת דורשת עבודה בדרגת ריבוע.
- לגבול את מימד ליבת ההרכבה באמצעות חיתוכי תמונה וליבה.
A,B are maps R⁶→R⁶ with nullity A=2 and nullity B=3. What range is possible for nullity of A∘B?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nullity B contributes 3, and im B∩ker A has dimension from 0 to 2 in this ambient space.
בדיקת התנאים
- עבור B:V→W ו-A:W→Z, הליבה של B כלולה בליבה של (A∘B), אך האחרונה יכולה להיות גדולה יותר. הווקטורים הנוספים הם אלו שממופים על ידי B לתוך ליבת A. מגבירים את B לליבת (A∘B): התמונה שלה היא im B∩ker A והליבה היא ker B. חוק דרגת-אפס למפה המוגבלת נותן dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). החיתוך, ולא כל הליבה של A, קובע את האפוסיות הנוספת.
- לגבול את מימד ליבת ההרכבה באמצעות חיתוכי תמונה וליבה.
נתון L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], ו-b=(−1,−1,12). הצבה קדימה נותנת y=(−1,1,8). הצבה אחורית נותנת x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, ו-x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. לכן x=(1,−1,2). כפל Ux נותן y וכפל Ly נותן b, בו-זמנית בדיקת סדר הגורמים.
In the example, the last U equation is 4x₃=8. The value of x₃ is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Back substitution begins with the last row, giving x₃=8/4=2.
יישמו את פורמט המשימה
- עבור אנדומורפיזמים של R⁶ עם נולות A=2 ו-nolity B=3, ריבוק B=3 וממד החיתוך יכול לנוע מ-0 עד 2. ולכן נולות של A∘B נעה מ-3 עד 5. הגבות תלויים במרחב הביניים המשותף: עבור תת-מרחבים של מידות r ו-s במרחב בעל מידה m, החיתוך שלהם יש מידה בין max(0,r+s−m) ומינימום(r,s). הפכת הרכישה יכולה לשנות את הנולות שלה, גם אם AB ו-BA מוגדרים שניהם. יש לבחור מרחבים תואמים לפני יישום נוסחות אלו.
- לגבול את מימד ליבת ההרכבה באמצעות חיתוכי תמונה וליבה.
פתור עם L קודם ועם U לאחר, והחלף את b אם PA=LU. נולות של רכישה אינה אוטומטית סכום של שתי הנולות; רק חיתוך התמונה-הליבה מוסיף לנולות B.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
פתרון מערכת ליניארית מפוקחת באמצעות הצבה קדימה והחזרית
Every invertible matrix has an LU factorisation with unit lower triangular L without row exchanges.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The invertible matrix [[0,1],[1,0]] has a zero first pivot and cannot have that no-exchange unit-lower LU form. A row permutation repairs the pivot order.
שמרו על ההבחנות
- הצבה קדימה — פתרון מערכת משולשת תחתונה מהמשוואה הראשונה כלפי מטה.
- אפוסיות — המימד של הליבה של מפה ליניארית.
- לפתור מערכת ליניארית מפורקת באמצעות הצבה קדימה ואחורית.
- יש להפעיל הופעות שורות בצורה אחידה כאשר נדרש ביצוע פיוטות.
- לגבול את מימד ליבת ההרכבה באמצעות חיתוכי תמונה וליבה.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.