גורמים אינטגרליים ומשוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | גורם אינטגרציה |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | פתרון פרטי |
החלטה לפני תשובה
- קלט כוח משנה את תגובת המערכת. פתרון המשוואה הבלתי-מופעלת בלבד משאיר מחוץ לתוצאה את התרומה המתמשכת; חלוקה ב-y עלולה לגרם לאובדן פתרון תקף.
- המטרה שלך: לפתור משוואות ליניאריות מסדר ראשון באמצעות גורם אינטגרציה.
קראו את הקשר
- משוואה ליניארית מסדר ראשון היא בצורת y′+p(x)y=q(x) על רווח שבו המקדמים רציפים. היא אינה חייבת להיות ניתנת להפרדה. הגדר μ(x)=exp(∫p(x)dx). מכיוון ש-μ′=pμ, הכפלה נותנת (μy)′=μq, ולכן y=μ⁻¹(∫μq dx+C). בחר נגזרת נוחה כלשהי ל-p; קבוע האינטגרציה שלו רק משנה קנה מידה ל-μ ומצטלם מהפתרון. יישם נתוני התחלה לאחר האינטגרציה, והשאיר נקודות מקדם סינגולרי מחוץ לרווח שנבחר.
- לבנות את החלקים ההומוגניים והפרטיקולריים של פתרון בעל מקדם קבוע.
Which integrating factor works for y′+3y=x?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p(x)=3, so μ=exp(∫3 dx)=e^(3x). Its derivative is 3μ.
השתמשו בכלל המגדיר
- עבור y′+2xy=x עם תנאי ההתחלה y(0)=1, גורם האינטגרציה הוא μ=e^(x²). מכאן (e^(x²)y)′=x e^(x²), וקבוצת האינטגרלים שלה היא e^(x²)/2+C. לכן y=1/2+C e^(−x²), ותנאי ההתחלה נותנים C=1/2. הצבה ישירה מאמתת את y′+2xy=x. גורם האינטגרציה הופך את אגף שמאל לנזילת מכפלה; אינו גורם נוסף שנותר כוכר בביטוי המקורי באגף ימין בתשובה הסופית.
- טפל ברזוננס ואמת את התוצאה במשוואה המקורית.
For y″−3y′+2y=4, which constant is a particular solution?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Both derivatives vanish for a constant. The equation reduces to 2y=4, so y=2.
בדיקת התנאים
- עבור ay″+by′+cy=r(x) כאשר a אינו אפס, פותרים את המשוואה האופיינית aλ²+bλ+c=0 לחלק ההומוגני. שורשים ממשיים נפרדים נותנים שני מעריכים; שורש כפול λ נותן (C₁+C₂x)e^(λx); שורשים α±iβ נותנים e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). הפתרון המלא הוא y_h+y_p. כפייה פולינומלית מציעה ניסיון פולינומלי פרטי; כפייה מעריכית או סינוס/קוסינוס מציעה את המשפחה המתאימה, עם מספיק מקדמים כדי להתחשב בנגזרות.
- טפל ברזוננס ואמת את התוצאה במשוואה המקורית.
עבור y″−3y′+2y=4, השורשים האופייניים הם 1 ו2. פתרון פרטי קבוע y_p=2 נותן 2y_p=4, ולכן y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. עבור y′+2xy=x עם תנאי ההתחלה y(0)=1, הפתרון הנפרד מהדרגה הראשונה הוא y=(1+e^(−x²))/2. דוגמאות אלו מדגישות שיטות שונות; אף משוואה אינה הופכת להומוגנית רק בגלל שהאגף השמالي שלה ליניארי.
For y′+2xy=x with y(0)=1, y=1/2+C e^(−x²). Give C as a decimal: ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At x=0 the exponential is 1, so 1=1/2+C gives C=1/2.
יישמו את פורמט המשימה
- אם ניסיון פרטי חופף לפתרון הומוגני, הוא לא יכול לייצר את הכוח המחייב: כפול ב-x פעם אחת לשורש פשוט, פעמיים לשורש חוזר. עבור y″−3y′+2y=e^x, הניסיון הרגיל Ke^x מבטל את עצמו. ניסיון Kxe^x נותן −Ke^x, ולכן y_p=−xe^x. תנאי ההתחלה קובעים את הקבועים ההומוגניים רק לאחר הוספת y_p. הצבת הפונקציה הסופית במשוואה המקורית לבדיקת סימנים וכוח מחייב; בדיקת תנאי התחלה בלבד אינה יכולה לאמת את המשוואה הדיפרנציאלית.
- טפל ברזוננס ואמת את התוצאה במשוואה המקורית.
שמור על הפתרון הפרטי. ניסיון רזוננטי זקוק לגורם x. גזירת גורם האינטגרציה תקפה על מרווח מקדם תקף ואינה צריכה לחלק ב-y או לוותר בשקט על פתרונות אפס.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
פתור משוואות ליניאריות מסדר ראשון באמצעות גורם אינטגרציה
Ke^x can be a particular solution of y″−3y′+2y=e^x for a suitable constant K.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x is homogeneous, so the differential operator sends every Ke^x to zero. A resonant trial requires an extra x factor.
שמרו על ההבחנות
- גורם אינטגרציה — כופל המפוך משוואה ליניארית מהדרגה הראשונה לנזילת מכפלה.
- פתרון פרטי — פתרון אחד המספק את הכוח המחייב הלא-הומוגני הספציפי.
- פתור משוואות ליניאריות מהדרגה הראשונה באמצעות גורם אינטגרציה.
- לבנות את החלקים ההומוגניים והפרטיקולריים של פתרון בעל מקדם קבוע.
- טפל ברזוננס ואמת את התוצאה במשוואה המקורית.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.