גיאומטריה וקטורית, הטלות ושטח מכוון
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| cross product/krɒs ˈprɒdʌkt/ | כפל וקטורי |
| orthogonal/ɔːˈθɒɡənl/ | אורתוגונלי |
החלטה לפני תשובה
- שני מסלולים יכולים להיות באותה כיוון כללי, נפגשים בזווית ישרה, או נגדים זה לזה. מכפלה סקלרית מבדילה בין מקרים אלו; מכפלה וקטורית מדדה את השטח שהם מרחיבים.
- המטרה שלך: להשתמש במכפלות סקלריות לסיווג זוויות ולחשב הפרשות.
קראו את הקשר
- עבור וקטורים ממשיים שאינם אפס u,v מתקיים: u·v=|u||v| cos θ. מכפלה סקלרית חיובית, אפס או שלילית מתאימה לזווית חדה, ישרה או קהה בהתאמה. ההפרשה הסקלרית של v לאורך u היא (v·u)/|u|; ההפרשה הווקטורית היא ((v·u)/(u·u))u. ההפרש מההפרשה הזו אנכי ל-u. אל תבלבל בין וקטור מופרש לבין רכיב הסקלר החתום שלו. הווקטור האפס אנכי לכל וקטור אך אין לו כיוון זוויתי מוגדר.
- לחשב שטח ומיקוד של משולש באמצעות מכפלה וקטורית.
Triangle vertices are (0,0,0),(2,0,0),(0,3,0). What is its area?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The edge cross product has magnitude 6. Triangle area is half the spanned parallelogram area.
השתמשו בכלל המגדיר
- עבור וקטורים בתלת-מימד, u×v מאונך לשניהם ואורכו |u||v| sin θ. חישוב הקואורדינטות נעשה על ידי (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). אורך זה הוא שטח המקבילית, ולכן משולש המורכב משני וקטורי צלע בעל מחצית משטח זה. הפיכת הסדר שלהם הופכת את הכיוון של המכפלה הווקטורית אך שומרת על השטח. בנה שני וקטורי הצלע מאותו קודקוד; מכפלה של שני וקטורי מיקום שאינם קשורים זה לזה מדדה בדרך כלל שטח שגוי.
- לבנות או לפסול תצורות סימן מכפלות סקלריות מישוריות.
What is the vector projection of (3,4) onto the line spanned by (1,0)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiply (1,0) by the coefficient ((3,4)·(1,0))/((1,0)·(1,0))=3.
בדיקת התנאים
- המשוואה למישור העובר דרך הנקודה p עם נורמל n שאינו אפס היא n·(x−p)=0. המרחק מ-q למישור הוא |n·(q−p)|/|n|; המכנה מנרמל את קנה המידה של המשוואה. מכפלה משולשת סקלרית u·(v×w) נותנת נפח מקבילית חתום; הערך המוחלט שלה הוא הנפח הגיאומטרי. אפס במכפלה משולשת מעיד על תלות של שלושת וקטורי הצלע, ולא בהכרח על כך שכל זוג מהם אנכי או מקביל.
- לבנות או לפסול תצורות סימן מכפלות סקלריות מישוריות.
עבור p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), הצלעות הן u=(2,0,0), v=(0,3,0). המכפלה הווקטורית שלהן היא (0,0,6), ותוצאת שטח המשולש היא 3. עבור w=(3,4) ו-u=(1,0), ההפרשה הווקטורית היא (3,0) והשארית האנכית היא (0,4). המישור 2x−y+2z=6 בעל אורך נורמל 3, ולכן המרחק שלו מהראשית הוא 6/3=2.
The distance from the origin to 2x−y+2z=6 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divide the absolute constant 6 by the normal length √(4+1+4)=3.
יישמו את פורמט המשימה
- עבור ארבעה וקטורים מישוריים, ישנם שישה מכפלות סקלריות ללא סדר. התצורת e₁,−e₁,e₂,−e₂ כוללת שתי מכפלות שליליות וארבע אפסים; e₁,e₁,e₂,e₂ כוללת שתי מכפלות חיוביות וארבע אפסים. ארבעה וקטורים שאינם אפס אינם יכולים להכיל מכפלה סקלרית שלילית בכל זוג. סדר את הכיוונים שלהם סביב המעגל: כל פערוץ זוויתי עוקב חייב לעמוד ב-90°, מה שמחייב את סכום הארבעה פערוצים לעלות על 360°. וקטור אפס אינו יכול לתקן דרישה של מכפלות שליליות מוחלטות, כי מכפלותיו מתאפסות.
- לבנות או לפסול תצורות סימן מכפלות סקלריות מישוריות.
גודל המכפלה הווקטורית הוא שטח המקבילית, ולכן יש לחלק אותו בחצי כדי לקבל את שטח המשולש. אפס במכפלה סקלרית הוא הוכחה אלגברית לאנכיות גם עבור וקטור אפס. במרחק למישור יש לחלק באורך הנורמל.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
השתמש ב מכפלה נקודתית למיון זוויות ולחישוב מישורים
Four nonzero vectors in R² can have all six unordered pairwise dot products negative.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Consecutive direction gaps would all exceed 90°, contradicting their total 360°. Zero vectors would produce zero products instead.
שמרו על ההבחנות
- אנכי —拥有 מכפלה סקלרית אפס במרחב מכפלה פנימית ממשי.
- מכפלה וקטורית — וקטור מאונך וממוקד בתלת-מימד שאורכו שווה לשטח המקבילית שהוא מרחיב.
- להשתמש במכפלות סקלריות לסיווג זוויות ולחשב הפרשות.
- לחשב שטח ומיקוד של משולש באמצעות מכפלה וקטורית.
- לבנות או לפסול תצורות סימן מכפלות סקלריות מישוריות.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.