פאזה טריגונומטרית ועקומות פרמטריות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| phase angle/feɪz ˈæŋɡl/ | זווית פאזה |
| parametric curve/ˌpærəˈmetrɪk kɜːv/ | עקומה פרמטרית |
החלטה לפני תשובה
- אות מחזורי יכול להתחיל במינימום תוך שמירה על אותו מחזור ואמפליטודה כזה שהתחיל במקסימום. הפאזה שלו, ולא הגודל או התדר, משתנה.
- המטרה שלך: להבדיל בין אמפליטודה, תדר זוויתי, זווית פאזה והזזה אופקית.
קראו את הקשר
- עבור y=A cos(ωx−φ) כאשר A>0 ו-ω>0, האמפליטודה היא A, המחזור הוא 2π/ω, וההזזה האופקית היא φ/ω. זווית הפאזה φ נמדדת בתוך הארגומנט של הקוסינוס; היא אינה עצמה ההזזה האופקית אלא אם ω=1. התחל מרווח שיא-לשיא למציאת המחזור וממרחק קו אמצע-לשיא עבור האמפליטודה. כדי למצוא פאזה, הצב נקודה ידועה ובדוק את כיוון התנועה שם. פאזות שקולות נבדלות ב-2π.
- ביטל פרמטר תוך שמירה על תחום ההגדרה ועל כיוון השרטוט.
For y=2 cos(3x−π), what is the rightward horizontal shift?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Factor the argument as 3(x−π/3). The phase π is divided by angular frequency 3.
השתמשו בכלל המגדיר
- עבור y=−2 cos(3x), ניתן לכתוב מחדש את המודל עם אמפליטודה חיובית כ-2 cos(3x−π). האמפליטודה שלו היא 2, מחזור 2π/3, ופאזה π; ההזזה ימינה המקבילה היא π/3. שיאים מתרחשים שם ש-3x−π הוא כפולה של 2π. נקודה בגרף ב-x=0 וב-y=0 לבד לא יכולה לקבוע פאזה באופן ייחודי: נטיות או נקודה נוספת מבדילות בין הזוויות האפשריות. יחידות וקונבנציות זווית חשובות; נגזרות טריגונומטריות בק্যালקולוס רגיל משתמשות ברדיאנים.
- השתמש בנגזרות פרמטריות ללא הנחת שנגזרת אנכית היא נקודה יציבה.
For x=cos³t,y=sin³t with t in [0,π/2], which set is traced?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The parameter interval keeps both coordinates nonnegative. Elimination gives the astroid relation, but does not remove this quadrant restriction.
בדיקת התנאים
- כי curves פרמטריים מגדירים x=x(t), y=y(t). ביטול t מתאר ערכת נקודות אך עלול לאבד הגבלות וכיוון. עבור x=cos³t, y=sin³t, שורשי קובע ממשיים נותנים |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, אסטרויד עם קונטים בצירים. כאשר t נע from 0 עד 2π, הוא מתחיל ב-(1,0), עובר (0,1) ב-π/2 ומתקדם נגד כיוון השעון. הגבלת t ל-[0,π/2] נותנת רק קשת במעגל הראשון, ולא את כל מקום הנקודות האיפלוסיטיבי.
- השתמש בנגזרות פרמטריות ללא הנחת שנגזרת אנכית היא נקודה יציבה.
עבור y=−2 cos(3x), מינימוסים כוללים x=0 ומקסימוסים כוללים x=π/3. נציגת הפאזה 2 cos(3x−π) נותנת אותן ערכים. עבור x=2 cos t, y=sin t, ביטול נותן x²/4+y²=1; ב-t=π/4, dx/dt=−√2 ו-dy/dt=√2/2, ולכן שיפוע −1/2. תחום הפרמטר המלא [0,2π] משרטט את האליפסה פעם אחת נגד כיוון השעון.
For x=t²,y=t³ and t=2, the slope dy/dx is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx=(3t²)/(2t)=3t/2 when t≠0; at t=2 this equals 3.
יישמו את פורמט המשימה
- כאשר dx/dt≠0, מתקיים dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). משיק אנכי דורש בדרך כלל dy/dt=0 ו-dx/dt≠0; משיק אנכי הופך בדרך כלל את התנאים הללו. אם שניהם מתאפסים, יש לבדוק גבול או פיתוח מקומי במקום לקחת 0/0 כשיפוע. עבור x=t², y=t³ ב-t=0, המנה עבור t≠0 היא 3t/2 והיא שואפת לאפס: הקונט יש משיק אנכי. מהירות פרמטרית אפס אינה לבד מיקום מקסימום או מינימום מקומי של y כפונקציה של x.
- השתמש בנגזרות פרמטריות ללא הנחת שנגזרת אנכית היא נקודה יציבה.
זווית פאזה והזזה אופקית נבדלות על ידי גורם התדר. משוואה אינוליציטית יכולה להוסיף חלקים משרטטות של העקומה. אם שתי הנגזרות של הפרמטר מתאפסות, השתמש בלוגיקה מקומית במקום לסמן כל נקודה ככזו כמינום.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
הבחנה בין משרעת, תדירות זוויתית, זווית פזה והזזה אופקית
Phase angle φ and horizontal shift φ/ω are always the same number.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
They coincide numerically only in special cases, such as ω=1. Frequency rescales the horizontal coordinate.
שמרו על ההבחנות
- זווית פאזה — ההזזה הזוויתית בתוך ארגומנט של פונקציה מחזורית, המוגדרת מודולו מחזור מלא.
- קמב פרמטרי — קמב שבו הקואורדינטות מוגדרות כפונקציות של פרמטר משותף.
- להבדיל בין אמפליטודה, תדירות זוויתית, זווית פאזה והזזה אופקית.
- ביטל פרמטר תוך שמירה על תחום ההגדרה ועל כיוון השרטוט.
- השתמש בנגזרות פרמטריות ללא הנחת שנגזרת אנכית היא נקודה יציבה.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.