תמונות קבוצות, יחסים שוויון והפלת לוגיקה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| preimage/ˌpriːˈɪmɪdʒ/ | תמונה הופכת |
| equivalence relation/ɪˈkwɪvələns rɪˈleɪʃn/ | יחס שקילות |
החלטה לפני תשובה
- ניתן להעניק תווית זהה לשני רישומים שונים. התנגשות פשוטה זו מסבירה מדוע תמונת חתך יכולה להשתנות מהחתך של שתי תמונות.
- המטרה שלך: להוכיח זהויות תמונה ולהבדיל בין כלולות לאי-שוויון.
קראו את הקשר
- עבור f:X→Y ו-A⊆X, התמונה f(A) מורכבת מכל הערכים f(a) כאשר a ב-A. נקודה נמצאת ב-f(A∪B) אם ורק אם היא מגיעה מ-A או מ-B, ולכן f(A∪B)=f(A)∪f(B). אם A⊆B, אזי f(A)⊆f(B). לעומת זאת, בחתך רק f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) מתקבל באופן אוטומטי: ייתכן אותו ערך יגיע מקלט שונה. השתמש ב-f(x)=x², A={−1}, B={1}; התמונה השמאלית היא סגורה בעוד שהחתך הימני הוא {1}.
- בדוק הרפלקסיביות, הסימטריה והטרנזיטיביות עם מקרים ספציפיים.
Which identity holds for every function f and subsets A,B of its domain?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An output of an input in the union comes from at least one subset. Intersection equality can fail when distinct inputs share an output.
השתמשו בכלל המגדיר
- קדמויות מתנהגות אחרת. עבור C⊆Y, f⁻¹(C) כאן מייצגת את קבוצת כל הקלטים שנשלחים לתוך C, גם אם ל-f אין פונקציה הפוכה. השייכות לשתי קדמויות פירושה אותו קלט בדיוק ממפה לשתי קבוצות יעד. כתוצאה מכך, קדמויות שומרות על איחויים, חתכים ומשלים בהתייחס לתחום/קודומיין המצוינים. אל תעביר משפט על קדמויות לתמונות. אם f היא אינजेקטיבית, חתכי תמונות הופכים לשווים, כי ערכים שווים מבטלים קלט משותף.
- שלל הצעות וביטויים כמותיים ללא שינוי טווחם.
What is the negation of P⇒(Q∧R)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Failure of the implication requires a true premise and a false conjunction. De Morgan changes the latter into a disjunction.
בדיקת התנאים
- יחס R על X הוא הרפלקסיבי כאשר xRx לכל x, סימטרי when xRy גורר yRx, וטרנזיטיבי כאשר xRy ו-yRz גוררים xRz. השלושה יחד יוצרים יחס שוויון; מחלקותיו ממפות את X. במספרים שלמים, xRy כאשר x ו-y留同余 modulo ארבע נותן ארבע מחלקות. היחס |x−y|≤1 הוא הרפלקסיבי וסימטרי אך לא טרנזיטיבי: 0R1 ו-1R2 בעוד ש-0 אינו קשור ל-2. בדיקה של דיאגרמה אחת או שתי תכונות אינה מספקת.
- שלל הצעות וביטויים כמותיים ללא שינוי טווחם.
תן ל-f למפות גם את a וגם את b לתווית L. עם A={a}, B={b}, מתקיים f(A∩B)=∅ בעוד ש-f(A)∩f(B)={L}. עבור xRy המוגדר על ידי x=y או x=−y ב-R, הרפלקסיביות והסימטריה נובעות ישירות, ושתי שינוי סימן עדיין נותן z=±x, מה שמוכיח טרנזיטיביות. המחלקות הן {x,−x}, כאשר {0} היא סוגליה. statement שגויה "כל קובץ מאוחזב יש לו hash" פירושה לפחות קובץ אחד שאינו מאוחזב no hash; היא אינה פירושה שכל הקבצים חסרי hash.
How many equivalence classes are there on Z for equality of remainders modulo four?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Each integer belongs to exactly one of the remainder classes 0, 1, 2 or 3.
יישמו את פורמט המשימה
- הצעה P⇒Q היא שגויה רק כאשר P נכון ו-Q שגוי. לכן, השלילה של P⇒(Q∧R) היא P∧(¬Q∨¬R), ולא ¬P⇒(¬Q∧¬R). שלילת "כל x יש לו תכונה A" נותנת "קיים x ללא A"; שלילת "קיים x" נותנת "כל x אינו". דוגמת נגד יכולה לשלול טענה אוניברסלית, בעוד דוגמאות אינן יכולות להוכיח אותה. הכמותיים שומרים על סדרם בשלילה פרטנית: ¬(∀x∃y S(x,y)) הוא ∃x∀y ¬S(x,y).
- שלל הצעות וביטויים כמותיים ללא שינוי טווחם.
f⁻¹(C) יכולה להציג קבוצת קדמויות ללא פונקציה הפוכה. יחס הרפלקסיבי וסימטרי עשויStill to fail טרנזיטיביות. שלל את כל הביטוי לפני שאתה מצמצם את חלקיו.
איזו תשובה מתאימה למקרה זה?
הוכח זהויות של תמונה והבדל בין כלול לאי-שוויון
The relation |x−y|≤1 on R is transitive.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Use x=0,y=1,z=2: the first two pairs satisfy the relation, but the pair (0,2) does not.
שמרו על ההבחנות
- קדמות — קבוצת הקלטים שערכי התמונה שלהם נמצאים בקבוצת יעד מצוינת.
- יחס שוויון — יחס שהוא הרפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
- הוכח זהויות תמונה והבדל בין כלולות לאי-שוויון.
- בדוק הרפלקסיביות, הסימטריה והטרנזיטיביות עם מקרים ספציפיים.
- שלל הצעות וביטויים כמותיים ללא שינוי טווחם.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.